Algebra över en kropp

Den utskrivbara versionen stöds inte längre och kanske innehåller renderingsfel. Uppdatera din webbläsares bokmärken och använd standardutskriftsfunktionen istället.

En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.

Definition

En algebra $A$ över en kropp $K$ är ett vektorrum $A$ där det för varje par av element $x,y\in A$ finns en unik produkt $xy\in A$ med egenskaperna:^[1]

$x(y+z)=xy+xz\,$
$(x+y)z=xz+yz\,$
$\alpha (xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)\,$

för $x,y,z\in A$ och $\alpha \in K$ .

$A$ sägs vara en associativ algebra om

x(yz)=(xy)z\,

och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om

xy=yx\,

.

$A$ kallas för algebra med neutralt element om det finns ett $e\in A$ så att

ex=xe=x\,

.

Om $A$ har ett neutralt element är det unikt. För om man antar att det finns två neutrala element, $e$ och $e'$ , får man att

$ee'=e$ eftersom $e'$ är ett neutralt element.
$ee'=e'$ eftersom $e$ är ett neutralt element.

Alltså är $e=e'$ .

Normerad algebra

En associativ algebra $A$ kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller

$\|xy\|\leq \|x\|\|y\|$ för alla $x,y\in A$
$\|e\|=1$ om $A$ har ett neutralt element $e$ .

En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.^[2]

Exempel

Tredimensionellt euklidiskt rum

Inre produktrummet $\mathbb {R} ^{3}$ med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.

Matrisrum

Rummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med $n$ rader är en icke-kommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element.^[3] Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.^[2]