Numrat realë

Në matematikë, një numër real është një numër që mund të përdoret për të matur një madhësi vazhdueshme njëdimensionale siç është largësia, kohëzgjatja ose temperatura . Këtu, e vazhdueshme do të thotë se çiftet e vlerave mund të kenë dallime të vogla sipas volitjes së lexuesit. ^[a] Çdo numër real mund të përfaqësohet pothuajse në mënyrë unike nga një zgjerim dhjetor i pafundëm. ^[b] ^[1]

Numrat realë janë themelorë në llogaritje (dhe në përgjithësi në të gjithë matematikën), veçanërisht nga roli i tyre në përkufizimet klasike të limiteve, vazhdimësisë dhe derivateve . ^[c]

Bashkësia e numrave realë shënohet R ose $\mathbb {R}$ ^[2] dhe nganjëherë quhet "të vërtetët". ^[3] Mbiemri real, i përdorur në shekullin e 17-të nga René Descartes, dallon numrat realë nga numrat imagjinarë si rrënjët katrore të −1 . ^[4]

Numrat realë përfshijnë numrat racionalë, të tillë si numri i plotë −5 dhe thyesa 4 / 3 . Pjesa tjetër e numrave realë quhen numra irracionalë, dhe përfshijnë numra algjebrikë (siç është rrënja katrore √ 2 = 1.414... ) dhe numra transhedentalë (si π = 3.1415. . . ). ^[4]

Numrat realë mund të mendohen si të gjitha pikat në një drejtëz, e quajtur drejtëza numerike ose drejtëza reale, ku pikat që u korrespondojnë numrave të plotë ( ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... ) janë të baraslarguara.

Përshkrimet joformale të mësipërme të numrave realë nuk janë të mjaftueshëm për të siguruar korrektësinë e provave të teoremave që përfshijnë numra realë. U kuptua se nevojitej një përkufizim më i mirë dhe përpunimi i një përkufizimi të tillë ishte një zhvillim madhor i matematikës së shekullit të 19-të dhe është themeli i analizës reale, studimit të funksioneve reale dhe serive me vlera reale.

Historia

Numrat realë

(\mathbb {R} )

përfshijnë numrat racionalë

(\mathbb {Q} )

, të cilët përfshijnë numrat e plotë

(\mathbb {Z} )

, të cilat nga ana e tyre përfshijnë numrat natyrorë

(\mathbb {N} )

Thyesat e thjeshta u përdorën nga Egjiptianët rreth vitit 1000 BC; në kohërat e Vedave " Shulba Sutras " ("Rregullat e akordit") rreth 600 para Krishtit përfshijnë atë që mund të jetë "përdorimi" i parë i numrave irracionalë. Koncepti i irracionalitetit u pranua në mënyrë të heshtur nga matematikanët e hershëm indianë si Manava (c. 750–690 para Krishtit), i cili ishte i vetëdijshëm se rrënjët katrore të numrave të caktuar, si 2 dhe 61, nuk mund të përcaktoheshin saktësisht. ^[5] Rreth 500 Para Krishtit, matematikanët grekë të udhëhequr nga Pitagora kuptuan gjithashtu se rrënja katrore e 2 është irracionale.

Mesjeta solli pranimin e zeros, numrave negativë, numrave të plotë, dhe numrave thyesorë, së pari nga Indianët dhe matematikanët kinezë, e më pas nga ata arabë, të cilët ishin të parët që i trajtuan numrat irracionalë si objekte algjebrike. Matematikanët arabë i bashkuar konceptet "numër" dhe "magnitudë" në një ide më të përgjithshme të numrave realë.^[6] Matematikani egjiptian Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850–930) ishte i pari që i pranoi numrat irracionalë si zgjidhje të ekuacioneve kuadratike, ose si koeficientë në një ekuacion (shpesh në formën e rrënjëve katrore, kubike dhe kuartike).^[7] Në Europë, të tillë numra, quheshin irracionalë ose <i id="mwApM">shurdhë</i>.

