Перегляд вихідного коду сторінки Класи Бера

'''Класи Бера'''&nbsp;— множини дійснозначних [[функція (математика)|функцій]], означені індуктивно, введені [[Бер Рене-Луі|Рене-Луі Бером]] в 1899 році.

== Означення ==
Надалі розглядаємо функції <math>f:A\rightarrow R</math>, де <math>A</math>&nbsp;— метричний простір.
* До класу Бера 0 відносяться всі [[неперервна функція|неперервні функції]].
* До класу Бера 1 відносяться всі [[Неперервна_функція#Точки_розриву|розривні функції]], які є [[поточкова границя|поточковою границею]] [[послідовність (математика)|послідовності]] неперервних функцій.
* До класу Бера '''n > 0''' відносять функції, які не належать жодному класу Бера '''m < n''', але які можна подати як поточкову границю послідовності функцій класів '''m < n'''.
Нумерація класів Бера не обмежується [[натуральні числа|натуральними числами]], і може бути продовжена за допомогою [[трансфінітне число|трансфінітних чисел]].

== Властивості ==
Надалі <math>\alpha</math>&nbsp;— [[порядкове число]].
* [[Лінійна комбінація]], [[добуток]] та [[Частка (математика)|частка]]{{сумнівно|quotients (for non-zero denominators!)}} функцій з класу Бера з номером не вище ніж <math>\alpha</math> теж належать до класу Бера з номером не вище ніж <math>\alpha</math>.
* [[Рівномірна збіжність|Рівномірно збіжна]] послідовність функцій з класів з номером не більше ніж <math>\alpha</math> має границю з класу Бера з номером не більше ніж <math>\alpha</math>.
* [[Похідна]] довільної [[диференційовна функція|диференційовної функції]] належить або класу Бера 0 або класу Бера 1.
* [[Функція Діріхле]] належить до класу Бера 2.
* Кожен клас Бера&nbsp;— непорожній.
* Існують функції, що не належать до жодного класу Бера.
* Множина берівських функцій (множина функцій, що належать до якогось класу Бера) збігається з множиною [[Борелівська сигма-алгебра|Борелівських функцій]].
* Всі берівські функції вимірні.
* Кожна [[вимірна функція]] (за Лебегом) еквівалентна (тобто відрізняється на множині міри нуль) функції з класу Бера не вище ніж 2.
* Розривна функція належить до першого класу Бера тоді й лише тоді, коли вона має точку неперервності на кожній [[досконала множина|досконалій множині]].

== Посилання ==
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Baire_classes Baire classes] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121110110605/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Baire_classes |date=10 Листопада 2012 }}
[[Категорія:Математичний аналіз]]