Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Phương trình Pell”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
|||
Dòng 128:
:<math>x_3 + y_3\sqrt 2 = (3 + 2\sqrt 2)^3 = 99 + 70\sqrt 2</math>, suy ra nghiệm (99,70).
===Dạng biểu diễn rút gọn và các thuật toán nhanh===
Trong các bài toán cụ thể, ngay cả nghiệm nhỏ nhất cũng có thể rất lớn. Và trong nhiều trường hợp, người ta phải biểu diễn nó dưới dạng gọn hơn là:
:<math>x_1+y_1\sqrt n = \prod_{i=1}^t (a_i + b_i\sqrt n)^{c_i}</math>
với các hệ số ''a''<sub>''i''</sub>, ''b''<sub>''i''</sub>, and ''c''<sub>''i''</sub> nhỏ hơn rất nhiều (nếu so sánh với nghiệm nhỏ nhất).
Ví dụ, bài toán [[đàn gia súc Archimedes]] có thể giải quyết bằng cách dùng phương trình Pell, nhưng nghiệm nhỏ nhất của nó quá lớn, nếu viết hết nghiệm này ra giấy có thể đến 206545 chữ số. Và như thế phải viết nghiệm đó dưới dạng rút gọn:
:<math>x_1+y_1\sqrt n=u^{2329},</math>
với:
:<math>u = (x'_1+y'_1\sqrt{4729494})</math>
và <math>\scriptstyle x'_1</math> và <math>\scriptstyle y'_1</math> lần lượt có 45 và 41 chữ số thập phân.
Chính xác hơn là:
<math>u = (300426607914281713365\sqrt{609}+84129507677858393258\sqrt{7766})^2.</math>
{{harv|Lenstra|2002}}.
Các phương pháp liên quan đến [[sàng toàn phương]] (dùng trong [[phân tích số ra thừa số nguyên tố]]), được dùng để tập hợp các mối quan hệ giữa các số nguyên tố trong trường số tổng quát hóa bởi √''n'', và kết hợp các mối quan hệ này nhằm tìm ra dạng biểu diễn của dạng số đó. Những thuật toán sử dụng phương trình Pell hiệu quả hơn các thuật toán dùng liên phân số rất nhiều; bởi vì hàm thời gian của các thuật toán dùng phương trình Pell không phải là các hàm đa thức. Sử dụng [[giả thiết Riemann tổng quát hóa]], ta ước lượng được thời gian:
:<math>\exp O(\sqrt{\log N\log\log N}),</math>
với ''N'' = log ''n'' kích thước dữ liệu vào, đối với sàng toàn phương {{harv|Lenstra|2002}}.
== Ghi chú ==
| |||