Số Skewes

Vấn đề mở trong toán học:

Tìm giá trị của số Skewes nhỏ nhất

Trong lý thuyết số, số Skewes là bất kỳ số lớn nào được nhà toán học Nam Phi Stanley Skewes đặt làm cận trên cho số tự nhiên $x$ nhỏ nhất thỏa mãn

\pi (x)>\operatorname {li} (x),

trong đó $\pi$ là hàm đếm số nguyên tố và $li$ là hàm tích phân lôga. Số Skewes rất lớn, nhưng nay người ta đã biết có một giao điểm nằm giữa $\pi (x)<\operatorname {li} (x)$ và $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ gần $e^{727,95133}<1,397\times 10^{316},$ song vẫn chưa rõ liệu đây đã là giao điểm nhỏ nhất hay chưa.

Các số Skewes

John Edensor Littlewood, người giám sát nghiên cứu của Skewes, đã chứng minh trong Littlewood (1914) rằng tồn tại một số như vậy (và do đó, sẽ là số Skewes đầu tiên); ông thực sự đã phát hiện ra rằng dấu của hiệu $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ đổi vô số lần. Vào thời điểm đó, mọi chứng minh tính toán đều cho rằng $\pi (x)$ luôn nhỏ hơn $\operatorname {li} (x)$ . Tuy nhiên, chứng minh của Littlewood không đưa ra một số $x$ cụ thể.

Skewes (1933) chứng minh rằng, giả sử giả thuyết Riemann là đúng, thì tồn tại số $x$ vi phạm $\pi (x)<\operatorname {li} (x)$ nằm dưới

e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}

.

Trong Skewes (1955), không dùng đến giả thuyết Riemann, Skewes đã chứng minh rằng tồn tại $x$ nằm dưới

e^{e^{e^{e^{7,705}}}}<10^{10^{10^{964}}}

.

Nhiệm vụ của Skewes là đảm bảo bài chứng minh tính tồn tại trên của Littlewood có hiệu lực: biểu diễn một số cận trên cụ thể cho lần đầu đổi dấu. Theo Georg Kreisel, tại thời điểm đó nó chưa được coi là điều hiển nhiên, kể cả trên nguyên lý.

Các ước tính gần đây

Từ thời điểm đó, các giá trị cận trên được giảm đi đáng kể nhờ dùng tính toán bằng điện tính cỡ lớn các nghiệm của hàm zeta Riemann. Ước lượng đầu tiên cho giá trị thực sự của giao điểm được cho bởi Lehman (1966), người chứng tỏ rằng giữa $1,53\times 10^{1165}$ và $1,65\times 10^{1165}$ có hơn $10^{500}$ số nguyên $x$ liên tiếp thỏa mãn $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ . Không dùng giả thuyết Riemann, H. J. J. te Riele (1987) chứng minh một cận trên bằng $7\times 10^{370}$ . Một ước tính tốt hơn là $1,39822\times 10^{316}$ do Bays & Hudson (2000) tìm thấy, bộ đôi này đã chứng minh có ít nhất $10^{153}$ số nguyên liên tiếp đâu đó gần giá trị này thỏa mãn $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ . Bays và Hudson tìm thấy các giá trị nhỏ hơn nhiều của $x$ sao cho $\pi (x)$ tới gần $\operatorname {li} (x)$ ; thể hiện khả năng vẫn có các giao điểm chưa được xét, mặc dù điện toán cho rằng các giá trị này có thể không tồn tại. Chao & Plymen (2010) củng cố một chút kết quả của Bays và Hudson. Saouter & Demichel (2010) tìm một khoảng nhỏ hơn, sau được cải thiện bởi Zegowitz (2010). Cùng nguồn đấy cũng chỉ rằng tồn tại số $x$ vi phạm $\pi (x)<\operatorname {li} (x),$ nằm dưới $e^{727,9513468}<1,39718\times 10^{316}$ . Giá trị này có thể giảm xuống dưới $e^{727,9513386}<1,39717\times 10^{316}$ nếu giả sử giả thuyết Riemann đúng. Stoll & Demichel (2011) cho $1,39716\times 10^{316}$ .

Năm	Gần x	Số nghiệm phức được dùng	Bởi
2000	1,39822 ×10³¹⁶	1 ×10⁶	Bays và Hudson
2010	1,39801 ×10³¹⁶	1 ×10⁷	Chao và Plymen
2010	1,397166 ×10³¹⁶	2,2 ×10⁷	Saouter và Demichel
2011	1,397162 ×10³¹⁶	2,0 ×10¹¹	Stoll và Demichel

Rosser & Schoenfeld (1962) đã chứng minh chặt chẽ rằng không có giao điểm nào dưới $x=10^{8}$ , được Brent (1975) cải tiến thành $8\times 10^{10}$ , Kotnik (2008) tới $10^{14}$ , Platt & Trudgian (2014) tới $1,39\times 10^{17}$ , và Büthe (2015) tới $10^{19}$ .

