Thành viên:Ctdbsclvn/nháp

Trang này viết về một lý thuyết vật lý. Đối với các định nghĩa khác, xem Ctdbsclvn/nháp (định hướng).

Quỹ đạo gần đúng của ba vật giống hệt nhau nằm ở các đỉnh của một tam giác lệch và có vận tốc ban đầu bằng không. Khối tâm, theo định luật bảo toàn động lượng, vẫn giữ nguyên vị trí.

Trong vật lý học, đặc biệt là cơ học cổ điển, bài toán ba vật thể bao gồm việc lấy vị trí và vận tốc ban đầu (hay động lượng) của ba khối lượng điểm và tính toán quỹ đạo tiếp theo của chúng bằng các định luật về chuyển động của Newton và định luật vạn vật hấp dẫn của Newton.

Khác với bài toán hai vật thể, bài toán ba vật thể không tồn tại biểu thức dạng đóng, và việc viết một phương trình chuẩn cho chuyển động chính xác của ba vật quay quanh nhau trong không gian là bất khả thi. Khi ba vật quay quanh nhau, hệ thống động lực có được là hỗn loạn đối với hầu hết các điều kiện ban đầu, và cách duy nhất để dự đoán chuyển động của những vật thể là tính toán bằng các phương pháp số (numerical method).

Bài toán ba vật thể là một trường hợp đặc biệt của bài toán n vật thể. Trong lịch sử, bài toán ba vật thể cụ thể đầu tiên được nghiên cứu mở rộng là bài toán liên quan đến Mặt Trăng, Trái Đất và Mặt Trời. Theo nghĩa hiện đại mở rộng, bài toán ba vật thể là bất kỳ bài toán nào trong cơ học cổ điển hoặc cơ học lượng tử mô hình hóa chuyển động của ba hạt.

Mô tả toán học

Phát biểu toán học của bài toán ba vật thể có thể được đưa ra dưới dạng những phương trình chuyển động của Newton cho các vị trí vectơ $\mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})$ của ba vật tương tác hấp dẫn với khối lượng $m_{i}$:

$${\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}$$ trong đó $G$ là hằng số hấp dẫn. Đây là một bộ gồm chín phương trình vi phân bậc hai. Bài toán cũng có thể được phát biểu tương tự dưới hình thức luận Hamilton, trong trường hợp này nó được mô tả bằng một bộ gồm 18 phương trình vi phân bậc nhất, với từng phương trình cho mỗi thành phần của các vị trí $\mathbf {r_{i}}$ và các động lượng $\mathbf {p_{i}}$:

$${\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},$$

với ${\mathcal {H}}$ là hàm Hamilton:

$${\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.$$

Trong trường hợp này, ${\mathcal {H}}$ đơn giản chỉ là tổng năng lượng của hệ, hay lực hấp dẫn cộng với động năng.

Bài toán ba vật thể thu gọn (restricted three-body problem)

Bài toán ba vật thể thu gọn vòng tròn (circular restricted three-body problem) là một xấp xỉ hợp lệ (valid approximation) của các quỹ đạo hình elip được tìm thấy trong Hệ Mặt Trời. Ta có thể hình dung điều này như một sự kết hợp của các thế (potential) do trọng lực của hai vật thể ban đầu cùng với hiệu ứng ly tâm từ chuyển động quay của chúng (các hiệu ứng Coriolis có xảy ra nhưng không được hiển thị). Các điểm Lagrange khi ấy có thể được coi là năm vị trí mà tại đó độ dốc trên bề mặt tổng hợp bằng 0, chứng tỏ rằng các lực ở đó cân bằng.

Trong bài toán ba vật thể thu gọn, một vật có khối lượng không đáng kể ("hành tinh vi hình") chuyển động dưới ảnh hưởng của hai vật có khối lượng lớn. Do đó, ta có thể bỏ qua lực mà hành tinh vi hình tác dụng lực lên hai vật thể khối lượng lớn và phân tích, mô tả hệ thu được như một bài toán về chuyển động của hai vật. Đối với một hệ quy chiếu quay, hai vật thể đồng quỹ đạo không di chuyển và vật thể thứ ba cũng có thể đứng yên tại các điểm Lagrange hoặc chuyển động xung quanh chúng, chẳng hạn như theo quỹ đạo hình móng ngựa. Việc xem xét tới thế hiệu dụng (effective potential) có thể hữu ích. Thông thường, chuyển động của hai vật thể này được coi là bao gồm các quỹ đạo tròn xung quanh khối tâm, và hành tinh vi hình được giả định là chuyển động trong mặt phẳng được xác định bởi các quỹ đạo tròn.

Bài toán ba vật thể thu gọn dễ phân tích về mặt lý thuyết hơn bài toán dạng đầy đủ. Nó cũng được quan tâm trong thực tế vì có khả năng mô tả chính xác nhiều vấn đề ở thế giới thực, ví dụ quan trọng nhất là hệ Trái Đất – Mặt Trăng – Mặt Trời. Vì những lý do này, nó đã chiếm một vai trò quan trọng trong quá trình phát triển lịch sử của bài toán ba vật thể.

Về mặt toán học, bài toán được phát biểu như sau. Gọi $m_{1,2}$ là các khối lượng của hai vật rất nặng, với các hệ tọa độ (phẳng) $(x_{1},y_{1})$ và $(x_{2},y_{2})$, và gọi $(x,y)$ là các tọa độ của hành tinh vi hình. Để đơn giản, hãy chọn những đơn vị sao cho khoảng cách giữa hai vật khổng lồ cũng như hằng số hấp dẫn đều bằng $1$. Từ đây, ta có chuyển động của hành tinh được cho bởi

$${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}$$

trong đó $r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}$. Ở dạng này, những phương trình chuyển động có sự phụ thuộc thời gian rõ ràng thông qua các tọa độ $x_{i}(t),y_{i}(t)$. Tuy nhiên, sự phụ thuộc thời gian này có thể được loại bỏ thông qua việc chuyển đổi sang hệ quy chiếu quay, giúp đơn giản hóa mọi phân tích tiếp theo.

Phương pháp giải

Lời giải chung

Một hệ gồm 3 vật thể tương tác hấp dẫn với nhau (bên trái) thì hỗn loạn, còn tương tác đàn hồi (bên phải) lại không.

Không có lời giải dạng đóng tổng quát cho bài toán ba vật thể. Nói cách khác, bài toán không có lời giải tổng quát biểu diễn được dưới dạng hữu hạn các phép toán tiêu chuẩn. Ngoài ra, chuyển động của ba vật nói chung là không lặp lại, trừ những trường hợp đặc biệt.

Tuy nhiên, vào năm 1912, nhà toán học Phần Lan Karl Fritiof Sundman đã chứng minh rằng, tồn tại một lời giải giải tích cho bài toán ba vật thể dưới dạng chuỗi Puiseux, cụ thể là chuỗi lũy thừa xét theo lũy thừa của t^1/3. Chuỗi này hội tụ với mọi t thực, ngoại trừ các điều kiện ban đầu tương ứng với mô men động lượng bằng 0. Trên thực tế, hạn chế sau là không đáng kể vì các điều kiện ban đầu có mô men động lượng bằng 0 là rất hiếm, nó tương tự như việc có độ đo Lebesgue (Lebesgue measure) bằng 0.

Một vấn đề quan trọng trong việc chứng minh kết quả này là bán kính hội tụ của chuỗi được xác định bởi khoảng cách đến điểm kỳ dị gần nhất. Vì vậy, cần phải nghiên cứu những điểm kỳ dị có thể có của các bài toán ba vật thể. Như được thảo luận ngắn gọn dưới đây, điểm kỳ dị duy nhất trong bài toán ba vật thể là các xung đột nhị phân (binary collision; va chạm giữa hai hạt tại một thời điểm) và xung đột tam phân (triple collision; va chạm giữa ba hạt tại một thời điểm).

