Phương trình Pell

Phương trình Pell (Pell's equation) là bài toán tìm nghiệm nguyên Diophantine bậc hai. Bài toán phát biểu như sau:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2}-dy^{2}=1$ hoặc $x^{2}-dy^{2}=-1$ với d nguyên dương và không phải là số chính phương.

Lagrange chứng minh rằng với d không phải là số chính phương, phương trình Pell có vô số nghiệm nguyên dương.

Phương trình được đặt tên là Pell, do sơ suất của Leonhard Euler. Khi Euler đọc tác phẩm của Lord Brouncker, nhà toán học châu Âu đầu tiên tìm ra lời giải tổng quát của bài toán, Euler đã nhầm Brouncker với John Pell.

Phương trình này được nghiên cứu đầu tiên ở Ấn Độ cổ đại, bởi Brahmagupta (Brahmagupta là người đã phát triển phương pháp chakravala nhằm giải quyết phương trình Pell và các phương trình bậc hai bất định khác trong tác phẩm Brahma Sphuta Siddhanta vào năm 628, trước Pell 1000 năm). Tác phẩm Brahma Sphuta Siddhanta đã được dịch sang tiếng Arap vào năm 773, và dịch sang tiếng Latin vào năm 1126. Braskara II vào thế kỉ 12 và Narayana vào thế kỉ 14 đã tìm ra lời giải tổng quát cho phương trình Pell và các phương trình bậc hai bất định khác.

Lời giải cho một số dạng đặc biệt của phương trình Pell (ví dụ khi số biến nhiều hơn 2), được biến đến từ rất lâu từ thời Pi-ta-go ở Hy Lạp cổ.

Muốn biết rõ hơn, hãy xem Lenstra (2002) and Barbeau (2003).

Lịch sử

Từ năm 400 TCN, phương trình Pell đã được nghiên cứu ở Ấn Độ và Hy Lạp. Nó được quan tâm chủ yếu trong trường hợp riêng :

$x^{2}-2y^{2}=1\,$

vì có nghiệm liên quan đến căn bậc hai của 2. Cụ thể hơn, nếu x , y là nghiệm nguyên của phương trình này, thì x / y xấp xỉ ${\sqrt {2}}$. Braudhayana khám phá ra rằng, với x = 17, y = 12 and x = 577, y = 408 là 2 nghiệm của phương trình Pell, đồng thời 17 / 12, 577 / 408 xấp xỉ rất sát với ${\sqrt {2}}$.

Sau đó, Ácsimét đã sử dụng một phương trình tương tự để ước lượng căn bậc hai của 3, và tìm ra phân số 1351/780.

Vào khoảng năm 250 Công Nguyên, Diophantus (Diophantine) đã sáng tạo ra 1 dạng khác của phương trình Pell:

$a^{2}x^{2}+c=y^{2}.\,$

Diophantus đã giải phương trình trong trường hợp a = 1 và c = −1, 1, và 12, và cho a = 3 and c = 9.

Brahmagupta phát minh ra phương pháp tổng quát cho phương trình Pell, được biết đến với tên gọi phương pháp chakravala. Alkarkhi cũng nghiên cứu các vấn đề tương tự như Diophantus. Bhāskara I đã sáng tạo ra phương pháp sinh các nghiệm mới từ một nghiệm đã biết, công trình này được E. Strachey xuất bản bằng tiếng Anh vào năm 1813.

Vào năm 1766-1769, Lagrange đã phát triển 1 lý thuyết tổng quát về phương trình Pell, dựa trên phân số liên tục và các thao tác đại số với các số thực có dạng $P+Q{\sqrt {a}}$.

Lời giải

Nhận xét, nếu (x,y) là nghiệm nguyên của phương trình đã cho thì (-x,y), (x,-y), (-x,-y) cũng là nghiệm, do đó ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm nguyên không âm.

Phương trình Pell $x^{2}-dy^{2}=1$ luôn có nghiệm tầm thường là x=1, y=0.

Lời giải cơ bản dựa trên phân số liên tục

Bước 1: Biểu diễn ${\sqrt {d}}$ dưới dạng liên phân số.

