Ogled vira Hessova matrika

{{Infinitezimalni račun}}
'''Hessova matrika''' (oznaka <math> H \,</math>) (tudi hesian) je [[kvadratna matrika|kvadratna]] [[matrika]], ki jo sestavljajo drugi [[parcialni odvod|parcialni odvodi]] neke [[funkcija|funkcije]]. 

Imenuje se po nemškem matematiku [[Ludwig Otto Hesse|Ludwigu Ottu Hesseju]] (1811 – 1874), ki jo je raziskoval v 19. stoletju. Pozneje so jo poimenovali po njem. 

== Definicija ==
Za [[realno število|realno]] [[funkcija|funkcijo]]
: <math> f(x_1, x_2, \dots, x_n) \,</math>
za katero obstajajo [[parcialni odvod|parcialni odvodi]] je Hessova matrika enaka
:<math>H(f)_{ij}(x) = D_i D_j f(x)\,</math>
kjer je 
* <math> x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \,</math>
* <math> D_i \,</math> [[operator]] odvajanja 

Hessova matrika je tako 
:<math>H(f) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\  \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\  \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix} \,</math> 

== Značilnosti ==
[[Jacobijeva matrika in determinanta|Jacobijeva matrika]] [[gradient]]a [[funkcija|funkcije]] <math> f \,</math> je enaka Hessovi matriki, kar lahko napišemo kot
<math> H(x) = J(\nabla f) \,</math>.

V Hessovi matriki mešani odvodi funkcije <math> f \,</math> ležijo zunaj [[glavna diagonala|glavne diagonale]]. Ker pa zaporedje odvajanja ni pomembno, lahko zapišemo tudi
:<math>\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) =
       \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right).</math>
oziroma
:<math>f_{yx} = f_{xy}. \,</math>.
To pomeni, da je v primerih, ko je <math> f \,</math> [[zveznost|zvezna]] v [[okolica (matematika)|okolici]] točke <math> D \,</math> Hessova matrika [[simetrična matrika|simetrična]].

Če je [[gradient]] funkcije <math> f \,</math> v neki točki <math> x \,</math> enak 0, potem tej točki pravimo [[kritična točka (matematika)|kritična]] ali [[stacionarna točka]]. Determinanta Hessove matrike se v tem primeru imenuje [[diskriminanta]].
 
== Omejena Hessova matrika ==
Omejena Hessova matrika se uporablja v nekaterih [[optimizacija (matematika)|optimizacijskih]] problemih.
Naj bo dana funkcija
:<math>f(x_1, x_2, \dots, x_n),</math>,
dodamo ji omejitveno funkcijo
:<math>g(x_1, x_2, \dots, x_n) = c,</math>.
V tem primeru dobimo za Hessovo matriko
:<math>H(f,g) = \begin{bmatrix}
0 & \frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial g}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial g}{\partial x_n} \\  \\
\frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\  \\
\frac{\partial g}{\partial x_2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\  \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \\
\frac{\partial g}{\partial x_n} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}</math>.

== Glej tudi ==
* [[seznam vrst matrik]]

== Zunanje povezave ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Hessian.html Hessova matrika] na [[MathWorld]] {{ikona en}}
* [http://planetmath.org/encyclopedia/HessianMatrix.html Hessova matrika] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100330190427/http://planetmath.org/encyclopedia/HessianMatrix.html |date=2010-03-30 }} na [[PlanetMath]] {{ikona en}}
* [http://myyn.org/m/article/hessian-matrix/ Hessova matrika] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201128105136/http://www.myyn.org/m/article/hessian-matrix/ |date=2020-11-28 }} {{ikona en}}

[[Kategorija:Matrike]]