Xem mã nguồn của Số

{{1000 bài cơ bản}}{{Cần biên tập}}{{bài cùng tên|Số (định hướng)}}
[[Tập tin:NumberSetinC.svg|nhỏ| [[Tập hợp con (toán học)|Các tập con]] [[Số phức|của số phức]]. ]]
'''Số''' là một [[đối tượng toán học]] được sử dụng để [[đếm]], [[đo lường]] và [[Số danh nghĩa|đặt danh nghĩa]]. Các ví dụ ban đầu là các [[số tự nhiên]] [[1 (số)|1]], [[2 (số)|2]], [[3 (số)|3]], [[4 (số)|4]], v.v..<ref>{{Chú thích tạp chí|title=number, n.|url=http://www.oed.com/view/Entry/129082|journal=OED Online|language=en-GB|publisher=Oxford University Press}}</ref> Một [[biểu tượng]] đại diện cho một số được gọi là một [[Hệ đếm|chữ số]].<ref>{{Chú thích tạp chí|last=|first=|date=|title=numeral, adj. and n.|url=http://www.oed.com/view/Entry/129111|journal=OED Online|publisher=Oxford University Press|volume=|pages=}}</ref>  Ngoài việc sử dụng để đếm và đo, các chữ số thường được sử dụng cho việc đánh nhãn (như với [[số điện thoại]]), để đặt hàng (như với [[Số sêri|số sê-ri]]) và cho việc mã hóa (như với số [[ISBN]]).  Trong cách sử dụng phổ biến, ''số'' có thể đề cập đến một biểu tượng, một [[Số từ|từ]] hoặc một [[trừu tượng toán học]].

Trong [[toán học]], khái niệm về số đã được mở rộng qua nhiều thế kỷ để bao gồm [[0 (số)|0]],<ref>{{Chú thích báo|url=https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/|title=The Origin of Zero|last=Matson|first=John|work=Scientific American|access-date =ngày 16 tháng 5 năm 2017|language=en}}</ref> [[số âm]],<ref name=":0">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88#v=onepage&q&f=false|title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity|last=Hodgkin|first=Luke|date=ngày 2 tháng 6 năm 2005|publisher=OUP Oxford|year=|isbn=978-0-19-152383-0|location=|pages=85–88|language=en}}</ref> [[số hữu tỉ]] như [[1/2 (số)|{{Math|{{sfrac|1|2}}}}]] và {{Math|−{{sfrac|2|3}}}}, [[Số thực|các số thực]] <ref>T.K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11.&nbsp;In: .</ref> như [[Căn bậc hai của 2|{{Math|{{sqrt|2}}}}]] và [[Pi|{{Pi}}]], và các [[số phức]], là việc mở rộng các số thực với [[Đơn vị ảo|căn bậc hai của {{Math|−1}}]] (và các kết hợp của nó với các số thực bằng cách cộng và nhân).<ref name=":0" />  Tính toán với những con số được thực hiện với [[Số học|các phép tính số học]], các phép tính quen thuộc nhất là [[Phép cộng|cộng]], [[Phép trừ|trừ]], [[Phép nhân|nhân]], [[Phép chia|chia]] và [[lũy thừa]].  Việc nghiên cứu hoặc sử dụng của chúng được gọi là [[số học]]. Thuật ngữ tương tự cũng có thể đề cập đến [[lý thuyết số]], môn nghiên cứu các tính chất của số.

