1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

У математици, 1 − 2 + 4 − 8 + ... је бесконачан ред чији чланови су узастопна степен двојке са наизменичним знацима. Као геометријски ред, окарактерисан је својим првим чланом, 1, и својом количником, −2.

$\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}$

Како ред реалних бројева дивергира, тако  у уобичајеном смислу нема суму. У много ширем смислу, серија има општи збир ⅓.

Историјски аргументи

Готфрид Лајбниц је сматрао наизменични дивергентни ред 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ... већ 1673. Он је тврдио да би се одузимањем, или слева или здесна, могла произвести позитивна или негативна бесконачност, а самим тим оба одговора су погрешна и све треба да буде коначно:

"Сада нормално природа бира средину, ако ни једно од та два није дозвољено, односно ако се не може утврдити које од њих је дозвољено, цела је једнака коначној количини. "

Лајбниц није баш тврдио да је низ имао збир, али је закључио везу са ⅓ следећег Меркаторовог метода. Став да је серија могла бити нека коначна количина без стварног додавања до ње као сума би била уобичајена у 18. веку, мада се не прави разлика у модерној математици.

Након што је Кристијан Волф прочитао Лајбницово тумачење Грандијевог низа усред 1712. године, Волф је био толико задовољан решењем да је настојао да прошири аритметички метод до више дивергентног реда као што је 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − .... Укратко, ако неко изражава парцијалну суму овог реда као функцију претпостављених чланова, добија се или (4м + 1)/3 или (−4н + 1)/3. Аритметичка средина ових вредности је (2м − 2н + 1)/3, и под претпоставком да је м=н у бесконачности даје ⅓ као вредност серије. Лајбницова инситуција га је спречавала да напреже своје решење овако далеко, и он је написао да је Волфова идеја била интересантна, али неважећа из неколико разлога. Аритметичка средства суседних парцијалних сума не конвергирају до посебних вредности, и за све коначне случајеве имамо да је н=2м, не н=м. Генерално, члан редова који се могу сабирати треба да се смањи до нуле; чак се 1 − 1 + 1 − 1 + ... може изразити као граница таквог низа. Лајбниц саветује Волфа да размотри то да он може да произведе нешто вредно од науке и себе.

Модерне методе

Геометријски ред

Било који метод сумирања који поседује следеће особине: регуларност, линеарност и стабилност ће сумирати геометријски низ

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.$

У овом случају a = 1 и r = −2, тако да је збир ⅓.

Ојлерово сабирање

У његовим Институтионс из 1755. године, Леонард Ојлер је ефективно узео оно што се сада зове Ојлерова трансформација 1 − 2 + 4 − 8 + ..., долазећи до конвергентних редови  ½ − ¼ + ⅛ − ¹/₁₆ + .... Како је каснији збир  ⅓, Ојлер је закључиио да је 1 − 2 + 4 − 8 + ... = ⅓. Његове идеје за бесконачни ред не прате слепо подерни приступ; данас се каже да је 1 − 2 + 4 − 8 + ... могуће сабрати помоћу Ојлеровог сабирања и тада је Ојлеров збир ⅓.

Исечак из  Институтионс

Ојлерова трансформација почиње редом позивитних чланова:

a₀ = 1,

a₁ = 2,

a₂ = 4,

a₃ = 8, ...

Ред коначне разлике је онда

Δa₀ = a₁ − a₀ = 2 − 1 = 1,

Δa₁ = a₂ − a₁ = 4 − 2 = 2,

Δa₂ = a₃ − a₂ = 8 − 4 = 4,

Δa₃ = a₄ − a₃ = 16 − 8 = 8, ...,

што је исти ред. Отуда поновљена малопређашња разлика редова који почињу са Δⁿa₀ = 1 за свако н. Ојлерова трансформација је низ

${\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .$

Ово је конверентни геометријски ред чији је збир  ⅓ по уобичајеној формули.

Борел збир

Борел збир 1 − 2 + 4 − 8 + ... је такође ⅓; када је Емил Борел увео гранично формулисање Бореловог збира 1896. године, ово је био један од првих његових примера после 1 − 1 + 1 − 1 + ...

Литература

• Euler, Leonhard (1755). Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum. 
• Ferraro, Giovanni; Panza, Marco (фебруар 2003). „Developing into series and returning from series: A note on the foundations of eighteenth-century analysis”. Historia Mathematica. 30 (1): 17—46. doi:10.1016/S0315-0860(02)00017-4. 
• Gerhardt, C.I. (1860). Briefwechsel zwischen Leibniz und Christian Wolf aus den handschriften der Koeniglichen Bibliothek zu Hannover. Halle: H.W. Schmidt. 
• Knobloch, Eberhard (2006). „Beyond Cartesian limits: Leibniz’s passage from algebraic to "transcendental" mathematics”. Historia Mathematica. 33: 113—131. doi:10.1016/j.hm.2004.02.001. 
• Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. ISBN 978-3-540-21058-0. 
• Leibniz, Gottfried (2003). S. Probst, E. Knobloch, N. Gädeke, ур. Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe 7, Band 3: 1672–1676: Differenzen, Folgen, Reihen. Akademie Verlag. ISBN 978-3-05-004003-5. Архивирано из оригинала 17. 10. 2013. г. Приступљено 15. 01. 2016. CS1 одржавање: Употреба параметра уредници (веза)
• Moore, Charles (1938). Summable Series and Convergence Factors. AMS. LCC QA1 .A5225 V.22. 
• Smail, Lloyd (1925). History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. LCC QA295 .S64.