พีชคณิตแบบบูล

ใน คณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ พีชคณิตแบบบูล, พีชคณิตบูลีน หรือ แลตทิซแบบบูล คือ โครงสร้างเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นการรวบรวมแก่นความหมายของการดำเนินการทางตรรกศาสตร์ ทฤษฏีเซต โดยชื่อพีชคณิตแบบบูลนั้นตั้งตาม จอร์จ บูลผู้พัฒนาพีชคณิตแบบนี้

ประวัติ

จอร์จ บูล นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่มหาวิทยาลัย College Cork ผู้ที่นิยามพีชคณิตดังกล่าวขึ้นมาเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของระบบทางตรรกศาสตร์ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 19 พีชคณิตแบบบูลนำเทคนิคทางพีชคณิตมาใช้กับนิพจน์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูลได้ถูกนำไปประยุกต์อย่างแพร่หลายในการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส์ ผู้ที่นำไปใช้คนแรกคือคลาวด์ อี. แชนนอน นักวิทยาศาสตร์แห่งห้องทดลองเบลล์ (Bell Laboratory) ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยนำมาใช้ในการวิเคราะห์วงจรเน็ทเวิร์คที่ทำงานต่อกันหลาย ๆ ภาค เช่น วงจรของโทรศัพท์ เป็นต้น เมื่อมีการพัฒนาวงจร คอมพิวเตอร์ขึ้นก็ได้มีการนำเอาพีชคณิตบูลีนมาใช้ในการคำนวณ ออกแบบ และอธิบายสภาวะการทำงานของสถานะวงจรภายในระบบคอมพิวเตอร์ โดยพีชคณิตบูลีนเป็นพื้นฐานสำคัญในการออกแบบวงจรตรรกของระบบดิจิตอล

การดำเนินการ

นั่นคือ AND, OR, และNOT รวมไปถึงการดำเนินการทางเซต นั่นคืออินเตอร์เซกชัน, ยูเนียน และส่วนเติมเต็ม ตัวดำเนินการในพีชคณิตแบบบูลสามารถเขียนได้หลายแบบ โดยมากแล้วเราจะเขียนเป็น AND, OR, และ NOT ในการออกแบบวงจร NAND (NOT AND), NOR (NOT OR) และ XOR (eXclusive OR) ก็มีการใช้ทั่วไป นักคณิตศาสตร์ มักใช้ + สำหรับ OR และ · แทน AND (เนื่องจากตัวดำเนินการเหล่านี้มีลักษณะคล้ายคลึงกับการบวก และการคูณ ในโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นๆ) และเขียน NOT ด้วยเส้นขีดเหนือนิพจน์ที่ถูกนิเสธ

นิยาม

พีชคณิตแบบบูล คือ เซต A ที่ประกอบด้วยการดำเนินการทวิภาค คือ $\land$ (AND) กับ $\lor$ (OR), การดำเนินการเอกภาค คือ $\lnot$ / ~ (NOT) และสมาชิกคือ 0 (FALSE) กับ 1 (TRUE) ซึ่งสำหรับสมาชิก a, b และ c ของเซต A จะมีคุณสมบัติเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้

$a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c$	$a\land (b\land c)=(a\land b)\land c$	การเปลี่ยนหมู่
$a\lor b=b\lor a$	$a\land b=b\land a$	การสลับที่
$a\lor (a\land b)=a$	$a\land (a\lor b)=a$	absorption
$a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)$	$a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$	การแจกแจง
$a\lor \lnot a=1$	$a\land \lnot a=0$	ส่วนเติมเต็ม

สำหรับสมาชิก a และ b ใน A มันจะมีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้

$a\lor a=a$	$a\land a=a$	นิจพล (idempotency)
$a\lor 0=a$	$a\land 1=a$	มีขอบเขต (boundedness)
$a\lor 1=1$	$a\land 0=0$
$\lnot 0=1$	$\lnot 1=0$	0 และ 1 เป็นส่วนเติมเต็มกัน
$\lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b$	$\lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b$	กฎเดอมอร์แกน (de Morgan's laws)
$\lnot \lnot a=a$		อวัตนาการ (involution)

ตัวอย่าง

• พีชคณิตแบบบูลที่ประกอบด้วยสมาชิก 0 และ 1 จะมีนิยามดังนี้

∧ 0 1 0 0 0 1 0 1

∨ 0 1 0 0 1 1 1 1

• เรานำพีชคณิตแบบบูลไปใช้ในตรรกศาสตร์ได้ โดยตีความให้ 0 หมายถึง เท็จ, 1 หมายถึง จริง, ∧ แทนคำว่า และ, ∨ แทนคำว่า หรือ, และ ¬ แทนคำว่า ไม่

• พีชคณิตแบบบูลที่มีสมาชิก 2 ตัวนั้น นำไปใช้ประโยชน์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าในงานวิศวกรรมไฟฟ้าได้ โดย 0 และ 1 แทนสถานะที่แตกต่างกันของบิตในวงจรดิจิทัล นั่นก็คือสถานะศักย์ไฟฟ้าสูงและต่ำ