Exponentialfördelning: Skillnad mellan sidversioner

Innehåll som raderades Innehåll som lades till

Inline

Nuvarande version från 24 juni 2024 kl. 00.41

Inom matematisk statistik är en exponentialfördelning en beskrivande modell för tiderna mellan händelser i en poissonprocess. Exponentialfördelningen är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning med täthetsfunktionen:^[1]

f(x)={1 \over \beta }e^{-x/\beta };\quad \beta >0,\quad 0<x<\infty ,

där β > 0 är en parameter i fördelningen. Väntevärdet E(X) och variansen V(X) ges av:

E(X)={\beta },

V(X)={\beta ^{2}}

Exponentialfördelningen är alltså ett specialfall av gammafördelningen, där $\exp(\beta )=\Gamma (1,\,\beta )$ . Detta innebär bland annat att summan av två oberoende exponentialfördelade stokastiska variabler med parameter β har fördelningen $\Gamma (2,\,\beta )$ . ^[2]

Exponentialfördelningen används bland annat för att modellera homogena Poisson-processer, vilka är heltalsvärda astokastiska processer där tillståndet förändras med konstant sannolikhet per tidsenhet λ. Avstånden mellan tillståndsförändringarna är då exponentialfördelade med väntevärde λ. Därför är integralen från 0 till T över f sannolikheten att minst en tillståndsförändring skett vid tiden T.

Exponentialfördelningen kan ses som en kontinuerlig version av den geometriska fördelningen, vilken beskriver antalet försök som behövs för att en diskret process skall byta tillstånd. I motsats till detta beskriver exponentialfördelningen den tid det tar för en kontinuerlig process att byta tillstånd.

Exempel på variabler som är approximativt exponentialfördelade är

Tiden tills någon råkar ut för sin nästa bilolycka
Tiden tills någon får sitt nästa telefonsamtal
Avståndet mellan mutationer på en DNA-sträng

En viktig egenskap hos exponentialfördelningen är att den "saknar minne". Detta innebär att om en slumpvariabel X är exponentialfördelad så är dess betingade sannolikhet

P(X\leq s+t\;|\;X\geq t)=P(X\leq s)\;\;f{\ddot {o}}r\ alla\ s,\,t\geq 0.

Med andra ord, chansen att tillståndet kommer att förändras inom de nästa s sekunderna påverkas inte av den tid som redan förflutit.^[1]

Källor

Noter

^ [a b] Råde & Westergren 1989, s. 418.
^ Råde & Westergren 1989, s. 420.

Referenser

Råde, Lennart; Bertil Westergren (1989). Mathematics Handbook for Science and Engineering (Beta). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-00839-2

Externa länkar

Wikimedia Commons har media som rör Exponentialfördelning.
Bilder & media

[Råde418-1] [a b] Råde & Westergren 1989, s. 418.

[2] Råde & Westergren 1989, s. 420.

[1]

[2]

