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逻辑运算符：修订间差异

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第1行：
{{unreferenced|time=2018-12-05T15:49:59+00:00}}
在[[形式逻辑]]中，'''逻辑运算符'''或'''逻辑连结词'''把语句连接成更复杂的复杂语句。例如，假设有两个逻辑[[命题]]，分别是“正在下雨”和“我在屋里”，我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨，'''并且'''我在屋里”或“'''没有'''正在下雨”或“'''如果'''正在下雨，'''那么'''我在屋里”。
{{NoteTA
|G1 = IT
|G2 = Math
}}
在[[形式逻辑]]中，'''逻辑运算符'''或'''逻辑联结词'''把语句连接成更复杂的复杂语句。例如，假设有两个逻辑[[命题]]，分别是“正在下雨”和“我在屋里”，我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨，'''并且'''我在屋里”或“'''没有'''正在下雨”或“'''如果'''正在下雨，'''那么'''我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做'''复合语句'''或'''复合命题'''。又称逻辑操作符（Logical Operators）。
 
== 基本運算符 ==
一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做'''复合语句'''或'''符合命题'''。
基本的操作符有：“[[逻辑非|非]]”（¬）、“[[逻辑合取|与]]”（∧）、“[[逻辑析取|或]]”（∨）、“[[实质条件|条件]]”（→）以及“[[双条件]]”（↔）。“非”是一个一元操作符，它只操作一项（¬ P）。剩下的是二元操作符，操作两项来组成复杂语句（P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q）。
 
注意，符号“与”（∧）和[[交集]]（∩），“或”（∨）和[[并集]]（∪）的相似性。这不是巧合：交集的定义使用“与”，并集的定义是用“或”。
基本的操作符有：“[[逻辑非|非]]”（¬）、“[[逻辑合取|与]]”（∧）、“[[逻辑析取|或]]”（∨）、“[[逻辑条件|条件]]”（→）以及“[[双条件]]”（↔）。“非”是一个一元操作符，它只操作一项（¬ P）。剩下的是二元操作符，操作两项来组成复杂语句（P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q）。
 
注意，符号“与”（∧）和[[交集]](∩)，“或”（∨）和[[并集]]（∪）的相似性。这不是巧合：交集的定义使用“与”，并集的定义是用“或”。
 
这些连接符的[[真值表]]:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! ''P'' !! ''Q'' !! ¬¬''P'' !! ''P'' ∧∧ ''Q'' !! ''P'' ∨∨ ''Q'' !! ''P'' →→ ''Q'' !! ''P'' ↔↔ ''Q''
|-
|! '''T''' || '''T''' || F || T || T || T || T
|-
|! '''T''' || '''F''' || F || F || T || F || F
|-
|! '''F''' || '''T''' || T || F || T || T || F
|-
|! '''F''' || '''F''' || T || F || F || T || T
|}
 
为了减少需要的括号的数量，由有以下的优先规则：¬ ¬高于 ∧ ，∧ ∧，∧高于 ∨ ，∨ ∨，∨高于 → →。例如，P ∨∨ Q ∧∧ ¬¬ R →→ S 是 (P ∨∨ (Q ∧∧ (¬¬ R)) →→ S 的简便写法。
 