Bên cạnh những ứng dụng thực tế của chúng, những con số có ý nghĩa văn hóa trên toàn thế giới.<ref name="Gilsdorf">Gilsdorf, Thomas E. ''Giới thiệu về Toán học văn hóa: Với các nghiên cứu trường hợp ở Otomies và Incas'', John Wiley & Sons, ngày 24 tháng 2 năm 2012.</ref><ref name="Restivo">Restivo, S. ''Toán học trong xã hội và lịch sử'', Springer Science & Business Media, ngày 30 tháng 11 năm 1992.</ref>  Ví dụ, trong xã hội phương Tây, số [[13 (số)|13]] được coi là không may mắn và "một [[triệu]]" có thể biểu thị "rất nhiều".<ref name="Gilsdorf" />  Mặc dù bây giờ nó được coi là [[giả khoa học]], khoa nghiên cứu số, với niềm tin vào một ý nghĩa huyền bí của các con số, đã thấm nhuần vào các tư tưởng cổ đại và trung cổ.<ref name="Ore">Quặng, Oystein. ''Lý thuyết số và lịch sử của nó'', ấn phẩm chuyển phát nhanh.</ref>  Số học ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của [[toán học Hy Lạp]], kích thích việc tìm tòi giải quyết nhiều vấn đề trong lý thuyết số mà vẫn còn được quan tâm cho đến ngày nay.<ref name="Ore" />

Trong thế kỷ 19, các nhà toán học bắt đầu phát triển nhiều khái niệm trừu tượng khác nhau có chung các tính chất nhất định của các con số và có thể được coi là mở rộng khái niệm này.  Trong số đầu tiên là các [[số siêu phức]], bao gồm các phần mở rộng hoặc sửa đổi khác nhau của hệ thống số phức.  Ngày nay, các hệ thống số được coi là ví dụ đặc biệt quan trọng của các loại tổng quát hơn nhiều như [[Vành|vòng]] và [[Trường (đại số)|trường]], và việc áp dụng thuật ngữ "số" là một vấn đề quy ước, không có ý nghĩa cơ bản.<ref>Gouvea, Fernando Q. ''[[The Princeton Companion to Mathematics]], Chapter II.1, "The Origins of Modern Mathematics"'', p. 82. Princeton University Press, ngày 28 tháng 9 năm 2008. {{ISBN|978-0-691-11880-2}}.</ref>

== Lịch sử ==

=== Di tích đầu tiên của việc sử dụng số ===
Xương và các hiện vật khác đã được phát hiện với những vết cắt trên chúng mà nhiều người tin rằng đó là các dấu tích cho việc sử dụng số.<ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=vbQ9AAAAIAAJ|title=The roots of civilization; the cognitive beginnings of man's first art, symbol, and notation.|last=Marshack|first=Alexander|date=1971|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-040535-2|edition=[1st ed.]|location=New York|oclc=257105}}</ref> Những dấu tích này có thể đã được sử dụng để đếm thời gian trôi qua, như số ngày, chu kỳ mặt trăng hoặc ghi chép số lượng, như số lượng động vật.

Hệ thống đếm này không có khái niệm về giá trị vị trí (như trong ký hiệu [[Hệ thập phân|thập phân]] hiện đại), điều này hạn chế khả năng biểu diễn các số lớn của nó. Tuy nhiên, nó được xem là loại hệ thống số trừu tượng đầu tiên.

Hệ thống đầu tiên được biết đến với giá trị vị trí đó là hệ đếm cơ số 60 của vùng Lưỡng Hà ({{Nowrap|{{circa}}}}3400 TCN) và hệ đếm cơ số 10 cổ xưa nhất từng được biết đến là vào năm 3100 trước Công Nguyên tại Ai Cập.<ref>{{chú thích web|url=http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin|title=Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora|publisher=Math.buffalo.edu|archive-url=https://web.archive.org/web/20150407231917/http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin|archive-date=2015-04-07|url-status=live|access-date=2012-01-30}}</ref>

