Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Phương trình Pell”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n clean up, replaced: : → : (4) using AWB |
Đã cứu 1 nguồn và đánh dấu 0 nguồn là hỏng.) #IABot (v2.0.9.5 |
||
| (Không hiển thị 10 phiên bản của 9 người dùng ở giữa) | |||
Dòng 19:
Lagrange chứng minh rằng với d không phải là số chính phương, phương trình Pell có vô số nghiệm nguyên dương.
Phương trình được đặt tên là Pell bắt nguồn từ sơ suất của [[Leonhard Euler]]. Khi Euler đọc tác phẩm của [[Lord Brouncker]], nhà toán học châu Âu đầu tiên tìm ra lời giải tổng quát của bài toán, Euler đã nhầm Brouncker với [[John Pell]].
Phương trình này được nghiên cứu đầu tiên ở Ấn Độ cổ đại, bởi [[Brahmagupta]] (Brahmagupta là người đã phát triển phương pháp [[chakravala]] nhằm giải quyết phương trình Pell và các phương trình bậc hai bất định khác trong tác phẩm [[Brahma Sphuta Siddhanta]] vào năm 628, trước Pell 1000 năm). Tác phẩm Brahma Sphuta Siddhanta đã được dịch sang tiếng Arap vào năm 773, và dịch sang tiếng Latin vào năm 1126. Ngoài ra, [[Braskara II]] vào thế kỉ 12 và [[Narayana]] vào thế kỉ 14 đã tìm ra lời giải tổng quát cho phương trình Pell và các phương trình bậc hai bất định khác.
Lời giải cho một số dạng đặc biệt của phương trình Pell (ví dụ khi số biến nhiều hơn 2), đã được biết đến từ rất lâu ít nhất là từ thời [[Pythagoras|Pi-ta-go]] ở [[Hy Lạp]] cổ.
Dòng 33:
:<math> x^2 - 2y^2=1 \, </math>
vì có nghiệm liên quan đến căn bậc hai của 2. Cụ thể hơn, nếu ''x'', ''y'' là nghiệm nguyên của phương trình này, thì ''x'' / ''y'' [[lý thuyết xấp xỉ|xấp xỉ]] <math>\sqrt 2 </math>. [[Braudhayana]] khám phá ra rằng, với ''x'' = 17, ''y'' = 12 và ''x'' = 577, ''y'' = 408 là 2 nghiệm của phương trình Pell, đồng thời ''17'' / ''12'', ''577'' / ''408'' [[lý thuyết xấp xỉ|xấp xỉ]] rất sát với <math>\sqrt 2 </math>.
Sau đó, [[Archimedes|Ácsimét]] đã sử dụng một phương trình tương tự để ước lượng căn bậc hai của 3, và tìm ra phân số 1351/780.
Dòng 41:
:<math> a^2 x^2+c=y^2. \,</math>
Diophantus đã [[giải phương trình]] trong trường hợp ''a'' = 1 và ''c'' = −1, 1, và 12, và cho ''a'' = 3
[[Brahmagupta]] phát minh ra phương pháp tổng quát cho phương trình Pell, được biết đến với tên gọi phương pháp [[chakravala]]. [[Alkarkhi]] cũng nghiên cứu các vấn đề tương tự như [[Diofantos|Diophantus]]. [[Bhāskara I]] đã sáng tạo ra phương pháp sinh các nghiệm mới từ một nghiệm đã biết, công trình này được [[E. Strachey]] xuất bản bằng tiếng Anh vào năm 1813.
Dòng 49:
== Lời giải của phương trình Pell loại I và II ==
Nhận xét, nếu (x,y) là nghiệm nguyên của phương trình đã cho thì (-x,y), (x,-y), (-x,-y) cũng là nghiệm, do đó ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm nguyên không âm.
Phương trình Pell <math> x^2 - dy^2 = 1 </math> luôn có [[nghiệm tầm thường]] là x=1, y=0. Do đó, ta chỉ quan tâm đến các nghiệm nguyên không âm và không tầm thường.
Dòng 88:
:<math> x_i^2 - dy_i^2 = (x_i + y_i\sqrt d)(x_i - y_i\sqrt d) = (x_1 + y_1\sqrt d)^i(x_1 - y_1\sqrt d)^i = (x_1^2 - dy_1^2)^i = 1 </math>.
Nên <math> (x_i
Bây giờ ta chứng minh tất cả các nghiệm nguyên dương đều có thể biểu diễn trong công thức:
Dòng 138:
:<math> \sqrt 2 = [1;2,2,2,2, \,\ldots,] </math>, biểu diễn này có chu kì ''r''=1 lẻ, do đó nghiệm của phương trình là (<math> {h_{n}}, {k_{n}}</math>) với n có dạng <math>2 \cdot t - 1</math>, các giản phân ở vị trí lẻ.