== 二元邏輯聯結詞表 ==
==圖示==
下面是在輸入P和Q上的16個二元[[布林函數]]。
 
{| style="marginbackground: 0 autotransparent;text-align:center;"
|-
| {{logicalconnective
|main=矛盾
|title=永假
|notation=<math>\bot</math>
|equivalents=''P'' <math>\wedge</math> ¬''P''
|truthtable-00=0
|truthtable-01=0
|truthtable-10=0
|truthtable-11=0
|image=Venn0000.svg
}}
| {{logicalconnective
|main=恒真式
|title=永真
|notation=<math>\top</math>
|equivalents=''P'' <math>\vee</math> ¬''P''
|truthtable-00=1
|truthtable-01=1
|truthtable-10=1
|truthtable-11=1
|image=Venn1111.svg
}}
|-
| {{logicalconnective
|main=邏輯合取
|title=合取
|notation=''P'' <math>\wedge</math> ''Q''<br />''P'' & ''Q''<br />''P''&nbsp;'''·'''&nbsp;''Q''<br />''P''&nbsp;AND&nbsp;''Q''
|equivalents=''P'' <math>\not\rightarrow</math>¬''Q'' <br /> ¬''P'' <math>\not\leftarrow</math> ''Q'' <br /> ¬''P'' <math>\downarrow</math> ¬''Q''
|truthtable-00=0
|truthtable-01=0
|truthtable-10=0
|truthtable-11=1
|image=Venn0001.svg
}}
|{{logicalconnective
|main=謝費爾豎線
|title=與非
|notation=''P'' ↑ ''Q''<br />''P''<nowiki> | </nowiki>''Q'' <br />''P''&nbsp;NAND&nbsp;''Q''
|equivalents=''P'' → ¬''Q'' <br /> ¬''P'' ← ''Q''<br />¬''P'' ∨ ¬''Q''
|truthtable-00=1
|truthtable-01=1
|truthtable-10=1
|truthtable-11=0
|image=Venn1110.svg
}}
|-
| {{logicalconnective
|main=實質非蘊涵
|title=非蘊涵
|notation=''P'' <math>\not\rightarrow</math> ''Q'' <br /> ''P'' <math>\not\supset</math> ''Q''
|equivalents=''P'' & ¬''Q'' <br /> ¬''P'' ↓ ''Q'' <br /> ¬''P'' <math>\not\leftarrow</math> ¬''Q''
|truthtable-00=0
|truthtable-01=0
|truthtable-10=1
|truthtable-11=0
|image=Venn0100.svg
}}
|{{logicalconnective
|main=實質條件
|title=蘊涵
|notation=''P'' → ''Q'' <br /> ''P'' <math>\supset</math> ''Q''
|equivalents=''P'' ↑ ¬''Q'' <br /> ¬''P'' ∨ ''Q'' <br /> ¬''P'' ← ¬''Q''
|truthtable-00=1
|truthtable-01=1
|truthtable-10=0
|truthtable-11=1
|image=Venn1011.svg
}}
|-
| {{logicalconnective
|main=命題
|title=命題P
|notation=''P''
|equivalents=
|truthtable-00=0
|truthtable-01=0
|truthtable-10=1
|truthtable-11=1
|image=Venn0101.svg
}}
|{{logicalconnective
|main=否定
|title= 非P
|notation=¬''P''<br />~''P''
|equivalents=
|truthtable-00=1
|truthtable-01=1
|truthtable-10=0
|truthtable-11=0
|image=Venn1010.svg
}}
|-
| {{logicalconnective
|main=反非蘊涵
|title=反非蘊涵
|notation=''P'' <math>\not\leftarrow</math> ''Q'' <br /> ''P'' <math>\not\subset</math> ''Q''