=== Chữ số ===
Số nên được phân biệt với '''[[chữ số]]''', là các ký hiệu được sử dụng để đại diện cho số.  Người Ai Cập đã phát minh ra hệ thống chữ số được mã hóa đầu tiên, và người Hy Lạp theo sau bằng cách ánh xạ các số đếm của họ lên bảng chữ cái Ionia và Doric.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Chrisomalis|first=Stephen|date=ngày 1 tháng 9 năm 2003|title=The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals|url=https://www.cambridge.org/core/journals/antiquity/article/egyptian-origin-of-the-greek-alphabetic-numerals/B21F16056A89CCDF000EE98CAC4E43AE|journal=Antiquity|volume=77|issue=297|pages=485–96|doi=10.1017/S0003598X00092541|issn=0003-598X}}</ref>  [[Chữ số La Mã]], một hệ thống sử dụng kết hợp các chữ cái trong bảng chữ cái La Mã, vẫn chiếm ưu thế ở [[châu Âu]] cho đến khi hệ thống chữ số Ả Rập vượt trội vào khoảng cuối thế kỷ 14, và hệ thống [[chữ số Ả Rập|chữ số Ả Rập - Hindu]] vẫn là hệ thống phổ biến nhất để biểu thị các số trên thế giới ngày nay.<ref name="Cengage Learning2">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192|title=The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1|last=Bulliet|first=Richard|last2=Crossley|first2=Pamela|last3=Headrick|first3=Daniel|last4=Hirsch|first4=Steven|last5=Johnson|first5=Lyman|publisher=Cengage Learning|year=2010|isbn=1-4390-8474-2|page=192|quote=Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today}}{{Cần nguồn tốt hơn}}</ref> Điểm mấu chốt cho tính hiệu quả của hệ thống đó là biểu tượng cho [[số không]], được các [[Toán học Ấn Độ|nhà toán học Ấn Độ]] cổ đại phát triển vào khoảng năm 500 sau Công nguyên.<ref name="Cengage Learning2" />

=== Số không ===
Tài liệu đầu tiên được biết đến đã sử dụng số 0 là tác phẩm ''[[Brāhmasphuṭasiddhānta]]'' năm 628, tác phẩm chính của [[Toán học Ấn Độ|nhà toán học Ấn Độ]] [[Brahmagupta]].  Ông coi 0 là một số và thảo luận các phép tính liên quan đến nó, bao gồm cả [[Phép chia cho 0|phép chia]].  Vào thời điểm này này (thế kỷ 7) khái niệm này rõ ràng đã đến Campuchia dưới dạng chữ số Khmer và tài liệu cho thấy ý tưởng này sau đó lan sang [[Trung Quốc]] và [[thế giới Hồi giáo]]. 
[[Tập tin:Khmer_Numerals_-_605_from_the_Sambor_inscriptions.jpg|nhỏ|Số 605 bằng [[Chữ Khmer|chữ số Khmer]], từ một dòng chữ từ năm [[683]] sau [[Công Nguyên|Công nguyên]].  Đây là bằng chứng sử dụng sớm của số [[0 (số)|0]] dưới dạng số thập phân.]]
Tác phẩm Brahmasphuṭasiddhanta là cuốn sách đầu tiên đề cập đến số 0 dưới dạng số, do đó Brahmagupta thường được coi là tác giả đầu tiên hình thành khái niệm về số 0.  Ông đã đưa ra các quy tắc sử dụng số 0 với số âm và [[số dư]]ơng, chẳng hạn như 'Số 0 cộng với [[số dư]]ơng là [[số dư]]ơng và số âm cộng với số 0 là số âm'.  Brahmasphutasiddhanta là văn bản được biết đến sớm nhất đã coi số 0 là số theo đúng nghĩa của nó, thay vì chỉ đơn giản là một chữ số giữ chỗ để biểu thị một số khác như được người Babylon đã quan niệm hoặc như một biểu tượng cho việc thiếu số lượng như Ptolemy và người La Mã đã làm.

