Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Phương trình Pell”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
Đã cứu 1 nguồn và đánh dấu 0 nguồn là hỏng.) #IABot (v2.0.9.5 |
||
| (Không hiển thị 40 phiên bản của 17 người dùng ở giữa) | |||
Dòng 1:
'''Phương trình Pell''' (Pell's equation) là bài toán tìm nghiệm nguyên [[Phương trình Diophantine|Diophantine]] bậc hai
:<math> x^2 - dy^2 = 1 </math>,
:dạng [[phương trình Pell âm]] (còn gọi là ''phương trình Pell loại II''):
:<math> x^2 - dy^2 = -1 </math>,
:Với d là số nguyên dương và không phải là số [[số chính phương|chính phương]].
Ngoài ra, còn có các dạng:
: Phương trình Pell chứa tham số:
:<math> x^2 - dy^2 = n </math>,
:Phương trình Pell dạng tổng quát:
:<math> Ax^2 + By^2 = n </math>.
Lagrange chứng minh rằng với d không phải là số chính phương, phương trình Pell có vô số nghiệm nguyên dương.
Phương trình được đặt tên là Pell
Phương trình này được nghiên cứu đầu tiên ở Ấn Độ cổ đại, bởi [[Brahmagupta]] (Brahmagupta là người đã phát triển phương pháp [[chakravala]] nhằm giải quyết phương trình Pell và các phương trình bậc hai bất định khác trong tác phẩm [[Brahma Sphuta Siddhanta]] vào năm 628, trước Pell 1000 năm). Tác phẩm Brahma Sphuta Siddhanta đã được dịch sang tiếng Arap vào năm 773, và dịch sang tiếng Latin vào năm 1126. Ngoài ra, [[Braskara II]] vào thế kỉ 12 và [[Narayana]] vào thế kỉ 14 đã tìm ra lời giải tổng quát cho phương trình Pell và các phương trình bậc hai bất định khác.
Lời giải cho một số dạng đặc biệt của phương trình Pell (ví dụ khi số biến nhiều hơn 2), đã được
Muốn biết rõ hơn, hãy xem Lenstra (2002) and Barbeau (2003).
Hàng 19 ⟶ 29:
== Lịch sử ==
Từ năm 400 TCN,
:<math> x^2 - 2y^2=1 \, </math>
vì có nghiệm liên quan đến căn bậc hai của 2. Cụ thể hơn, nếu ''x''
Sau đó, [[Archimedes|Ácsimét]] đã sử dụng một phương trình tương tự để ước lượng căn bậc hai của 3, và tìm ra phân số 1351/780.
Vào khoảng năm 250 Công Nguyên, [[Diofantos|Diophantus]] ([[Diofantos|Diophantine]]) đã
:<math> a^2 x^2+c=y^2. \,</math>
Diophantus đã [[giải phương trình]] trong trường hợp ''a'' = 1 và ''c'' = −1, 1, và 12, và cho ''a'' = 3
[[Brahmagupta]] phát minh ra phương pháp tổng quát cho phương trình Pell, được biết đến với tên gọi phương pháp [[chakravala]]. [[Alkarkhi]] cũng nghiên cứu các vấn đề tương tự như [[Diofantos|Diophantus]]. [[Bhāskara I]] đã sáng tạo ra phương pháp sinh các nghiệm mới từ một nghiệm đã biết, công trình này được [[E. Strachey]] xuất bản bằng tiếng Anh vào năm 1813.
Vào năm 1766-1769, [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] đã phát triển 1 lý thuyết tổng quát về phương trình Pell, dựa trên [[phân số liên tục]] và các thao tác đại số với các số thực có dạng <math>P+Q\sqrt{a}</math>.
== Lời giải của phương trình Pell loại I và II ==
Nhận xét, nếu (x,y) là nghiệm nguyên của phương trình đã cho thì (-x,y), (x,-y), (-x,-y) cũng là nghiệm, do đó ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm nguyên không âm.
Phương trình Pell <math> x^2 - dy^2 = 1 </math> luôn có [[nghiệm tầm thường]] là x=1, y=0. Do đó, ta chỉ quan tâm đến các nghiệm nguyên không âm và không tầm thường.
===
'''Định lý 1:''' Với mọi ''d'' không phải là số chính phương, phương trình <math>x^2-dy^2=1</math> luôn có nghiệm nguyên dương.
'''Định lý 2:''' Nếu d có ước nguyên tố dạng 4''k''+3 thì phương trình <math>x^2-dy^2=-1</math> vô nghiệm.
=== Phương pháp sinh từ nghiệm nguyên dương nhỏ nhất ===
Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất theo nghĩa: x,y >0 và <math>x + y\sqrt d </math> là nhỏ nhất.
Phương pháp này dùng để tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình <math> x^2 - dy^2 = 1, </math> với d không phải là số chính phương
Khi biết [[nghiệm nhỏ nhất]] của phương trình là (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>), cho phép tìm ra tất cả các nghiệm nguyên dương còn lại theo [[công thức tổng quát]]:
Hàng 88 ⟶ 74:
:<math>\displaystyle y_{i+1} = x_1 y_i + y_1 x_i.</math>
Trước hết chứng minh các số (''x''<sub>i</sub>,''y''<sub>i</sub>) cho bởi công thức tổng quát cũng là nghiệm của phương trình Pell.
Với các số (''x''<sub>i</sub>,''y''<sub>i</sub>) thỏa mãn
:<math>x_i + y_i\sqrt d = (x_1 + y_1\sqrt d)^i,</math>
thì cũng thỏa mãn:
Hàng 100 ⟶ 86:
Suy ra:
:<math> x_i^2 - dy_i^2 = (x_i + y_i\sqrt d)(x_i - y_i\sqrt d) = (x_1 + y_1\sqrt d)^i(x_1 - y_1\sqrt d)^i = (
Nên <math> (x_i
Bây giờ ta chứng minh tất cả các nghiệm nguyên dương đều có thể biểu diễn trong công thức:
:<math>x_i + y_i\sqrt d = (x_1 + y_1\sqrt d)^i</math>.
Thật vậy, giả sử tồn tại nghiệm <math>x^{*}, y^{*} </math> không thỏa mãn công thức tổng quát. Do đó tồn tại i nguyên dương sao cho:
Hàng 112 ⟶ 98:
Khi đó:
:<math> (x_1 + y_1\sqrt d)^
:<math>
Dễ thấy là
Vậy điều giả sử là sai, do đó mọi nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho đều có dạng:
:<math> (x_1 + y_1\sqrt d)^i </math>
{{hidden end}}
'''Ví dụ:'''
Hàng 128 ⟶ 115:
:<math>x_3 + y_3\sqrt 2 = (3 + 2\sqrt 2)^3 = 99 + 70\sqrt 2</math>, suy ra nghiệm (99,70).
=== Lời giải dựa trên phân số liên tục ===
Xem thêm bài [[phân số liên tục]], xem thêm <ref>Một số chuyên đề bồi dưỡng toán học học sinh giỏi, chuyên đề "liên phân số" - Đặng Hùng Thắng, Hà Nội 2004</ref>.
==== Định lý 1 ====
Viết dãy các giản phân của <math> \sqrt d</math>: <math> \frac {h_{n}} {k_{n}}</math>.
Biểu diễn liên phân số của <math> \sqrt d</math> có dạng vô hạn tuần hoàn, gọi ''r'' là độ dài của 1 chu kì. Khi đó:
:nếu ''r'' chẵn thì tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình <math> x^2 - dy^2 = 1 </math> là (<math> {h_{n}}, {k_{n}}</math>) là với ''n'' có dạng <math>k \cdot r - 1</math>;
:nếu ''r'' lẻ thì tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình <math> x^2 - dy^2 = 1 </math> là(<math> {h_{n}}, {k_{n}}</math>) với n có dạng <math>2 \cdot t \cdot r - 1</math>.
'''Ví dụ:'''
*Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
:<math> x^2 - 2y^2 = 1 </math>.