Sự xung đột của bất kỳ con số nào đều khó có thể xảy ra, vì người ta đã chứng minh rằng chúng tương ứng với một tập hợp các điều kiện ban đầu mà số đo bằng 0 (measure zero). Nhưng không có tiêu chí nào đã biết được đặt ở trạng thái ban đầu để tránh xung đột cho lời giải tương ứng. Do vậy, chiến lược của Sundman bao gồm các bước sau:

1. Sử dụng phép đổi biến thích hợp để tiếp tục phân tích giải pháp ngoài xung đột nhị phân, trong một quá trình được gọi là chính quy hóa.
2. Chứng minh rằng các xung đột tam phân chỉ xảy ra khi mô men động lượng L bị triệt tiêu. Bằng cách giới hạn dữ liệu ban đầu ở L ≠ 0, ông đã loại bỏ tất cả những điểm kỳ dị thực khỏi các phương trình đã biến đổi của bài toán ba vật thể.
3. Chứng tỏ rằng nếu L ≠ 0 thì không những không thể xảy ra xung đột tam phân, mà hệ còn bị giới hạn chặt chẽ khỏi xung đột tam phân. Điều này ngụ ý, theo định lý tồn tại (existence theorem) của Cauchy cho các phương trình vi phân, rằng không có điểm kỳ dị phức trên một dải (phụ thuộc vào giá trị của L) trong mặt phẳng phức có tâm quanh trục thực (liên quan đến định lý Cauchy-Kovalevskaya).
4. Tìm một phép biến đổi phù hợp để ánh xạ dải này vào đĩa đơn vị. Ví dụ, nếu s = t^1/3 (biến mới sau khi chính quy hóa) và nếu | ln s | ≤ β thì ánh xạ này được cho bởi$$\sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.$$

Qua đó ta hoàn thành việc chứng minh định lý của Sundman.

Chuỗi tương ứng hội tụ cực kỳ chậm. Nghĩa là, để đạt được một giá trị với độ chính xác có ý nghĩa đòi hỏi rất nhiều số hạng, nên giải pháp này ít được sử dụng trong thực tế. Thật vậy, vào năm 1930, David Beloriszky đã tính toán rằng nếu chuỗi Sundman được sử dụng cho các quan sát thiên văn, thì các phép tính sẽ bao gồm ít nhất 10^8000000 số hạng.

Các lời giải trường hợp đặc biệt

Năm 1767, Leonhard Euler đã tìm ra ba họ nghiệm tuần hoàn trong đó ba vật có khối lượng thẳng hàng tại mỗi thời điểm.

Năm 1772, Lagrange tìm ra một họ nghiệm trong đó ba vật có khối lượng tạo thành một tam giác đều tại mỗi thời điểm. Cùng với các nghiệm cộng tuyến của Euler, những nghiệm này tạo thành các hình thể trung tâm (central configuration) cho bài toán ba vật thể. Những nghiệm này đúng cho mọi tỷ lệ khối lượng và khối lượng chuyển động trên các hình elip Kepler. Bốn họ này là nghiệm duy nhất được biết có công thức giải tích rõ ràng. Trong trường hợp đặc biệt của bài toán ba vật thể rút gọn hình tròn, các lời giải này, được xem trong một hệ quy chiếu quay với những phần tử ban đầu, trở thành các điểm được gọi là điểm Lagrange và được dán nhãn L₁, L₂, L₃, L₄, và L₅ , với L₄ và L₅ là các thể hiện đối xứng của nghiệm Lagrange.

Trong công trình được tóm tắt vào giai đoạn 1892–1899, Henri Poincaré đã chứng minh sự tồn tại của vô số lời giải tuần hoàn cho bài toán ba vật thể rút gọn, cùng với các kỹ thuật để tiếp tục các lời giải này cho bài toán ba vật thể tổng quát.

Năm 1893, Meissel phát biểu cái mà ngày nay gọi là bài toán ba vật thể Pythagoras: ba vật có khối lượng có tỷ lệ 3:4:5 được đặt đứng yên tại các đỉnh của một tam giác vuông 3:4:5, với vật nặng nhất ở góc vuông và vật nhẹ nhất ở góc nhọn nhỏ hơn. Burrau đã nghiên cứu sâu thêm về vấn đề này vào năm 1913. Năm 1967, Victor Szebehely và C. Frederick Peters thiết lập được lối thoát cuối cùng của vật nhẹ nhất cho bài toán này bằng cách sử dụng tích phân số, đồng thời tìm ra nghiệm tuần hoàn gần đó.

Thập niên 1970, Michel Hénon và Roger A. Broucke mỗi người đã tìm ra một tập hợp các nghiệm tạo thành một phần của cùng một họ nghiệm: họ Broucke – Hénon – Hadjidemetriou. Trong họ này, cả ba vật thể đều có khối lượng như nhau và có thể biểu hiện cả dạng nghịch hành và dạng trực tiếp. Trong một số nghiệm của Broucke, hai vật thể đi theo cùng một quãng đường.