Việc sử dụng số 0 như một số nên được phân biệt với việc sử dụng số này dưới dạng số giữ chỗ trong các hệ thống giá trị theo vị trí.  Nhiều văn bản cổ được sử dụng 0.  Các văn bản Babylon và Ai Cập đã sử dụng nó.  Người Ai Cập đã dùng từ ''nfr'' để biểu thị [[số dư]] là không trong [[Hệ thống ghi sổ kép|kế toán kép]].  Các văn bản Ấn Độ đã sử dụng một từ [[tiếng Phạn]] {{Lang|sa-Latn|Shunye}}  hoặc {{Lang|sa|shunya}}  để chỉ khái niệm về ''khoảng trống''. Trong các văn bản toán học, từ này thường đề cập đến số không.<ref>{{Chú thích web|url=http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/apr99/0197.html|title=Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM&#93; The Zero Story: a question|date = ngày 26 tháng 4 năm 1999 |publisher=Sunsite.utk.edu|archive-url=https://web.archive.org/web/20120112073735/http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/apr99/0197.html|archive-date = ngày 12 tháng 1 năm 2012 |url-status=dead|access-date = ngày 30 tháng 1 năm 2012}}</ref>  Trong một kiểu tương tự, [[Pāṇini]] (thế kỷ thứ 5 TCN) đã sử dụng toán tử null (zero) trong Ashtadhyayi, một ví dụ ban đầu về [[ngữ pháp]] [[đại số]] cho ngôn ngữ tiếng Phạn (cũng xem thêm [[Pingala|êngala]]).

Có những cách sử dụng khác của số 0 trước Brahmagupta, mặc dù các tài liệu này không đầy đủ như trong Brahmasphutasiddhanta.

Hồ sơ cho thấy [[Hy Lạp cổ đại|người Hy Lạp cổ đại]] dường như không chắc chắn về tình trạng của 0 như một con số: họ tự hỏi "làm thế nào 'không có gì' có thể là một cái gì đó?" dẫn đến một câu hỏi [[triết học]] thú vị, vào thời Trung cổ, đã có các lập luận tôn giáo về bản chất và sự tồn tại của số 0 và [[chân không]].  Những [[Nghịch lý Zeno|nghịch lý]] của [[Zeno xứ Elea|Zeno of Elea]] phụ thuộc một phần vào sự giải thích không chắc chắn của &nbsp;số 0.  (Người Hy Lạp cổ đại thậm chí đặt câu hỏi liệu {{Num|1}} có phải là một số.)

Người [[Văn minh Olmec|Olmec]] ở miền trung nam [[México]] bắt đầu sử dụng biểu tượng cho số 0, khắc trên vỏ sò, ở Thế giới mới, có thể vào thế kỷ 4 TCN nhưng chắc chắn hơn là vào năm 40 TCN, đã trở thành một phần không thể thiếu của [[chữ số Maya]] và [[lịch Maya]].  Số học Maya sử dụng cơ số 4 và cơ số 5 viết theo cơ số 20.  Sanchez năm 1961 báo cáo một [[bàn tính]] theo cơ số 4 và cơ số 5 dạng ngón tay.

Vào năm 130 sau Công nguyên, [[Claudius Ptolemaeus|Ptolemy]], chịu ảnh hưởng của [[Hipparchus (nhà thiên văn)|Hipparchus]] và người Babylon, đã sử dụng một biểu tượng cho số&nbsp; 0 (một vòng tròn nhỏ có thanh ngang dài) trong một hệ thống số cơ số 60 bằng cách sử dụng các chữ cái Hy Lạp thay cho chữ số.  Bởi vì nó được sử dụng một mình, không chỉ là một vị trí giữ chỗ, số 0 Hy Lạp này là ''tài liệu'' đầu tiên sử dụng số 0 thực sự trong Thế giới cũ.  Trong [[Đế quốc Đông La Mã|các]] bản thảo [[Đế quốc Đông La Mã|Byzantine]] sau này của ''Syntaxis Mathematica'' (''Almagest''), số 0 Hy Lạp đã biến thành [[Bảng chữ cái Hy Lạp|chữ Hy Lạp]] [[Omicron]] (nghĩa là 70).

Một số 0 có thực khác được sử dụng trong các bảng cùng với [[số La Mã]] vào năm 525 (được [[Dionysius Exiguus]] sử dụng lần đầu tiên), nhưng như một từ, {{Lang|la|nulla}}  có nghĩa là ''không có gì'', không phải là một biểu tượng.  Khi phép chia có [[số dư]]&nbsp; 0, tác giả sử dụng chữ {{Lang|la|nihil}}, cũng có nghĩa là ''không có gì''.  Những số không thời trung cổ đã được sử dụng bởi tất cả các người tính toán của thời trung cổ trong tương lai (máy tính ngày [[Lễ Phục Sinh|Phục Sinh]]).  Một cách sử dụng riêng biệt của số 0 bằng cách lấy chữ cái đầu, N, đã được [[Bêđa|Bede]] hoặc một đồng nghiệp sử dụng trong một bảng các chữ số La Mã vào khoảng năm 725, và đây là một biểu tượng số 0 thực sự.

