Hệ phương trình tuyến tính

Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp n các phương trình tuyến tính với k biến số:

a_1,1x₁ + ... + a_1,kx_k = b₁

a_2,1x₁ + ... + a_2,kx_k = b₂

...

a_n,1x₁ + ... + a_n,kx_k = b_n

Hệ phương trình trên có thể được viết theo dạng phương trình ma trận:

Ax=b

Với A là ma trận chứa các hệ số a_i,j (a_i,j là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của A); x là vector chứa các biến x_j; b là vector chứa các hằng số b_i. Tức là:

${\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}$

Hệ phương trình tuyến tính có thể thấy trong nhiều ứng dụng trong khoa học.

Nghiệm

Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các trường đại số vô hạn (ví dụ số thực hay số phức), thì chỉ có ba trường hợp xảy ra:

• hệ không có nghiệm (vô nghiệm)
• hệ có duy nhất một nghiệm
• hệ có vô số nghiệm

Dưới đây liệt kê vài phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

• Phép tối giản Gauss
• Phép phân tách Cholesky
• Phép đệ quy Levinson
• Phép đệ quy Schur recursion,
• Phép phân tách giá trị dị thường

Các trường hợp

• Nếu k<n, hệ phương trình, trong trường hợp tổng quát, sẽ không có nghiệm.
• Nếu k bằng n, và ma trận A là khả nghịch thì hệ có nghiệm duy nhất:

x = A^-1 b

với A^-1 là ma trận nghịch đảo của A.

• Nếu k > n, hệ có vố số nghiệm. Có thể sử dụng biến đổi ma trận để biểu diễn n biến qua biểu thức chứa (k-n) biến số còn lại.
• Nếu b=0 (mọi b_i bằng 0), hệ được gọi là đồng nhất. Tất cả các nghiệm của một hệ phương trình đồng nhất gọi là không gian không của ma trận A, viết là null(A).

Xem thêm

• Phương trình tuyến tính
• Hệ phương trình
• Phương trình ma trận
• Ma trận nghịch đảo