An animation of the figure-8 solution to the three-body problem over a single period T ≃ 6.3259

20 ví dụ về nghiệm tuần hoàn cho bài toán ba vật thể

Năm 1993, nhà vật lý Cris Moore tại Viện Santa Fe đã tìm ra nghiệm động lượng góc bằng 0 với ba khối lượng bằng nhau chuyển động xung quanh hình số tám. Năm 2000, các nhà toán học Alain Chenciner và Richard Montgomery đã chứng minh sự tồn tại chính thức của nó. Giải pháp đã được chứng minh bằng số là ổn định đối với những nhiễu loạn nhỏ của các thông số khối lượng và quỹ đạo, điều này giúp cho những quỹ đạo như vậy có thể được quan sát trong vũ trụ vật lý. Nhưng người ta lập luận rằng điều này khó xảy ra vì phạm vi ổn định là nhỏ. Ví dụ, xác suất của một sự kiện tán xạ nhị phân–nhị phân dẫn đến quỹ đạo hình số 8 được ước tính là một phần nhỏ của một phần trăm.

In 1993, physicist Cris Moore at the Santa Fe Institute found a zero angular momentum solution with three equal masses moving around a figure-eight shape. In 2000, mathematicians Alain Chenciner and Richard Montgomery proved its formal existence. The solution has been shown numerically to be stable for small perturbations of the mass and orbital parameters, which makes it possible for such orbits to be observed in the physical universe. But it has been argued that this is unlikely since the domain of stability is small. For instance, the probability of a binary–binary scattering event resulting in a figure-8 orbit has been estimated to be a small fraction of a percent.

Vào năm 2013, các nhà vật lý Milovan Šuvkov và Veljko Dmitrašinović tại Viện Vật lý ở Belgrade đã phát hiện ra 13 họ nghiệm mới cho bài toán ba vật thể có góc bằng không có động lượng bằng khối lượng.

In 2013, physicists Milovan Šuvakov and Veljko Dmitrašinović at the Institute of Physics in Belgrade discovered 13 new families of solutions for the equal-mass zero-angular-momentum three-body problem.

In 2015, physicist Ana Hudomal discovered 14 new families of solutions for the equal-mass zero-angular-momentum three-body problem.

In 2017, researchers Xiaoming Li and Shijun Liao found 669 new periodic orbits of the equal-mass zero-angular-momentum three-body problem. This was followed in 2018 by an additional 1,223 new solutions for a zero-angular-momentum system of unequal masses.

In 2018, Li and Liao reported 234 solutions to the unequal-mass "free-fall" three-body problem. The free-fall formulation starts with all three bodies at rest. Because of this, the masses in a free-fall configuration do not orbit in a closed "loop", but travel forward and backward along an open "track".

In 2023, Ivan Hristov, Radoslava Hristova, Dmitrašinović and Kiyotaka Tanikawa published a search for "periodic free-fall orbits" three-body problem, limited to the equal-mass case, and found 12,409 distinct solutions.

Numerical approaches

Using a computer, the problem may be solved to arbitrarily high precision using numerical integration although high precision requires a large amount of CPU time. There have been attempts of creating computer programs that numerically solve the three-body problem (and by extension, the n-body problem) involving both electromagnetic and gravitational interactions, and incorporating modern theories of physics such as special relativity. In addition, using the theory of random walks, an approximate probability of different outcomes may be computed.

Lịch sử

The gravitational problem of three bodies in its traditional sense dates in substance from 1687, when Isaac Newton published his Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, when Newton was trying to figure out if any long term stability is possible, especially the system of our Earth, the Moon, and the Sun. He was guided under the major Renaissance astronomers Nicolaus Copernicus, Tycho Brahe and Johannes Kepler to the beginning of the gravitational three-body problem. In Proposition 66 of Book 1 of the Principia, and its 22 Corollaries, Newton took the first steps in the definition and study of the problem of the movements of three massive bodies subject to their mutually perturbing gravitational attractions. In Propositions 25 to 35 of Book 3, Newton also took the first steps in applying his results of Proposition 66 to the lunar theory, the motion of the Moon under the gravitational influence of Earth and the Sun. Later, this problem was also applied to other planets' interactions with the Earth and the Sun.