=== Số âm ===
Khái niệm trừu tượng về số âm được công nhận sớm nhất là 100-50 TCN tại Trung Quốc.  ''[[Cửu chương toán thuật]]'' chứa các phương pháp để tìm diện tích của các hình; que màu đỏ đã được sử dụng để biểu thị [[hệ số]] dương, que màu đen cho các hệ số âm.<ref>{{Chú thích sách|title=The Mathematical Palette (3rd ed.)|last=Staszkow|first=Ronald|last2=Robert Bradshaw|publisher=Brooks Cole|year=2004|isbn=0-534-40365-4|page=41}}</ref>  Tài liệu tham khảo đầu tiên trong một tác phẩm phương Tây là trong thế kỷ 3 sau công nguyên ở [[Hy Lạp]]. [[Diofantos|Diophantus đã]] đề cập đến phương trình tương đương với {{Nowrap|4''x'' + 20 {{=}} 0}} (nghiệm là số âm) trong ''[[Arithmetica]]'', nói rằng phương trình đã cho kết quả vô lý.

Trong những năm 600, số âm được sử dụng ở [[Ấn Độ]] để thể hiện các khoản nợ.  Tài liệu tham khảo trước đây của Diophantus đã được thảo luận rõ ràng hơn bởi nhà toán học Ấn Độ [[Brahmagupta]] trong tác phẩm ''[[Brāhmasphuṭasiddhānta]]'' năm 628, người đã sử dụng các số âm để tạo ra công thức [[phương trình bậc hai]] tổng quát mà vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay.  Tuy nhiên, vào thế kỷ 12 ở Ấn Độ, Bhaskara đưa ra các hệ số là số âm cho các phương trình bậc hai nhưng nói rằng giá trị âm "trong trường hợp này không được thực hiện, vì nó không đầy đủ; mọi người không tán thành các hệ số là số âm."

[[Châu Âu|Các]] nhà toán học [[châu Âu]], phần lớn, đã chống lại khái niệm số âm cho đến thế kỷ 17, mặc dù [[Fibonacci]] cho phép các nghiệm là số âm trong các bài toán tài chính, nơi chúng có thể được hiểu là các khoản nợ (chương 13 của ''Liber Abaci'', 1202) và sau đó như là thua lỗ (theo {{Lang|la|Flos}}).  Đồng thời, người Trung Quốc đã chỉ ra các số âm bằng cách vẽ một nét chéo qua chữ số tận cùng bên phải nhất của chữ [[số dư]]ơng tương ứng.<ref>{{Chú thích sách|title=History of Modern Mathematics|last=Smith|first=David Eugene|publisher=Dover Publications|year=1958|isbn=0-486-20429-4|page=259|author-link=David_Eugene_Smith}}</ref>  Việc sử dụng đầu tiên của số âm trong một tác phẩm châu Âu là của [[Nicolas Chuquet]] trong thế kỷ 15.  Ông đã sử dụng chúng như [[Lũy thừa|số mũ]], nhưng gọi chúng là "số vô lý".

Gần hơn, vào thế kỷ 18, người ta thường bỏ qua mọi kết quả số âm được trả về bởi các phương trình với giả định rằng chúng là vô nghĩa, giống như [[René Descartes]] đã làm với các nghiệm số là số âm trong [[hệ tọa độ Descartes]].

