Hệ phương trình tuyến tính
Giao diện
Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp n các phương trình tuyến tính với k biến số:
- a1,1x1 + ... + a1,kxk = b1
- a2,1x1 + ... + a2,kxk = b2
- ...
- an,1x1 + ... + an,kxk = bn
Hệ phương trình trên có thể được viết theo dạng phương trình ma trận:
- Ax=b
Với A là ma trận chứa các hệ số ai,j (ai,j là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của A); x là vector chứa các biến xj; b là vector chứa các hằng số bi. Tức là:
Hệ phương trình tuyến tính có thể thấy trong nhiều ứng dụng trong khoa học.
Nghiệm
Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các trường đại số vô hạn (ví dụ số thực hay số phức), thì chỉ có ba trường hợp xảy ra:
- hệ không có nghiệm (vô nghiệm)
- hệ có duy nhất một nghiệm
- hệ có vô số nghiệm
Dưới đây liệt kê vài phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:
- Phép tối giản Gauss
- Phép phân tách Cholesky
- Phép đệ quy Levinson
- Phép đệ quy Schur recursion,
- Phép phân tách giá trị dị thường
Các trường hợp
- Nếu k<n, hệ phương trình, trong trường hợp tổng quát, sẽ không có nghiệm.
- Nếu k bằng n, và ma trận A là khả nghịch thì hệ có nghiệm duy nhất:
- x = A-1 b
- với A-1 là ma trận nghịch đảo của A.
- Nếu k > n, hệ có vố số nghiệm. Có thể sử dụng biến đổi ma trận để biểu diễn n biến qua biểu thức chứa (k-n) biến số còn lại.
- Nếu b=0 (mọi bi bằng 0), hệ được gọi là đồng nhất. Tất cả các nghiệm của một hệ phương trình đồng nhất gọi là không gian không của ma trận A, viết là null(A).
Xem thêm
Các chủ đề chính trong toán học |
---|
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng | Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê |