Primoriela
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Primorial_pn_plot.png/250px-Primorial_pn_plot.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Primorial_n_plot.png/250px-Primorial_n_plot.png)
Primoriela (angleško primorial) je v matematiki in še posebej v teoriji števil funkcija naravnih števil v naravna števila podobno kot funkcija fakultete. Namesto množenja zaporednih pozitivnih celih števil se množijo zaporedna praštevila.
Obstajata dve nasprotujoči definiciji primoriel, ki se razlikujeta v tolmačenju argumenta:
- prva definicja tolmači argument kot indeks členov zaporedja praštevil, tako da je funkcija strogo naraščajoča,
- druga definicija tolmači argument kot mejo praštevil, ki jih je treba pomnožiti, tako da vrednost funkcije pri poljubnem sestavljenem številu enaka kot pri predhodniku. Preostanek članka uporablja drugo definicijo.
Ime »primoriela« pripisujejo ameriškemu inženirju in matematiku Harveyju Dubnerju in je podobna analogiji s praštevili (primes) na enak način kot je ime »fakulteta« (»faktoriela«) povezana s faktorji.
Definicija za praštevila
[uredi | uredi kodo]Za n-to praštevilo je primoriela definirana kot produkt prvih praštevil:[1][2]
kjer je k-to praštevilo.
na primer označuje produkt prvih 5 praštevil:
Prve primoriele za so (OEIS A002110):
Zaporedje vsebuje tudi kot prazni produkt, ki je po dogovoru enak 0.
Asimptotično primoriele naraščajo kot:
kjer je Landauov simbol.[2]
Definicija za naravna števila
[uredi | uredi kodo]V splošnem se lahko za pozitivno celo število tudi definira takšna primoriela kot produkt tistih praštevil :[1][3]
kjer je funkcija števila praštevil (OEIS A000720), ki podaja število praštevil .
To je enakovredno:
12# na primer predstavlja produkt tistih praštevil :
Ker je , se to lahko izračuna kot:
Prve primoriele za so (OEIS A034386):
- 1, 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310, 30030, 30030, 30030, 30030, ...
Zaporedje vsebuje tudi in .
Vidi se, da je za sestavljeno število vsak člen podvojen predhodni člen , kot je podano z definicijo. V zgornjem zgledu velja , ker je 12 sestavljeno število.
Naravni logaritem funkcije je prva funkcija Čebišova, zapisana kot ali , ki se za velike linearno približuje .[4]
Primoriele naraščajo kot:
Zamisel o množenju vse znanih praštevil se pojavlja v nekaterih dokazih za neskončno število praštevil, kjer se uporabi za izpeljavo obstoja drugega praštevila.
Uporabe in značilnosti
[uredi | uredi kodo]Primoriele se uporabljajo pri iskanju praštevil v aditivnih aritmtičnih zaporedjih. 2236133941 + 23# je na primer praštevilo in začenja zaporedje trinajstih praštevil, najdenih z zaporednim prištevanjem števila 23#. To zaporedje se konča s številom 5136341251. 23# je tudi skupna razlika v aritmetičnih zaporedjih petnajstih in šestnajstih praštevil.
Vsako zelo estavljeno število je produkt primoriel (na primer število 360 = 2 · 6 · 30).[5]
Primoriele so nekvadratna cela števila in vsaka ima več različnih prafaktorjev kot katerokoli število manjše od nje. Za vsako primorielo je ulomek manjši kot za katerokoli manjše celo število. Tu je Eulerjeva funkcija φ.
Vsaka popolnoma multiplikativna funkcija je definirana s svojimi vrednostmi pri primorielah, ker je definirana s svojimi vrednostmi pri praštevilih, kar se lahko izpelje z deljenjem sosednjih vrednosti.
Sistemi z bazami, ki odgovarjajo primorielam (kot na primer baza 30, kar se ne sme zamenjevati z primorielnim številskim sistemom), imajo manjše razmerje periodičnih ulomkov kot katerakoli manjša baza.
Vsaka primoriela je redko totientno število.[6]
Vsoti neskončnih vrst obratnih vrednosti primoriel obeh vrst konvergirata in sta enaki konstantama:
Pojava
[uredi | uredi kodo]Riemannova funkcija ζ za pozitivna cela števila večja od 1 se lahko izrazi s pomočjo primoriel in Jordanovo funkcijo kot:[7]
Razpredelnica prvih primoriel
[uredi | uredi kodo]0 | 1 | brez praštevila | 1 |
1 | 1 | 2 | 2 |
2 | 2 | 3 | 6 |
3 | 6 | 5 | 30 |
4 | 6 | 7 | 210 |
5 | 30 | 11 | 2310 |
6 | 30 | 13 | 30030 |
7 | 210 | 17 | 510510 |
8 | 210 | 19 | 9699690 |
9 | 210 | 23 | 223092870 |
10 | 210 | 29 | 6469693230 |
11 | 2310 | 31 | 200560490130 |
12 | 2310 | 37 | 7420738134810 |
13 | 30030 | 41 | 304250263527210 |
14 | 30030 | 43 | 13082761331670030 |
15 | 30030 | 47 | 614889782588491410 |
16 | 30030 | 53 | 32589158477190044730 |
17 | 510510 | 59 | 1922760350154212639070 |
18 | 510510 | 61 | 117288381359406970983270 |
19 | 9699690 | 67 | 7858321551080267055879090 |
20 | 9699690 | 71 | 557940830126698960967415390 |
Neskončni verižni ulomek
[uredi | uredi kodo]Konstanti neskončnih verižnih ulomkov primoriel obeh vrst sta:
Glej tudi
[uredi | uredi kodo]Sklici
[uredi | uredi kodo]- ↑ 1,0 1,1 Weisstein, Eric Wolfgang. »Primorial«. MathWorld.
- ↑ 2,0 2,1 (OEIS A002110)
- ↑ (OEIS A034386)
- ↑ Weisstein, Eric Wolfgang. »Chebyshev Functions«. MathWorld.
- ↑ (OEIS A002182), Highly composite numbers.
- ↑ Masser; Shiu (1986).
- ↑ Mező (2013).
Viri
[uredi | uredi kodo]- Dubner, Harvey (1987), »Factorial and primorial primes«, J. Recr. Math., 19: 197–203
- Masser, David William; Shiu, P. (1986), »On sparsely totient numbers«, Pac. J. Math., 121 (2): 407–426, ISSN 0030-8730, MR 0819198, Zbl 0538.10006
- Mező, István (2013), »The Primorial and the Riemann zeta function«, The American Mathematical Monthly, 120 (4): 321
Zunanje povezave
[uredi | uredi kodo]