Bước 2: Viết dãy các số hữu tỉ gần đúng của ${\sqrt {d}}$ là ${\frac {h_{n}}{k_{n}}}$, khi đó thì:

(${h_{n}},{k_{n}}$) là nghiệm nguyên không âm của phương trình $x^{2}-dy^{2}=1$ với n lẻ;

(${h_{n}},{k_{n}}$) là nghiệm nguyên không âm của phương trình $x^{2}-dy^{2}=-1$ với n chẵn.

Thuật toán này cho phép tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell đã cho.

Ví dụ:

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$x^{2}-2y^{2}=1$.

Biểu diễn liên phân số của ${\sqrt {2}}$ là:

${\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\,\ldots ,]$.

Các số hữu tỉ gần đúng với ${\sqrt {2}}$ là:

$1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},{\frac {239}{169}},{\frac {577}{408}},{\frac {1393}{985}},{\frac {3363}{2378}},{\frac {8119}{5741}},\,\ldots ,$.

Lấy các số ở vị trí lẻ ta được nghiệm của phương trình $x^{2}-2y^{2}=1$ là:

(3,2) (17,12), (99,70), (577,408), (3363,2378), ... và tất nhiên cả nghiệm tầm thường là (1,0).

Phương pháp sinh từ nghiệm nguyên dương nhỏ nhất

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất theo nghĩa: x,y >0 và $x+y{\sqrt {d}}$ là nhỏ nhất.

Phương pháp này dùng để tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2}-dy^{2}=1,$ với d không phải là số chính phương .

Khi biết nghiệm nhỏ nhất của phương trình là (x₁,y₁), cho phép tìm ra tất cả các nghiệm nguyên dương còn lại theo công thức tổng quát:

$x_{i}+y_{i}{\sqrt {d}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{i}.$

Công thức truy hồi tương đương:

$\displaystyle x_{i+1}=x_{1}x_{i}+dy_{1}y_{i},$

$\displaystyle y_{i+1}=x_{1}y_{i}+y_{1}x_{i}.$

Chứng minh:

Phương trình Pell tồn tại nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là (x₁,y₁).

Trước hết chứng minh các số (x_i,y_i) cho bởi công thức tổng quát cũng là nghiệm của phương trình Pell.

Với các số (x_i,y_i) thỏa mãn :

$x_{i}+y_{i}{\sqrt {d}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{i},$

thì cũng thỏa mãn:

$x_{i}-y_{i}{\sqrt {d}}=(x_{1}-y_{1}{\sqrt {d}})^{i}.$

Suy ra:

$x_{i}^{2}-dy_{i}^{2}=(x_{i}+y_{i}{\sqrt {d}})(x_{i}-y_{i}{\sqrt {d}})=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{i}(x_{1}-y_{1}{\sqrt {d}})^{i}=(x^{2}-dy^{2})^{i}=1$.

Nên $(x_{i},y_{i})$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho.

Bây giờ ta chứng minh tất cả các nghiệm nguyên dương đều có thể biểu diễn trong công thức:

$x_{i}+y_{i}{\sqrt {d}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{i}$.

Thật vậy, giả sử tồn tại nghiệm $x^{*},y^{*}$ không thỏa mãn công thức tổng quát. Do đó tồn tại i nguyên dương sao cho:

$(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{i}<x^{*}+y^{*}{\sqrt {d}}<(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{i+1}.$

Khi đó:

$(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{i+1}(x_{1}-y_{1}{\sqrt {d}})^{i}>(x^{*}+y^{*}{\sqrt {d}})(x_{i}-y_{i}{\sqrt {d}})>(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{i}(x_{1}-y_{1}{\sqrt {d}})^{i}$

$x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}}>(x^{*}x_{i}-y^{*}y_{i}d)+(x_{i}y^{*}-y_{i}x^{*}){\sqrt {d}}>1$

Dễ thấy là : $(x^{*}x_{i}-y^{*}y_{i}d),(x_{i}y^{*}-y_{i}x^{*})$ cũng là nghiệm nguyên dương của phương trình. Và đồng thời nó còn nhỏ hơn cả nghiệm nguyên nhỏ nhất. Suy ra điều mâu thuẫn (vô lí).