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+[[Image:exponential pdf.svg|thumb|Täthetsfunktion]]
-'''Exponentialfördelning''', inom [[matematisk statistik]] är en beskrivande modell på tiderna mellan händelser i en [[Poissonprocess]]. Exponentialfördelningen är kontinuerlig [[sannolikhetsfördelning]] med [[täthetsfunktion]]en
+[[Image:exponential cdf.svg|thumb|Kumulativ fördelningsfunktion]]
+Inom [[matematisk statistik]] är en '''exponentialfördelning''' en beskrivande modell för tiderna mellan händelser i en [[poissonprocess]]. Exponentialfördelningen är en kontinuerlig [[sannolikhetsfördelning]] med [[täthetsfunktion]]en:<ref name=Råde418>{{Harvnb|Råde|Westergren|1989|s=418}}</ref>
 :<math>
 f(x) =
 {1 \over \beta} e^{-x/\beta}; \quad \beta > 0, \quad 0 < x < \infty,
 </math>
+där ''&beta;'' > 0 är en [[parameter]] i fördelningen. [[Väntevärde]]t ''E''(''X'') och [[varians]]en ''V''(''X'') ges av:
-där [[&beta;]] > 0 är en parameter i fördelningen. [[Väntevärde]]t E(X) och [[varians]]en V(X) ges av
 :<math>
 E(X) = {\beta},
 </math>
 :<math>
-V(X) = {\beta^2 }.
+V(X) = {\beta^2 }
 </math>
+Exponentialfördelningen är alltså ett specialfall av [[gammafördelning]]en, där <math> \exp(\beta) = \Gamma(1,\, \beta) </math>.
+Detta innebär bland annat att summan av två oberoende exponentialfördelade [[stokastisk variabel|stokastiska variabler]] med parameter ''β'' har fördelningen <math> \Gamma(2,\, \beta) </math>.  <ref>{{Harvnb|Råde|Westergren|1989|s=420}}</ref>
+Exponentialfördelningen används bland annat för att modellera [[Homogenitet|homogena]] [[Poissonprocess|Poisson-processer]], vilka är heltalsvärda astokastiska processer där tillståndet förändras med konstant sannolikhet per [[tidsenhet]] λ. Avstånden mellan tillståndsförändringarna är då exponentialfördelade med väntevärde λ. Därför är integralen från 0 till ''T'' över ''f'' sannolikheten att minst en tillståndsförändring skett vid tiden ''T''.
-Exponentialfördelningen är alltså ett specialfall av [[gammafördelning]]en, där <math> Exp(\beta) = \Gamma(1, \beta) </math>.
-Detta innebär bl a att summan av två oberoende exponentialfördelade [[stokastisk variabel|stokastiska variabler]] med parameter β har fördelningen <math> \Gamma(2, \beta) </math>.
-Exponentialfördelningen används bl a för att modellera [[Homogenitet|homogena]] [[Poissonprocess|Poisson-processer]], vilket är en heltalsvärd stokastisk process där tillståndet förändras med konstant sannolikhet per tidsenhet λ. Avstånden mellan tillståndsförändringarna  är då exponentialfördelade med väntevärde λ. Därför är integralen från 0 till ''T'' över ''f'' sannolikheten att minst en tillståndsförändring skett vid tiden ''T''.
 Exponentialfördelningen kan ses som en kontinuerlig version av den [[geometrisk fördelning|geometriska fördelningen]], vilken beskriver antalet försök som behövs för att en diskret process skall byta tillstånd. I motsats till detta beskriver exponentialfördelningen den tid det tar för en kontinuerlig process att byta tillstånd.
-Exempel på variabler som är approximativt exponentialfördelade är:
+Exempel på variabler som är approximativt exponentialfördelade är
-* tiden det tar tills du råkar ut för nästa bilolycka
+* Tiden tills någon råkar ut för sin nästa bilolycka
-* tiden det tar tills du får nästa telefonsamtal
+* Tiden tills någon får sitt nästa telefonsamtal
-* avståndet mellan [[mutation]]er på en [[DNA]]-sträng
+* Avståndet mellan [[mutation]]er på en [[DNA]]-sträng
 En viktig egenskap hos exponentialfördelningen är att den "saknar minne". Detta innebär att om en slumpvariabel ''X'' är exponentialfördelad så är dess betingade sannolikhet
 :<math>
-P(X \le s + t\; |\; X \ge t) = P(X \le s) \;\; \hbox{for alla}\ s, t \ge 0.
+P(X \le s + t\; |\; X \ge t) = P(X \le s) \;\; f\ddot{o}r\ alla\ s,\, t \ge 0.
 </math>
+Med andra ord, chansen att tillståndet kommer att förändras inom de nästa ''s'' sekunderna påverkas inte av den tid som redan förflutit.<ref name=Råde418/>
+==Källor ==
-Med andra ord, chansen att tillståndet kommer att förändras inom de nästa ''s'' sekunderna påverkas inte av den tid som redan har förflutit.
+=== Noter ===
+<references/>
-==Se även==
+=== Referenser ===
+*{{Bokref |titel=Mathematics Handbook for Science and Engineering (Beta) |efternamn=Råde |förnamn= Lennart|författarlänk= |medförfattare=Bertil Westergren |år=1989 |utgivare=Studentlitteratur |utgivningsort=Lund |isbn=91-44-00839-2 |sid=}}
-*[[normalfördelning]].
-*[[rektangulärfördelning]].
+== Externa länkar ==
-[[Kategori:Sannolikhetsfördelningar]]
+*{{Commonscat|Exponential distribution}}
+{{Sannolikhetsfördelningar}}
+[[Kategori:Sannolikhetsfördelningar]]
-[[ar:توزيع أسي]]
-[[bn:সূচকীয় বিন্যাস]]
-[[ca:Distribució exponencial]]
-[[de:Exponentialverteilung]]
-[[et:Eksponentjaotus]]
-[[el:Εκθετική κατανομή]]
-[[en:Exponential distribution]]
-[[es:Distribución exponencial]]
-[[eu:Banakuntza esponentzial]]
-[[fa:توزیع نمایی]]
-[[fr:Loi exponentielle]]
-[[it:Distribuzione esponenziale]]
-[[he:התפלגות מעריכית]]
-[[hu:Exponenciális eloszlás]]
-[[nl:Exponentiële verdeling]]
-[[ja:指数分布]]
-[[nov:Exponential distributione]]
-[[pl:Rozkład wykładniczy]]
-[[pt:Distribuição exponencial]]
-[[ru:Экспоненциальное распределение]]
-[[simple:Exponential distribution]]
-[[sl:Eksponentna porazdelitev]]
-[[su:Sebaran eksponensial]]
-[[fi:Eksponenttijakauma]]
-[[tr:Üstel dağılım]]
-[[uk:Експоненційний розподіл]]
-[[vi:Phân phối mũ]]
-[[zh:指数分布]]