|equivalents=''P'' ↓ ¬''Q'' <br /> ¬''P'' & ''Q'' <br /> ¬''P'' <math>\not\rightarrow</math> ¬''Q''
|truthtable-00=0
|truthtable-01=1
|truthtable-10=0
|truthtable-11=0
|image=Venn0010.svg
}}
|{{logicalconnective
|main=反蘊涵
|title=反蘊涵
|notation=''P'' <math>\leftarrow</math> ''Q'' <br /> ''P'' <math>\subset</math> ''Q''
|equivalents=''P'' ∨ ¬''Q'' <br /> ¬''P'' ↑ ''Q'' <br /> ¬''P'' → ¬''Q''
|truthtable-00=1
|truthtable-01=0
|truthtable-10=1
|truthtable-11=1
|image=Venn1101.svg
}}
|-
| {{logicalconnective
|main=命題
|title=命題Q
|notation=''Q''
|equivalents=
|truthtable-00=0
|truthtable-01=1
|truthtable-10=0
|truthtable-11=1
|image=Venn0011.svg
}}
|{{logicalconnective
|main=否定
|title=非Q
|notation=¬''Q''<br />~''Q''
|equivalents=
|truthtable-00=1
|truthtable-01=0
|truthtable-10=1
|truthtable-11=0
|image=Venn1100.svg
}}
|-
| {{logicalconnective
|main=邏輯異或
|title=異或
|notation=''P'' <math>\not\leftrightarrow</math> ''Q'' <br /> ''P'' <math>\not\equiv</math> ''Q'' <br /> ''P'' <math>\oplus</math> ''Q''<br />''P''&nbsp;XOR&nbsp;''Q''
|equivalents=''P'' ↔ ¬''Q'' <br /> ¬''P'' ↔ ''Q'' <br /> ¬''P'' <math>\not\leftrightarrow</math> ¬''Q''
|truthtable-00=0
|truthtable-01=1
|truthtable-10=1
|truthtable-11=0
|image=Venn0110.svg
}}
|{{logicalconnective
|main=邏輯雙條件
|title=雙條件
|notation=''P'' ↔ ''Q'' <br /> ''P'' ≡ ''Q''<br />''P''&nbsp;XNOR&nbsp;''Q''<br /> ''P''&nbsp;IFF&nbsp;''Q''
|equivalents=''P'' <math>\not\leftrightarrow</math> ¬''Q'' <br /> ¬''P'' <math>\not\leftrightarrow</math> ''Q'' <br /> ¬''P'' ↔ ¬''Q''
|truthtable-00=1
|truthtable-01=0
|truthtable-10=0
|truthtable-11=1
|image=Venn1001.svg
}}
|-
| {{logicalconnective
|main=邏輯析取
|title=析取
|notation=''P'' ∨ ''Q''<br />''P''&nbsp;<sub>∨</sub>&nbsp;''Q''<br />''P''&nbsp;OR&nbsp;''Q''
|equivalents=''P'' <math>\leftarrow</math> ¬''Q'' <br /> ¬''P'' → ''Q'' <br /> ¬''P'' ↑ ¬''Q''
|truthtable-00=0
|truthtable-01=1
|truthtable-10=1
|truthtable-11=1
|image=Venn0111.svg
}}
|{{logicalconnective
|main=邏輯或非
|title=或非
|notation=''P'' ↓ ''Q''<br />''P''&nbsp;NOR&nbsp;''Q''
|equivalents=''P'' <math>\not\leftarrow</math> ¬''Q'' <br /> ¬''P'' <math>\not\rightarrow</math> ''Q'' <br /> ¬''P'' ∧ ¬''Q''
|truthtable-00=1
|truthtable-01=0
|truthtable-10=0
|truthtable-11=0
|image=Venn1000.svg
}}
|}
 