== Sự phân cấp chủ yếu của các loại số ==
Các số có thể được phân loại vào các [[Tập hợp (toán học)|tập hợp]], gọi là '''tập hợp số''' hoặc '''hệ thống số''', ví dụ như các [[số tự nhiên]] và các [[số thực]]. Các hệ thống số chính là như sau:
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto; max-width: 600px; overflow-x: auto"
|+Các hệ thống số chính
!<math>\mathbb{N}</math>
![[Số tự nhiên|Các số tự nhiên]]
|0, 1, 2, 3, 4, 5, ... hoặc 1, 2, 3, 4, 5, ...

<math>\mathbb{N}_0</math> hoặc <math>\mathbb{N}_1</math> thỉnh thoảng được sử dụng.
|-
!<math>\mathbb{Z}</math>
![[Số nguyên|Các số nguyên]]
|..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
!<math>\mathbb{Q}</math>
![[Số hữu tỉ|Các số hữu tỷ]]
|{{sfrac|''a''|''b''}} tại đó ''a'' và ''b'' là các số nguyên và ''b'' khác 0
|-
!<math>\mathbb{R}</math>
![[Số thực|Các số thực]]
|Giới hạn của một dãy hội tụ các số hữu tỷ.
|-
!<math>\mathbb{C}</math>
![[Số phức|Các số phức]]
|''a'' + ''bi'' tại đó ''a'' và ''b'' là các số thực và ''i'' là căn bậc hai chính thức của&nbsp;−1
|}
Mỗi hệ thống số này là một [[Tập hợp con|tập con]] của hệ thống tiếp theo. Vì vậy, ví dụ, một số hữu tỷ cũng là một số thực, và mỗi số thực cũng là một số phức. Điều này có thể được biểu diễn bằng ký hiệu như sau: <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math>.

Các số có thể phân chia thành các [[tập hợp]] số theo các hệ thống số khác nhau.
# [[Số tự nhiên]]
# [[Số dương]]
# [[Số âm]]
# [[Số nguyên tố]]
# [[Số hữu tỉ]]
# [[Số vô tỉ]]
# [[Số thực]]
# [[Số phức]]
# [[Hợp số]]
# [[Số chính phương]]

=== Số dương ===
{{chính|Số dương}}
Số dương là [[Số thực|số]] có giá trị lớn hơn [[0 (số)|0]]. [[Số dương]] có thể đặt một dấu "+" ở trước nó. Chúng thuộc tập hợp [[số thực]] R.

=== Số âm ===
{{chính|Số âm}}
Số âm là [[số thực|số]] có giá trị nhỏ hơn [[0 (số)|0]]. Trong [[toán học]], số âm thường được biểu diễn bằng một dấu trừ – trước giá trị dương tương ứng. Giống như [[số dương]]

=== Số tự nhiên ===
{{chính|Số tự nhiên}}
Loại số quen thuộc nhất với hầu như tất cả mọi người là số tự nhiên, trước kia nó được hiểu như [[số tự nhiên|số nguyên dương]] (không kể số 0), nhưng ngày nay đa số các tài liệu toán học thống nhất nó bao gồm cả số không ([[số tự nhiên|số nguyên không âm]]). Các số nguyên dương được xem như là các số để đếm.

Trong [[hệ thập phân]] được dùng rộng rãi, các ký hiệu dùng để viết số tự nhiên là các chữ số từ 0 đến 9. Trong hệ này, mỗi vị trí tương ứng với một lũy thừa của 10, các số lớn hơn 9 được biểu diễn bởi hai hoặc nhiều hơn các chữ số. Còn có thể ghi theo các hệ cơ số khác như [[hệ nhị phân]], [[hệ bát phân]], [[hệ thập lục phân]],...Tập các số tự nhiên thường được ký hiệu là <math>\mathbb{N}</math>.

=== Số nguyên ===
{{chính|Số nguyên}}
Số nguyên bao gồm các số tự nhiên và các số đối của các số tự nhiên dương. Số đối của một số tự nhiên dương ''n'' là một số khi cộng với ''n'' cho kết quả bằng [[0 (số)|không]], nó thường được viết bằng cách thêm dấu "trừ" đằng trước số ''n''. Về ý nghĩa, nếu một [[số dư]]ơng là một khoản tiền gửi ngân hàng thì số âm là số biểu thị khoản tiền rút ra. Tập các số nguyên thường được ký hiệu là <math>\mathbb{Z}</math> ([[viết tắt]] của từ ''Zahl'' trong [[tiếng Đức]]).