:Biểu diễn liên phân số của <math> \sqrt 2 </math> là:
:<math> \sqrt 2 = [1;2,2,2,2, \,\ldots,] </math>, biểu diễn này có chu kì ''r''=1 lẻ, do đó nghiệm của phương trình là (<math> {h_{n}}, {k_{n}}</math>) với n có dạng <math>2 \cdot t - 1</math>, các giản phân ở vị trí lẻ.
:Dãy số gần nhất của <math> \sqrt 2 </math>:
:<math> 1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \frac{577}{408}, \frac{1393}{985}, \frac{3363}{2378}, \frac{8119}{5741}, \,\ldots, </math>.
:Chú ý dãy số trên được bắt đầu với số thứ tự bằng 0.
:Lấy các phân số ở vị trí lẻ ta được nghiệm nguyên dương của phương trình <math> x^2 - 2y^2 = 1 </math> là: (3,2) (17,12), (99,70), (577,408), (3363,2378),...
:và tất nhiên cả nghiệm tầm thường là (1,0).
*Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
:<math> x^2 - 13y^2 = 1 </math>.
:Biểu diễn liên phân số của <math> \sqrt 13 </math> là:
:<math> \sqrt 13 = [3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6 \,\ldots,] </math>, biểu diễn này có chu kì ''r''=5 lẻ, các nghiệm cần tìm là (<math> {h_{n}}, {k_{n}}</math>) với ''n'' có dạng <math>10 \cdot t - 1</math>.
:Dãy giản phân của <math> \sqrt 13 </math> là (dãy này bắt đầu với số thứ tự là 0):
:<math> 3, \frac{4}{1}, \frac{7}{2}, \frac{11}{3}, \frac{18}{5}, \frac{119}{33}, \frac{137}{38}, \frac{256}{71}, \frac{393}{109}, \frac{649}{180}, \frac{4287}{1189}, \ldots </math>.
:Với ''t''=1, ''n''=9, ta tìm ra nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình đã cho:
:<math>(649,180)</math>.
==== Định lý 2 ====
Phương trình Pell <math>x^2-dy^2=-1</math> có nghiệm khi và chỉ khi biểu diễn liên phân số của <math> \sqrt d </math> có chu kì ''r'' lẻ và các nghiệm nguyên dương của phương trình sẽ là <math>(h_{n},k_{n})</math> với ''n'' có dạng <math>2 \cdot t \cdot r-r-1</math>.
'''Ví dụ:'''
*Giải phương trình nghiệm nguyên:
:<math> x^2 - 13y^2 = - 1 </math>.
:Theo như phân tích ở trên, thì ''r''=5, do đó các nghiệm nguyên dương của phương trình có dạng <math>(h_{10t-6},k_{10t-6})</math>, với ''t''=1 đó là cặp (18,5).
===Dạng biểu diễn rút gọn và các thuật toán nhanh===
Hàng 134 ⟶ 173:
với các hệ số ''a''<sub>''i''</sub>, ''b''<sub>''i''</sub>, and ''c''<sub>''i''</sub> nhỏ hơn rất nhiều (nếu so sánh với nghiệm nhỏ nhất).
Ví dụ, [[bài toán
:<math>x_1+y_1\sqrt n=u^{2329},</math>
với:
:<math>u = (x'_1+y'_1\sqrt{4729494})</math>
và <math>\scriptstyle x'_1</math> và <math>\scriptstyle y'_1</math> lần lượt có 45 và 41 chữ số thập phân.
Chính xác hơn là:
Hàng 146 ⟶ 185:
{{harv|Lenstra|2002}}.
Các phương pháp liên quan đến [[sàng toàn phương]] (quadratic sieve) (dùng trong [[phân tích số ra
:<math>\exp O(\sqrt{\log N\log\log N}),</math>
Hàng 155 ⟶ 194:
=== Lý thuyết số đại số ===
=== Đa thức Chebyshev ===
Demeyer (2007) đề cập về mối liên hệ giữa phương trình Pell và [[đa thức Chebyshev]]: Cụ thể, nếu ''T<sub>i</sub>'' (''x'') và ''U<sub>i</sub>'' (''x'') là [[đa thức Chebyshev loại I]] và [[đa thức Chebyshev loại II]]. Thì các đa thức thỏa mãn phương trình Pell trong vành đa số thực R[x], với <math> n = x^2-1 </math>.