=== 圖-{}-示 ===
 
:{| style="background:transparent;text-align:center;"
|-
! [[真值表]]
!
! [[哈斯圖]]
|-
|<imagemap>
ImageFile:Logical connectives table.svg|380px
rect 399 2 542 39 [[:en:Truth table真值表|input A]]
rect 400 39 540 73 [[:en:Truth table真值表|input B]]
rect 400 128 542 706 [[:en:Truth table真值表|output f(A,B)]]
rect 3 128 398 163 [[:en:Contradiction矛盾式|X and ¬X]]
rect 3 162 398 199 [[:en:Logical conjunction逻辑与|A and B]]
rect 3 198 398 235 [[:en:Converse nonimplication反非蘊涵|¬A and B]]
rect 4 234 399 273 [[:en:Proposition命题|B]]
rect 3 273 398 309 [[:en:Material nonimplication实质非蕴涵|A and ¬B]]
rect 2 308 397 344 [[:en:Proposition命题|A]]
rect 2 344 396 379 [[:en:Exclusive or逻辑异或|A xor B]]
rect 2 379 397 415 [[:en:Logical disjunction逻辑或|A or B]]
rect 3 419 396 454 [[:en:Logical NOR逻辑或非|¬A and ¬B]]
rect 3 453 395 489 [[:en:Logical biconditional当且仅当|A xnor B]]
rect 3 489 396 525 [[:en:Negation逻辑非|¬A]]
rect 3 525 396 560 [[:en:Material implication实质条件|¬A or B]]
rect 3 563 397 601 [[:en:Negation逻辑非|¬B]]
rect 2 600 395 636 [[:en:Converse implication反蘊涵|A or ¬B]]
rect 2 634 398 671 [[:en:Sheffer stroke谢费尔竖线|¬A or ¬B]]
rect 3 670 397 706 [[:en:Tautology_(logic)重言式|X or ¬X]]
desc none
</imagemap>
|width="50pt"|
|<imagemap>
ImageFile:Logical connectives Hasse diagram.svg|350px
rect 326 28 416 200 [[:en:Tautology_(logic)重言式|X or ¬X]]
rect 81 233 166 409 [[:en:Sheffer stroke谢费尔竖线|¬A or ¬B]]
rect 260 231 349 409 [[:en:Converse implication反蘊涵|A or ¬B]]
rect 393 230 481 409 [[:en:Material implication实质条件|¬A or B]]
rect 574 232 663 408 [[:en:Logical disjunction逻辑或|A or B]]
rect 13 436 103 617 [[:en:Negation逻辑非|¬B]]
rect 147 438 235 617 [[:en:Negation逻辑非|¬A]]
rect 279 440 368 616 [[:en:Exclusive or逻辑异或|A xor B]]
rect 375 440 464 617 [[:en:Logical biconditional当且仅当|A xnor B]]
rect 507 439 595 617 [[:en:Proposition命题|A]]
rect 639 438 732 617 [[:en:Proposition命题|B]]
rect 79 647 168 826 [[:en:Logical NOR逻辑或非|¬A and ¬B]]
rect 260 647 349 826 [[:en:Material实质非蕴涵 nonimplication|A and ¬B]]
rect 392 646 482 826 [[:en:Converse nonimplication反非蘊涵|¬A and B]]
rect 574 646 663 826 [[:en:Logical conjunction逻辑与|A and B]]
rect 327 853 417 1035 [[:en:Contradiction矛盾式|X and ¬X]]
desc none
</imagemap>
|-
| align="left"|<small>[[:File:Logical connectives table.svg|<font color=#aaaaaa>(file)</font>]]</small> || || align="right"| <small>[[:File:Logical connectives Hasse diagram.svg|<font color=#aaaaaa>(file)</font>]] [http://commons.wikimedia.org/w/thumb.php?f=Logical%20connectives%20Hasse%20diagram.svg&width=1000px <font color=#aaaaaa>(zoom in)</font>]</small>
|}
<br {{clear=all>}}
{{逻辑联结词}}
 
{{数理逻辑|state=expanded}}
[[Category:布尔代数|L]]
[[Category:邏輯聯結詞]]
 
[[ca:Connectiva lògica]]
[[da:Logisk operator]]
[[de:Junktor]]
[[el:Λογικές συναρτήσεις]]
[[en:Logical connective]]
[[et:Konnektor]]
[[fa:ادات منطقی]]
[[fr:Connecteurs logiques]]
[[he:פעולה בוליאנית]]
[[hu:Logikai művelet]]
[[id:Operator logika]]
[[is:Rökaðgerð]]
[[it:Connettivo logico]]
[[ja:論理演算]]
[[ko:논리 연산]]
[[mk:Логичка операција]]
[[ms:Pengoperasi logik]]
[[nl:Booleaanse operator]]
[[pl:Funktor zdaniotwórczy]]
[[ru:Логическая операция]]
[[sk:Výroková spojka]]
[[sv:Logisk operator]]
[[th:ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์]]
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