=== Số nguyên tố và hợp số ===
{{Chính|Số nguyên tố|Hợp số}}
Số nguyên tố là số chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. VD: [[2]], [[3]], [[5]], [[7]], [[11]], [[13]], [[17]], [[19]],...

Hợp số là số có nhiều hơn 2 ước. VD: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,...

Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố và cũng không phải là hợp số.

=== Số hữu tỉ ===
{{chính|Số hữu tỉ}}

Một số hữu tỉ là một số có thể biểu diễn như một thương (hay phân số) của phép chia một số nguyên cho một số tự nhiên khác 0. Thường m/n là diễn tả việc chia một khối lượng nào đó thành n phần bằng nhau và chọn lấy phần m. Hai phân số khác nhau có thể biểu diễn cho cùng một số, chẳng hạn ½ và 2/4 là như nhau. Nếu [[giá trị tuyệt đối]] của m lớn hơn n thì giá trị tuyệt đối của phân số lớn hơn một. Phân số có thể dương âm hoặc bằng 0. Một số hữu tỉ có thể viết dưới dạng một [[số thập phân]] hữu hạn hoặc một [[số thập phân vô hạn tuần hoàn]].

Ví dụ:

# Số thập phân hữu hạn: <math>0,25 = \frac{1}{4}</math>(số thập phân có số lượng chữ số thập phân hữu hạn)
# Số thập phân vô hạn tuần hoàn: <math>0,33333333333333333333333...=\frac{1}{3}</math>(số thập phân vô hạn có chu kỳ lặp đi lặp lại)

Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là <math>\mathbb Q</math>.

=== Số vô tỉ ===
{{chính|Số vô tỉ}}

Số vô tỉ là số không thể biểu diễn được thành [[tỉ số]] với tử số và mẫu số nguyên hay còn gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Ví dụ:
# Số thập phân vô hạn không tuần hoàn: <math>0,1010010001000010000010000001...</math>(số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi)
# Số<math>\sqrt{2} = 1,414213...</math>([[căn bậc hai]] của [[2 (số)|2]])
# Số <math>\pi = 3,141592653589793...</math>(số [[Pi]])
# Số lôgarít tự nhiên <math>e = 2,718281...</math>(xem ''[[Số e]]'')

Tập hợp các số vô tỉ được ký hiệu là <math>\mathbb I</math>.

=== Số thực ===
{{chính|Số thực}}
Các số hữu tỉ (các [[phân số]] <math>\frac m n</math> trong đó <math>m \in \mathbb Z</math>, <math>n \in \mathbb N, n>0</math>) không đủ dùng để biểu diện các [[độ đo]] trong [[hình học]], chẳng hạn [[chiều dài|độ dài]] [[đường chéo]] của một [[hình vuông]] có cạnh là 1 là <math>\sqrt 2</math>. Có thể chứng minh rằng, không có số hữu tỉ nào [[bình phương]] bằng 2.

Tổng quát hơn, người ta mở rộng tập hợp số hữu tỷ thành tập hợp số trong đó mọi [[dãy Cauchy]] đều có [[giới hạn]], tập hợp đó được gọi là tập hợp số thực.

(Dãy {x<sub>n</sub>}n <math>\in \mathbb N</math> được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số r > 0 tồn tại [[số tự nhiên|số nguyên dương]] N sao cho với mọi m,n > N luôn có | x<sub>m</sub> − x<sub>n</sub> | < r.)

Tập hợp các số thực được ký hiệu là <math>\mathbb R</math>

Như vậy <math>\mathbb R =\mathbb Q \cup \mathbb I</math> và <math>\mathbb Q \cap \mathbb I = \varnothing</math>.

Tập các số thực còn được phân chia thành tập hợp các [[số đại số]] và tập hợp các [[số siêu việt]].

