子數列

子數列（Subsequence）係一條數列，佢係喺一條數列入面，抽啲數出嚟，再組成一條新嘅數列，咁就叫一條佢嘅子數列。

子數列好有用，因為佢可以幫助研究一條數列會唔會趨向一點。喺數學分析上面，有重要嘅影響。

定義

假設有一條數列 $X_{n}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots )$ 。可以喺入面抽特定嘅項組成新嘅子數列， $X_{n}'=(x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},\cdots )$ 。

因為 $X_{n}=(x_{n})$ ， $n\in \mathbb {N}$ 係自然數，而且佢係隨住項數增加而增加，所以佢嘅子數列 $X_{n}'=(x_{n_{k}})$ ， $n_{k}\in \mathbb {N}$ 都會隨住項數增加而增加。

注意：子數列嘅次序係必須跟主數列嘅次序。

例子

$X_{n}=(1,2,3,4,5,6,7,8\cdots )$ ，只係抽雙數項出嚟，就會有子數列。 $X_{n}'=(2,4,6,8\cdots )$ 。

子數列有幾個好重要嘅定理。

如果 $(x_{n})$ 係趨向一點 $x$ ，咁佢嘅子數列 $(x_{n}')$ 都係趨向 $x$ 。

證明

比任何 $\varepsilon >0$ ，根據定理得知，會有一個自然數 $N\in \mathbb {N}$ ，所對應嘅第 $n\geq N$ 項符合， $|x_{n}-x|<\varepsilon$ 。

根據子數列嘅定義，佢都會所對應嘅第 $n_{k}\geq n\geq N$ 項符合， $|x_{n_{k}}-x|<\varepsilon$ 。

因此，子數列都係趨向 $x$ 。

假設 $(x_{n})$ 係一條實數列，咁以下三句說話係一樣意思：

$(x_{n})$ 唔趨向呢點 $x\in \mathbb {R}$ 。
會存在一個 $\varepsilon >0$ 會令到任何 $k\in \mathbb {N}$ ，存在一個第 $n_{k}\in \mathbb {N}$ 項，符合 $n_{k}\geq k$ ，令到 $|n_{k}-x|\geq \varepsilon$ 。
會存在一個 $\varepsilon >0$ 同埋一個 $(x_{n})$ 嘅子數列 $(x_{n_{k}})$ ，令到所有嘅 $k\in \mathbb {N}$ 符合， $|x_{n_{k}}-x|\geq \varepsilon$ 。