Tham khảo

Bays, C.; Hudson, R. H. (2000), “A new bound for the smallest $x$ with $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ ” (PDF), Mathematics of Computation, 69 (231): 1285–1296, doi:10.1090/S0025-5718-99-01104-7, MR 1752093, Zbl 1042.11001
Brent, R. P. (1975), “Irregularities in the distribution of primes and twin primes”, Mathematics of Computation, 29 (129): 43–56, doi:10.2307/2005460, JSTOR 2005460, MR 0369287, Zbl 0295.10002
Büthe, Jan (2015), An analytic method for bounding $\psi (x)$ , arXiv:1511.02032, Bibcode:2015arXiv151102032B
Chao, Kuok Fai; Plymen, Roger (2010), “A new bound for the smallest $x$ with $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ ”, International Journal of Number Theory, 6 (03): 681–690, arXiv:math/0509312, doi:10.1142/S1793042110003125, MR 2652902, Zbl 1215.11084
Kotnik, T. (2008), “The prime-counting function and its analytic approximations”, Advances in Computational Mathematics, 29 (1): 55–70, doi:10.1007/s10444-007-9039-2, MR 2420864, Zbl 1149.11004
Lehman, R. Sherman (1966), “On the difference $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ ”, Acta Arithmetica, 11: 397–410, doi:10.4064/aa-11-4-397-410, MR 0202686, Zbl 0151.04101
Littlewood, J. E. (1914), “Sur la distribution des nombres premiers”, Comptes Rendus, 158: 1869–1872, JFM 45.0305.01
Platt, D. J.; Trudgian, T. S. (2014), On the first sign change of $\theta (x)-x$ , arXiv:1407.1914, Bibcode:2014arXiv1407.1914P
te Riele, H. J. J. (1987), “On the sign of the difference $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ ”, Mathematics of Computation, 48 (177): 323–328, doi:10.1090/s0025-5718-1987-0866118-6, JSTOR 2007893, MR 0866118
Rosser, J. B.; Schoenfeld, L. (1962), “Approximate formulas for some functions of prime numbers”, Illinois Journal of Mathematics, 6: 64–94, MR 0137689
Saouter, Yannick; Demichel, Patrick (2010), “A sharp region where $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ is positive”, Mathematics of Computation, 79 (272): 2395–2405, doi:10.1090/S0025-5718-10-02351-3, MR 2684372
Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994), “Chebyshev's bias”, Experimental Mathematics, 3 (3): 173–197, doi:10.1080/10586458.1994.10504289, MR 1329368
Skewes, S. (1933), “On the difference $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ ”, Journal of the London Mathematical Society, 8: 277–283, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.277, JFM 59.0370.02, Zbl 0007.34003
Skewes, S. (1955), “On the difference $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ (II)”, Proceedings of the London Mathematical Society, 5: 48–70, doi:10.1112/plms/s3-5.1.48, MR 0067145
Stoll, Douglas; Demichel, Patrick (2011), “The impact of $\zeta (s)$ complex zeros on $\pi (x)$ for $x<10^{10^{13}}$ ”, Mathematics of Computation, 80 (276): 2381–2394, doi:10.1090/S0025-5718-2011-02477-4, MR 2813366
Tóth, László (2019), “On The Asymptotic Density Of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood” (PDF), Computational Methods in Science and Technology, 25 (3).
Wintner, A. (1941), “On the distribution function of the remainder term of the prime number theorem”, American Journal of Mathematics, 63 (2): 233–248, doi:10.2307/2371519, JSTOR 2371519, MR 0004255
Wolf, Marek (2011), “The Skewes number for twin primes: counting sign changes of π2(x) − C2Li2(x)” (PDF), Computational Methods in Science and Technology, 17.
Zegowitz, Stefanie (2010), On the positive region of $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ , Master's thesis, Manchester Institute for Mathematical Sciences, School of Mathematics, University of Manchester

Liên kết ngoài

Demichels, Patrick. “The prime counting function and related subjects” (PDF). Demichel. Bản gốc (pdf) lưu trữ ngày 8 tháng 9 năm 2006. Truy cập ngày 29 tháng 9 năm 2009.
Asimov, I. (1976). “Skewered!”. Of Matters Great and Small. New York: Ace Books. ISBN 978-0441610723.