:<math>T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1. \, </math>
Như vậy, có thể sử dụng các kĩ thuật [[giải phương trình]] Pell, để tìm công thức tổng quát và truy hồi của đa thức Chebyshev.
:<math>T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \, </math>
Hàng 166 ⟶ 205:
với <math> \sqrt{x_1^2-1} = y_1\sqrt d </math>,
:<math>T_i(x_1) + U_{i-1}(x_1) y_1\sqrt d = x_i + y_i\sqrt d. \, </math>
Do đó, ''x<sub>i</sub>'' = ''T<sub>i</sub>'' (''x''<sub>1</sub>) và ''y<sub>i</sub>'' = ''y''<sub>1</sub>''U''<sub>''i'' − 1</sub>(''x''<sub>1</sub>) (Barbeau, chapter 3).
===
== Các biến thể khác của phương trình Pell ==
Xét [[phương trình Pell biến thể]]:
:<math> u^2 - dv^2 = \pm k </math>
với k là số tự nhiên lớn hơn 1.
'''I. k=2'''
:<math> u^2 - dv^2 = \pm 2 </math> (eq.3)
[[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] đã chứng minh rằng nếu d là số nguyên tố có dạng 4m+3 thì phương trình (eq3)có nghiệm, cụ thể hơn:
: nếu d là số nguyên tố có dạng 8m+3, phương trình sau có nghiệm <math> u^2 - dv^2 = -2 </math>
: nếu d là số nguyên tố có dạng 8m+7, phương trình sau có nghiệm <math> u^2 - dv^2 = +2 </math>.
Phương trình (eq3) có các nghiệm liên hệ với phương trình Pell ở dạng chính tắc. Thật vậy, nếu ta bình phương hai vế của nó:
:<math> (u^2-dv^2)^2 = (\pm 2)^2 </math>
:<math> (u^2+dv^2)^2 - 4d(uv)^2 = 4 </math>
Thay <math> dv^2 = u^2 \mp 2 </math> ta được
:<math> (2u^2 \mp 2)^2 - 4d(uv)^2 = 4 </math>
:<math> (u^2 \mp 1)^2 - d(uv)^2 = 1 </math>.
Như vậy nếu (u,v) là nghiệm của phương trình:<math> u^2 - dv^2 = \pm 2 </math>, thì <math> (x,y) = (u^2\mp1, uv) </math> là nghiệm của phương trình Pell chính tắc sau <math> x^2 - dy^2 = 1 </math>. Ví dụ với d=3, (u,v) = (1,1) là nghiệm của <math> u^2 - 3v^2 = -2 </math>, thì (x,y) = (2,1) là nghiệm của <math> x^2-3v^2 = 1 </math>.
'''II. k = 4:'''
:<math> u^2 - dv^2 = \pm 4 \, </math> (eq.4)
Từ nghiệm của (eg.4) có thể tìm ra nghiệm của phương trình Pell chính tắc (cả Pell âm) với d tương ứng. Xem dạng biến thể <ref>{{Chú thích web |url=http://sites.google.com/site/tpiezas/008 |ngày truy cập=2010-06-06 |tựa đề=A Collection Of Identities: Pell Equations |archive-date=2014-03-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140315190429/https://sites.google.com/site/tpiezas/008 |url-status=dead }}</ref>, nếu nghiệm {u,v} đều là [[số chẵn lẻ|lẻ]], thì có thể tìm được nghiệm cơ bản {x,y}.
1. Nếu u<SUP>2</SUP>-dv<SUP>2</SUP> = -4, và {x,y} = {(u<SUP>2</SUP>+3)u/2, (u<SUP>2</SUP>+1)v/2}, thì x<SUP>2</SUP>-dy<SUP>2</SUP> = -1.
Ví dụ: Cho d = 13, thì {u,v} = {3, 1}và {x,y} = {18, 5}.