Në shekullin e 16-të, Simon Stevin krijoi bazën për shënimet dhjetore moderne dhe këmbënguli se nuk kishte asnjë ndryshim midis numrave racionalë dhe irracionalë në këtë drejtim.

Në shekullin e 17-të, Dekarti paraqiti termin "real" për të përshkruar rrënjët e një polinomi, duke i dalluar ato nga ato "imagjinare".

Në shekujt e 18-të dhe të 19-të, u punua shumë për numrat irracionalë dhe trashendentalë. Lambert (1761) dha një provë të gabuar që π nuk mund të jetë racionale; Lezhandre (1794) përfundoi provën ^[8] dhe tregoi se π nuk është rrënja katrore e një numri racional. ^[9] Liouville (1840) tregoi se as e as e 2 nuk mund të jenë një rrënjë e një ekuacioni kuadratik me koeficientë numra të plotë, dhe më pas zbuloi ekzistencën e numrave transhedentalë; Cantor (1873) e zgjeroi dhe e thjeshtoi shumë këtë provë. ^[10] Hermite (1873) vërtetoi se e është transcendentale, dhe Lindemann (1882), tregoi se π është transcendental. Prova e Lindemann u thjeshtua shumë nga Vajershtrasi (1885), Hilbert (1893), Hurwitz, ^[11] dhe Gordan . ^[12]

Zhvilluesit e analizës matematike përdorën numra realë pa i përcaktuar ata në mënyrë rigoroze. Përkufizimi i parë rigoroz u botua nga Cantor në 1871. Në 1874, ai tregoi se bashkësia e të gjithë numrave realë është e panumërueshme dhe e pafundme, por bashkësia e të gjithë numrave algjebrikë është e pafundme dhe e numërueshme . Prova e parë e panumërueshmërsë e Cantor ishte e ndryshme nga argumenti i tij i famshëm diagonal i botuar në 1891.

Gabim referencash: Etiketat <ref> ekzistojnë për një grup të quajtur "lower-alpha", por nuk u gjet etiketa korresponduese <references group="lower-alpha"/>

^ "Real number". Oxford Reference. 2011-08-03. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Weisstein, Eric W. "Real Number". mathworld.wolfram.com. Marrë më 2020-08-11. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ "real". Oxford English Dictionary (bot. 3rd). 2008. 'real', n.2, B.4. Mathematics. A real number. Usually in plural {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ ^a ^b "Real number". Encyclopedia Britannica. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "Britannica" defined multiple times with different content
^ T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, red. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!).
^ Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, vëll. 500 no. 1, fq. 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (PI). St. Martin's Press. fq. 170. ISBN 9780312381851. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, fq. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, marrë më 2015-11-15 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!).
^ Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, fq. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, marrë më 2015-02-17, Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen: 134–35. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Gordan, Paul (1893). "Transcendenz von e und π". Mathematische Annalen. 43: 222–224. doi:10.1007/bf01443647. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[3] "Real number". Oxford Reference. 2011-08-03. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[5] Weisstein, Eric W. "Real Number". mathworld.wolfram.com. Marrë më 2020-08-11. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[6] "real". Oxford English Dictionary (bot. 3rd). 2008. 'real', n.2, B.4. Mathematics. A real number. Usually in plural {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[Britannica-7] "Real number". Encyclopedia Britannica. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "Britannica" defined multiple times with different content

[8] T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, red. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!).

[9] Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, vëll. 500 no. 1, fq. 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[10] Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[11] Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (PI). St. Martin's Press. fq. 170. ISBN 9780312381851. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[12] Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, fq. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, marrë më 2015-11-15 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!).

[13] Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, fq. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, marrë më 2015-02-17, Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[14] Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen: 134–35. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[15] Gordan, Paul (1893). "Transcendenz von e und π". Mathematische Annalen. 43: 222–224. doi:10.1007/bf01443647. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[a]

[b]

[1]

[c]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]