The physical problem was first addressed by Amerigo Vespucci and subsequently by Galileo Galilei, as well as Simon Stevin, but they did not realize what they contributed. Though Galileo determined that the speed of fall of all bodies changes uniformly and in the same way, he did not apply it to planetary motions. Whereas in 1499, Vespucci used knowledge of the position of the Moon to determine his position in Brazil. It became of technical importance in the 1720s, as an accurate solution would be applicable to navigation, specifically for the determination of longitude at sea, solved in practice by John Harrison's invention of the marine chronometer. However the accuracy of the lunar theory was low, due to the perturbing effect of the Sun and planets on the motion of the Moon around Earth.

Jean le Rond d'Alembert and Alexis Clairaut, who developed a longstanding rivalry, both attempted to analyze the problem in some degree of generality; they submitted their competing first analyses to the Académie Royale des Sciences in 1747. It was in connection with their research, in Paris during the 1740s, that the name "three-body problem" (tiếng Pháp: Problème des trois Corps) began to be commonly used. An account published in 1761 by Jean le Rond d'Alembert indicates that the name was first used in 1747.

From the end of the 19th century to early 20th century, the approach to solve the three-body problem with the usage of short-range attractive two-body forces was developed by scientists, which offered P.F. Bedaque, H.-W. Hammer and U. van Kolck an idea to renormalize the short-range three-body problem, providing scientists a rare example of a renormalization group limit cycle at the beginning of the 21st century. George William Hill worked on the restricted problem in the late 19th century with an application of motion of Venus and Mercury.

At the beginning of the 20th century, Karl Sundman approached the problem mathematically and systematically by providing a functional theoretical proof to the problem valid for all values of time. It was the first time scientists theoretically solved the three-body problem. However, because there was not a qualitative enough solution of this system, and it was too slow for scientists to practically apply it, this solution still left some issues unresolved. In the 1970s, implication to three-body from two-body forces had been discovered by V. Efimov, which was named the Efimov effect.

In 2017, Shijun Liao and Xiaoming Li applied a new strategy of numerical simulation for chaotic systems called the clean numerical simulation (CNS), with the use of a national supercomputer, to successfully gain 695 families of periodic solutions of the three-body system with equal mass.

In 2019, Breen et al. announced a fast neural network solver for the three-body problem, trained using a numerical integrator.

In September 2023, several possible solutions have been found to the problem according to reports.

Other problems involving three bodies

The term "three-body problem" is sometimes used in the more general sense to refer to any physical problem involving the interaction of three bodies.

A quantum-mechanical analogue of the gravitational three-body problem in classical mechanics is the helium atom, in which a helium nucleus and two electrons interact according to the inverse-square Coulomb interaction. Like the gravitational three-body problem, the helium atom cannot be solved exactly.

In both classical and quantum mechanics, however, there exist nontrivial interaction laws besides the inverse-square force that do lead to exact analytic three-body solutions. One such model consists of a combination of harmonic attraction and a repulsive inverse-cube force. This model is considered nontrivial since it is associated with a set of nonlinear differential equations containing singularities (compared with, e.g., harmonic interactions alone, which lead to an easily solved system of linear differential equations). In these two respects it is analogous to (insoluble) models having Coulomb interactions, and as a result has been suggested as a tool for intuitively understanding physical systems like the helium atom.

Within the point vortex model, the motion of vortices in a two-dimensional ideal fluid is described by equations of motion that contain only first-order time derivatives. I.e. in contrast to Newtonian mechanics, it is the velocity and not the acceleration that is determined by their relative positions. As a consequence, the three-vortex problem is still integrable, while at least four vortices are required to obtain chaotic behavior. One can draw parallels between the motion of a passive tracer particle in the velocity field of three vortices and the restricted three-body problem of Newtonian mechanics.

The gravitational three-body problem has also been studied using general relativity. Physically, a relativistic treatment becomes necessary in systems with very strong gravitational fields, such as near the event horizon of a black hole. However, the relativistic problem is considerably more difficult than in Newtonian mechanics, and sophisticated numerical techniques are required. Even the full two-body problem (i.e. for arbitrary ratio of masses) does not have a rigorous analytic solution in general relativity.