=== Số phức ===
{{chính|Số phức}}
Tập các số phức là mở rộng đại số của tập các số thực với việc bổ sung một số mới là căn bậc hai của -1, số này được gọi là [[đơn vị ảo]] và ký hiệu là ''i''. Khi đó tập các số phức là tập các số dạng ''z''=''a''+''b''×''i''. Kí hiệu là '''''C'''''.

Trong tập các số phức, mọi phương trình đại số bậc ''n'' có đúng ''n'' nghiệm.

Tập các số phức được ký hiệu là <math>\mathbb C</math>, như vậy quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số đã biết là: 
:<math>\mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \sub \mathbb{R} \sub \mathbb{C}</math>.

=== Số siêu phức ===
{{chính|Số siêu phức}}
[[Khái niệm]] mở rộng của [[số phức]] từ dạng [[tổ hợp tuyến tính]] 2 chiều ''z'' = ''a'' +'' b''.''i'' với các [[hệ số]] thực a, b của hai [[đơn vị đo|đơn vị]] cơ sở 1 và i sang [[không gian vectơ n chiều]] với n [[hệ số thực]] x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,..., x<sub>n-&</sub>, của n dơn vị cơ sở 1, e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, e<sub>3</sub>,..., e<sub>n-1</sub>:
<Center>'''z''' = '''x'''<sub>0</sub>.'''1''' + '''x'''<sub>1</sub>.'''e'''<sub>1</sub> + '''x'''<sub>2</sub>.'''e'''<sub>2</SUB> +... + '''x'''<sub>n-1</sub>.'''e'''<sub>n-1</sub></Center>

=== Số đại số===
{{chính|Số đại số}}
Số đại số là số có thể thỏa mãn (nghiệm) một [[phương trình đại số]]. Số đại số có thể là [[số thực]] hoặc [[số phức]].

=== Số siêu việt ===
{{chính|Số siêu việt}}
Số siêu việt là số vô tỉ (thực hoặc phức) không là nghiệm của bất kì một phương trình đại số nào. Nói theo ngôn ngữ [[toán tập hợp]], trường số siêu việt là [[phần bù]] của trường số đại số.

== Biểu diễn số ==
Các [[số thực]] có thể được biểu diễn dưới dạng [[số hữu tỉ|số thập phân hữu hạn]], [[Số thập phân vô hạn tuần hoàn|vô hạn tuần hoàn]] và [[số vô tỉ|không tuần hoàn]]. Còn các [[số phức]] có thể biểu diễn dưới dạng [[Phép cộng|tổng]] có số hạng thứ nhất là một số thực và số hạng thứ hai là [[Phép nhân|tích]] của một số thực với ''[[Đơn vị ảo|i]]''.

== Các tập hợp số ==
{| 
| <math>\mathbb{N}</math>: Tập hợp [[số tự nhiên]] || rowspan="6" | [[Tập tin:Set of real numbers (diagram).svg|262x262px|nhỏ|Các [[tập hợp]] số]]
|-
| <math>\mathbb{Z}</math>: Tập hợp [[số nguyên]]
|- 
| <math>\mathbb{Q}</math>: Tập hợp [[số hữu tỉ]]
|-
| <math>\mathbb{I}</math>: Tập hợp [[số vô tỉ]]
|-
| <math>\mathbb{R}</math>: Tập hợp [[số thực]]
|-
|<math>\mathbb{C}</math>: Tập hợp [[số phức]]
|}
== Xem thêm ==
== Tham khảo ==
{{tham khảo}}
{{chú thích trong bài}}

== Liên kết ngoài ==
{{Chủ đề|Toán học}}
* {{thể loại Commons nội dòng|Numbers}}
* {{Britannica|422286|Number (mathematics)}}
{{Hệ thống số }}
{{Lý thuyết số}}

[[Thể loại:Số học]]
[[Thể loại:Bài cơ bản dài trung bình]]
[[Thể loại:Lý thuyết nhóm]]
[[Thể loại:Đối tượng toán học]]
[[Thể loại:Số| ]]