Vậy điều giả sử là sai, do đó mọi nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho đều có dạng:

$(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{i}$

Ví dụ:

Trong ví dụ trước $x^{2}-2y^{2}=1$, ta tìm ra nghiệm nhỏ nhất là (3,2). Tìm các nghiệm còn lại:

$x_{2}+y_{2}{\sqrt {2}}=(3+2{\sqrt {2}})^{2}=17+12{\sqrt {2}}$, suy ra nghiệm (17,12);

$x_{3}+y_{3}{\sqrt {2}}=(3+2{\sqrt {2}})^{3}=99+70{\sqrt {2}}$, suy ra nghiệm (99,70).

Dạng biểu diễn rút gọn và các thuật toán nhanh

Trong các bài toán cụ thể, ngay cả nghiệm nhỏ nhất cũng có thể rất lớn. Và trong nhiều trường hợp, người ta phải biểu diễn nó dưới dạng gọn hơn là:

$x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=\prod _{i=1}^{t}(a_{i}+b_{i}{\sqrt {n}})^{c_{i}}$

với các hệ số a_i, b_i, and c_i nhỏ hơn rất nhiều (nếu so sánh với nghiệm nhỏ nhất).

Ví dụ, bài toán đàn gia súc Archimedes có thể giải quyết bằng cách dùng phương trình Pell, nhưng nghiệm nhỏ nhất của nó quá lớn, nếu viết hết nghiệm này ra giấy có thể đến 206545 chữ số. Và như thế phải viết nghiệm đó dưới dạng rút gọn:

$x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=u^{2329},$

với:

$u=(x'_{1}+y'_{1}{\sqrt {4729494}})$

và $\scriptstyle x'_{1}$ và $\scriptstyle y'_{1}$ lần lượt có 45 và 41 chữ số thập phân.

Chính xác hơn là:

$u=(300426607914281713365{\sqrt {609}}+84129507677858393258{\sqrt {7766}})^{2}.$ (Lenstra 2002).

Các phương pháp liên quan đến sàng toàn phương (dùng trong phân tích số ra thừa số nguyên tố), được dùng để tập hợp các mối quan hệ giữa các số nguyên tố trong trường số tổng quát hóa bởi √n, và kết hợp các mối quan hệ này nhằm tìm ra dạng biểu diễn của dạng số đó. Những thuật toán sử dụng phương trình Pell hiệu quả hơn các thuật toán dùng liên phân số rất nhiều; bởi vì hàm thời gian của các thuật toán dùng phương trình Pell không phải là các hàm đa thức. Sử dụng giả thiết Riemann tổng quát hóa, ta ước lượng được thời gian:

$\exp O({\sqrt {\log N\log \log N}}),$

với N = log n kích thước dữ liệu vào, đối với sàng toàn phương (Lenstra 2002).

Tham khảo

• Barbeau, Edward J. (2003), Pell's Equation, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, MR1949691, ISBN 0387955291.
• Cremona, John E.; Odoni, R. W. K. (1989), “Some density results for negative Pell equations; an application of graph theory”, Journal of the London Mathematical Society. Second Series, 39 (1): 16–28, doi:10.1112/jlms/s2-39.1.16, ISSN 0024-6107.
• Demeyer, Jeroen (2007), Diophantine Sets over Polynomial Rings and Hilbert’s Tenth Problem for Function Fields (PDF), Ph.D. thesis, Universiteit Gent, tr. 70.
• Edwards, Harold M. (1996), Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 50, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90230-9, MR0616635. Originally published 1977.
• S.Hallgren, Sean (2002), “Proc. 34th Annual ACM Symposium on Theory of Computing”, Journal of the ACM, New York: ACM, 54: 653–658, doi:10.1145/1206035.1206039 .
• Lenstra, H. W., Jr. (2002), “Solving the Pell Equation” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 49 (2): 182–192, MR1875156.
• Pinch, R. G. E. (1988), “Simultaneous Pellian equations”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 103 (1): 35–46, doi:10.1017/S0305004100064598.
• Schmidt, A.; Vollmer, U. (2005), “Polynomial time quantum algorithm for the computation of the unit group of a number field”, Proc. 37th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, New York: ACM, tr. 475–480, doi:10.1145/1060590.1060661.

Liên kết ngoài

• Pell's equation
• IMO Compendium text on Pell's equation in problem solving.