2. Nếu u<SUP>2</SUP>-dv<SUP>2</SUP> = 4, và {x,y} = {(u<SUP>2</SUP>-3)u/2, (u<SUP>2</SUP>-1)v/2}, thì x<SUP>2</SUP>-dy<SUP>2</SUP> = 1.
Ví dụ. Cho d = 13, thì {u,v} = {11, 3} và {x,y} = {649, 180}.
3. Nếu u<SUP>2</SUP>-dv<SUP>2</SUP> = -4, và {x,y} = {(u<SUP>4</SUP>+4u<SUP>2</SUP>+1)(u<SUP>2</SUP>+2)/2, (u<SUP>2</SUP>+3)(u<SUP>2</SUP>+1)uv/2}, thì x<SUP>2</SUP>-dy<SUP>2</SUP> = 1.
Ví dụ. Cho d = 61, thì {u,v} = {39, 5} và {x,y} = {1766319049, 226153980}.
'''III. <math> k = a^2 </math> '''
Nếu (x,y) là nghiệm của phương trình <math> x^2 - dy^2 = \pm 1 </math> thì (u,v) = (ax, ay) là nghiệm của <math> u^2 - dv^2 = \pm a^2 </math>.
== Xem thêm ==
[[Phương trình Diophantine|Phương trình Đi-ô-phăng]]
[[Số chính phương]]
[[Phân số liên tục]]
[[Bài toán đàn gia súc Archimedes]]
== Ghi chú ==
{{tham khảo}}
==Tham khảo==
*{{
| last = Barbeau | first = Edward J.
| title = Pell's Equation
Hàng 181 ⟶ 273:
| year = 2003
| id = {{MathSciNet | id = 1949691}}, ISBN 0387955291}}.
*{{
*{{
| last = Demeyer
| first = Jeroen | title = Diophantine Sets over Polynomial Rings and Hilbert’s Tenth Problem for Function Fields
| year = 2007
| series = Ph.D. thesis, [[Universiteit Gent]]
| url = http://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf
| page = 70
| access-date = 2010-06-05
| archive-date = 2007-07-02
| archive-url = https://web.archive.org/web/20070702185523/https://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf
}}.
*{{chú thích
| last = Edwards | first = Harold M. | authorlink = Harold Edwards (mathematician)
| title = Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory
Hàng 198 ⟶ 295:
| id = {{MathSciNet | id = 0616635}}
| isbn = 0-387-90230-9}}. Originally published 1977.
*{{
| last = S.Hallgren
| contribution = Polynomial-time quantum algorithms for Pell’s equation and the principal ideal problem
Hàng 210 ⟶ 307:
| journal = Journal of the ACM
| volume = 54}}.
*{{
| last = Lenstra | first = H. W., Jr.
| authorlink = Hendrik Lenstra
Hàng 221 ⟶ 318:
| id = {{MathSciNet | id = 1875156}}
| url = http://www.ams.org/notices/200202/fea-lenstra.pdf}}.
*{{
| last = Pinch | first = R. G. E.
| title = Simultaneous Pellian equations
Hàng 227 ⟶ 324:
| volume = 103 | year = 1988 | issue = 1 | pages = 35–46
| doi = 10.1017/S0305004100064598}}.
*{{
| last1 = Schmidt | first1 = A.
| last2 = Vollmer | first2 = U.
Hàng 239 ⟶ 336:
== Liên kết ngoài ==
*[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pell.html Pell's equation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130508090550/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pell.html |date=2013-05-08 }}
<!--*[http://www.imocompendium.com/index.php?options=mbb|tekstkut&page=0&art=pelleqn_ddj|f&ttn=Dushan%20D;jukic1|%20Pell%20Equation|N/A&knj=
broken link replaced with the following
//-->
*[http://www.imomath.com/tekstkut/pelleqn_ddj.pdf IMO Compendium] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091007175120/http://www.imomath.com/tekstkut/pelleqn_ddj.pdf |date = ngày 7 tháng 10 năm 2009}} text on Pell's equation in problem solving.
[[Thể loại:Phương trình Diophantine|*]]
[[Thể loại:Lý thuyết số]]
| |||