:Dãy
:<math> 1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \frac{577}{408}, \frac{1393}{985}, \frac{3363}{2378}, \frac{8119}{5741}, \,\ldots, </math>.
Dòng 155:
:Dãy giản phân của <math> \sqrt 13 </math> là (dãy này bắt đầu với số thứ tự là 0):
:<math> 3, \frac{4}{1}
:Với ''t''=1, ''n''=9, ta tìm ra nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình đã cho:
Dòng 165:
'''Ví dụ:'''
*Giải phương trình nghiệm nguyên:
:<math> x^2 - 13y^2 = - 1 </math>.
:Theo như phân tích ở trên, thì ''r''=5, do đó các nghiệm nguyên dương của phương trình có dạng <math>(h_{10t-6},k_{10t-6})</math>, với ''t''=1 đó là cặp (18,5).
Dòng 178:
với:
:<math>u = (x'_1+y'_1\sqrt{4729494})</math>
và <math>\scriptstyle x'_1</math> và <math>\scriptstyle y'_1</math> lần lượt có 45 và 41 chữ số thập phân.
Chính xác hơn là:
Dòng 185:
{{harv|Lenstra|2002}}.
Các phương pháp liên quan đến [[sàng toàn phương]] (quadratic sieve) (dùng trong [[phân tích số ra ước số nhỏ hơn]] (integer factoriaztion)), được dùng để tập hợp các mối quan hệ giữa các [[số nguyên tố]] trong trường số tổng quát hóa bởi √''n'', và kết hợp các mối quan hệ này nhằm tìm ra dạng biểu diễn của dạng số đó. Những thuật toán sử dụng phương trình Pell hiệu quả hơn các thuật toán dùng liên phân số rất nhiều; bởi vì hàm thời gian của các thuật toán dùng phương trình Pell không phải là các hàm đa thức. Sử dụng [[giả thiết Riemann tổng quát hóa]] (generalized Riemann hypothesis), ta ước lượng được thời gian:
:<math>\exp O(\sqrt{\log N\log\log N}),</math>
Dòng 198:
:<math>T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1. \, </math>
Như vậy, có thể sử dụng các kĩ thuật [[giải phương trình]] Pell, để tìm công thức tổng quát và truy hồi của đa thức Chebyshev.
:<math>T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \, </math>
Dòng 235:
:<math> u^2 - dv^2 = \pm 4 \, </math> (eq.4)
Từ nghiệm của (eg.4) có thể tìm ra nghiệm của phương trình Pell chính tắc (cả Pell âm) với d tương ứng. Xem dạng biến thể <ref>
1. Nếu u<SUP>2</SUP>-dv<SUP>2</SUP> = -4, và {x,y} = {(u<SUP>2</SUP>+3)u/2, (u<SUP>2</SUP>+1)v/2}, thì x<SUP>2</SUP>-dy<SUP>2</SUP> = -1.
Dòng 275:
*{{chú thích | last1=Cremona | first1=John E. | last2=Odoni | first2=R. W. K. | title=Some density results for negative Pell equations; an application of graph theory | doi=10.1112/jlms/s2-39.1.16 | year=1989 | journal=Journal of the London Mathematical Society. Second Series | issn=0024-6107 | volume=39 | issue=1 | pages=16–28}}.
*{{chú thích
| last = Demeyer
| first = Jeroen | title = Diophantine Sets over Polynomial Rings and Hilbert’s Tenth Problem for Function Fields
| year = 2007
| series = Ph.D. thesis, [[Universiteit Gent]]
| url = http://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf
| page = 70
| access-date = 2010-06-05
| archive-date = 2007-07-02
| archive-url = https://web.archive.org/web/20070702185523/https://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf
}}.
*{{chú thích
| last = Edwards | first = Harold M. | authorlink = Harold Edwards (mathematician)
Hàng 331 ⟶ 336:
== Liên kết ngoài ==
*[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pell.html Pell's equation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130508090550/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pell.html |date=2013-05-08 }}
<!--*[http://www.imocompendium.com/index.php?options=mbb|tekstkut&page=0&art=pelleqn_ddj|f&ttn=Dushan%20D;jukic1|%20Pell%20Equation|N/A&knj=
broken link replaced with the following
//-->
*[http://www.imomath.com/tekstkut/pelleqn_ddj.pdf IMO Compendium] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091007175120/http://www.imomath.com/tekstkut/pelleqn_ddj.pdf |date = ngày 7 tháng 10 năm 2009}} text on Pell's equation in problem solving.
[[Thể loại:Phương trình Diophantine|*]]
| |||