Bài toán n vật thể

The three-body problem is a special case of the n-body problem, which describes how n objects move under one of the physical forces, such as gravity. These problems have a global analytical solution in the form of a convergent power series, as was proven by Karl F. Sundman for n = 3 and by Qiudong Wang for n > 3 (see n-body problem for details). However, the Sundman and Wang series converge so slowly that they are useless for practical purposes; therefore, it is currently necessary to approximate solutions by numerical analysis in the form of numerical integration or, for some cases, classical trigonometric series approximations (see n-body simulation). Atomic systems, e.g. atoms, ions, and molecules, can be treated in terms of the quantum n-body problem. Among classical physical systems, the n-body problem usually refers to a galaxy or to a cluster of galaxies; planetary systems, such as stars, planets, and their satellites, can also be treated as n-body systems. Some applications are conveniently treated by perturbation theory, in which the system is considered as a two-body problem plus additional forces causing deviations from a hypothetical unperturbed two-body trajectory.

Xem thêm

• Few-body systems
• Galaxy formation and evolution
• Gravity assist
• Lagrange point
• Low-energy transfer
• Michael Minovitch
• n-body simulation
• Symplectic integrator
• Sitnikov problem
• Two-body problem
• Synodic reference frame
• Triple star system
• The Three-Body Problem (novel)
• 3 Body Problem (TV series)

Đọc thêm

• Aarseth, S. J. (2003). Gravitational n-Body Simulations. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43272-6.
• Bagla, J. S. (2005). “Cosmological N-body simulation: Techniques, scope and status”. Current Science. 88: 1088–1100. arXiv:astro-ph/0411043. Bibcode:2005CSci...88.1088B.
• Chambers, J. E.; Wetherill, G. W. (1998). “Making the Terrestrial Planets: N-Body Integrations of Planetary Embryos in Three Dimensions”. Icarus. 136 (2): 304–327. Bibcode:1998Icar..136..304C. CiteSeerX 10.1.1.64.7797. doi:10.1006/icar.1998.6007.
• Efstathiou, G.; Davis, M.; White, S. D. M.; Frenk, C. S. (1985). “Numerical techniques for large cosmological N-body simulations”. Astrophysical Journal. 57: 241–260. Bibcode:1985ApJS...57..241E. doi:10.1086/191003.
• Hulkower, Neal D. (1978). “The Zero Energy Three Body Problem”. Indiana University Mathematics Journal. 27 (3): 409–447. Bibcode:1978IUMJ...27..409H. doi:10.1512/iumj.1978.27.27030.
• Hulkower, Neal D. (1980). “Central Configurations and Hyperbolic-Elliptic Motion in the Three-Body Problem”. Celestial Mechanics. 21 (1): 37–41. Bibcode:1980CeMec..21...37H. doi:10.1007/BF01230244. S2CID 123404551.
• Li, Xiaoming; Liao, Shijun (2014). “On the stability of the three classes of Newtonian three-body planar periodic orbits”. Science China Physics, Mechanics & Astronomy. 57 (11): 2121–2126. arXiv:1312.6796. Bibcode:2014SCPMA..57.2121L. doi:10.1007/s11433-014-5563-5. S2CID 73682020.
• Moore, Cristopher (1993). “Braids in Classical Dynamics” (PDF). Physical Review Letters. 70 (24): 3675–3679. Bibcode:1993PhRvL..70.3675M. doi:10.1103/PhysRevLett.70.3675. PMID 10053934. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 8 tháng 10 năm 2018. Truy cập ngày 1 tháng 1 năm 2016.
• Poincaré, H. (1967). New Methods of Celestial Mechanics . American Institute of Physics. ISBN 978-1-56396-117-5.
• Šuvakov, Milovan; Dmitrašinović, V. (2013). “Three Classes of Newtonian Three-Body Planar Periodic Orbits”. Physical Review Letters. 110 (10): 114301. arXiv:1303.0181. Bibcode:2013PhRvL.110k4301S. doi:10.1103/PhysRevLett.110.114301. PMID 25166541. S2CID 118554305.

Liên kết ngoài

• Chenciner, Alain (2007). “Three body problem”. Scholarpedia. 2 (10): 2111. Bibcode:2007SchpJ...2.2111C. doi:10.4249/scholarpedia.2111.
• Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem (Science)
• 3body simulator – an example of a computer program that solves the three-body problem numerically