Диференціальне рівняння гіперболічного типу

Диференціальне рівняння гіперболічного типу — один із трьох можливих випадків диференціального рівняння другого порядку в частинних похідних з двома змінними, що в математичній фізиці використовується для описання хвильових процесів.

В канонічній формі це рівняння має вигляд:

${\frac {\delta ^{2}u}{\delta \xi \delta \eta }}+F_{1}\left(\xi ,\eta ,u,{\frac {\delta u}{\delta \xi }},{\frac {\delta u}{\delta \eta }}\right)=0\$.

Виходячи з загального вигляду рівняння в частинних похідних другого порядку

$A{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}+2B{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x\delta y}}+C{\frac {\delta ^{2}u}{\delta y^{2}}}+D{\frac {\delta u}{\delta x}}+E{\frac {\delta u}{\delta y}}+Fu=f(x,y)\$,

можна перейти до канонічного, за допомогою перетворення:

${\begin{cases}\xi =\varphi (x,y)\\\eta =\psi (x,y)\end{cases}}$

де $\varphi ,\psi$ — інтеграли диференціальних рівнянь характеристик.

Часто користуються другою канонічною формою для гіперболічних рівнянь. У цьому випадку

$\xi ={\frac {1}{2}}(\varphi +\psi ),\ \eta ={\frac {1}{2}}(\varphi -\psi )$

і рівняння зводиться до вигляду

${\frac {\delta ^{2}u}{\delta \xi ^{2}}}-{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \eta ^{2}}}+F_{2}\left(\xi ,\eta ,u,{\frac {\delta u}{\delta \xi }},{\frac {\delta u}{\delta \eta }}\right)=0$

Звичайна інтерпретація змінних $\xi$ та $\eta$ — час і просторова координата. До рівнянь гіперболічного типу належать хвильові рівняння, наприклад, рівняння коливання струни, рівняння Клейна-Гордона, рівняння синус-Ґордона тощо.

Див. також

• Диференціальне рівняння еліптичного типу
• Диференціальне рівняння параболічного типу

Література

• Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник. – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
• Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .