Ogled vira Evklid-Eulerjev izrek

{{short description|Izrek označuje soda popolna števila}}
{{about|izreku o popolnih številih in Mersennovih praštevilih|izrek o neskončnosti praštevil|Evklidov izrek o praštevilih}}
'''Evklid-Eulerjev izrek''' je v [[matematika|matematiki]] [[izrek]], ki povezuje [[popolno število|popolna števila]] z [[Mersennovo število|Mersennovimi praštevili]]. Izrek pravi, da ima vsako [[sodo število|sodo]] popolno število obliko:

: <math> 2^{p-1} \left( 2^{p} - 1 \right) \!\, , </math>

kjer je <math> 2^{p} - 1 \!\, </math> [[praštevilo]]. Imenuje se po [[Evklid]]u in [[Leonhard Euler|Leonhardu Eulerju]].

Domneva se, da obstaja neskončno mnogo Mersennovih praštevil. Čeprav pravilnost te domneve ostaja neznana, je po Evklid-Eulerjevemu izreku enakovredna domnevi o obstoju neskončno mnogo [[liho število|lihih]] popolnih števil. Ni znano tudi ali obstaja vsaj eno sodo popolno število.<ref name="stillwell">{{sktxt|Stillwell|2010|pp=40}}.</ref>

== Vsebina ==
Popolno število je [[naravno število]], ki je enako [[vsota|vsoti]] njegovih pravih [[delitelj]]ev – števil, ki so manjša od samega števila in ga [[deljivost|delijo]]. Pravi delitelji števila [[6 (število)|6]] so na primer 1, 2 in 3, njihova vsota pa je enaka 6, tako da je 6 (najmanjše) popolno število. Naslednje popolno število je [[28 (število)|28]]. Mersennovo praštevilo je praštevilo oblike <math> M_{p} = 2^{p} - 1 \!\, </math>. Da je število te oblike praštevilo, mora tudi <math> p \!\, </math> sam biti praštevilo. Evklid-Eulerjev izrek pravi, da je sodo naravno število popolno, [[če in samo če]] je oblike:

: <math> 2^{p-1} M_{p} \!\, , </math>

kjer je <math> M_{p} \!\, </math> Mersennovo praštevilo.<ref name="stillwell" />

== Zgodovina ==

Evklid je [[matematični dokaz|dokazal]], da je <math> 2^{p-1} \left( 2^{p} - 1 \right) \!\, </math> sodo popolno število, kadar je <math> M_{p} \equiv 2^{p} - 1 \!\, </math> praštevilo. (Evklid, prop. IX.36). To je zadnji rezultat iz [[teorija števil|teorije števil]] v njegovih ''[[Elementi (Evklid)|Elementih]]'' – kasnejše knjige ''Elementov'' vsebujejo [[iracionalno število|iracionalna števila]], [[stereometrija|geometrijo teles]] in [[zlati rez]]. Evklid je izrazil rezultat v obliki, da če ima končna [[geometrična vrsta]] s prvim členom enakim 1 in razmerjem enakim 2 praštevilsko vsoto <math> P \!\, </math>, je vsota, pomnožena z zadnjim členom vsote <math> T \!\, </math>, popolno število. Vsota končne vrste <math> P \!\, </math>, izražena s temi členi, je Mersennovo praštevilo <math> M_{p} = 2^{p} - 1 \!\, </math>, zadnji člen <math> T \!\, </math> vrste pa je potenca dveh <math> 2^{p - 1} \!\, </math>. Evklid je dokazal, da je  <math> PT \!\, </math> popolno število, kjer je opazil, da je geometrična vrsta z razmerjem 2 s prvim členom pri <math> P \!\, </math> in enakim številom členov sorazmerna z izvirno vrsto – zato, ker je vsota izvirne vrste enaka <math> P = 2T - 1 \!\, </math>, je vsota druge vrste enaka <math> P (2T - 1) = 2PT - P \!\, </math>, obe vrsti skupaj pa dajo vsoto <math> 2PT \!\, </math>, dvakratnik predvidenega popolnega števila. Ti dve vrsti pa sta nepovezani druga od druge in (po praštevilskosti <math> P \!\, </math>) izčrpata vse delitelje <math> PT \!\, </math>, tako da ima <math> PT \!\, </math> delitelje, katerih vsota je <math> 2PT \!\, </math>, in kar kaže, da je popolno število.<ref>{{sktxt|Evklid|1956|pp=421–426}}.</ref>

Tisoč let po Evklidu je [[Ibn al-Haitam]] okoli leta 1000 domneval, da je vsako sodo popolno število oblike <math> 2^{p-1} \left( 2^{p} - 1 \right) \!\, </math>, kjer je <math> 2^{p-1} \!\, , </math> praštevilo, vendar tega ni mogel dokazati.<ref>{{navedi časopis |last1=O'Connor |first1=John J. |last2=Robertson |first2=Edmund F. |title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham |publisher=MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews |lang= en}}</ref>

V 18. stoletju je Euler dokazal, da bo formula <math> 2^{p-1} \left( 2^{p} - 1 \right) \!\, </math> dala vsa soda popolna števila.<ref name="stillwell" /><ref>{{sktxt|Euler|1849}}. Izvirno prikazano na berlinski akademiji 23. februarja 1747 in objavljeno po smrti. Glej še posebej razdelek 8, stran 88.</ref> Tako obstaja enolična povezava med sodimi  popolnimi števili in Mersennovimi praštevili – vsako Mersennovo praštevila tvori eno sodo popolno število in obratno.

== Dokaz ==

Eulerjev dokaz je kratek<ref name="stillwell" /> in je odvisen od dejstva, da je funkcija [[število deliteljev|vsote deliteljev]] <math> \sigma \!\, </math> [[multiplikativna funkcija|multiplikativna]] – kar pomeni, da če sta <math> a \!\, </math> in <math> b \!\, </math> dve [[tuje število|tuji]] [[celo število|celi števili]], velja <math> \sigma(ab) = \sigma(a) \ \sigma(b) \!\, </math>. Da ta formula velja, mora vsota deliteljev števila vsebovati samo število in ne samo njegove prave delitelje. Število je popolno, če in samo če je vsota njegovih deliteljev enaka dvakratniku števila.

Drugi del izreka (del, ki ga je dokazal že Evklid) neposredno sledi iz značilnosti multiplikativnosti – vsako Mersennovo praštevilo da sodo popolno število. Kadar je <math> 2^{p} - 1 \!\, </math> praštevilo, velja:

: <math> \sigma(2^{p-1}(2^p - 1)) = \sigma(2^{p-1})\sigma(2^p - 1) \!\, . </math>

Delitelji števila <math> 2^{p-1} \!\, </math> so <math> 1, 2, 4, 8, \ldots, 2^{p-1} \!\, </math>. Vsota teh deliteljev je geometrična vrsta, katere vsota je enaka <math> 2^{p}-1 \!\, </math>. Ker je <math> 2^{p}-1 \!\, </math> praštevilo, sta njegova edina delitelja 1 in število samo, tako da je vsota njegovih deliteljev enaka <math> 2^{p} \!\, </math>.

To se združi kot:

: <math> \begin{align}
   \sigma(2^{p-1}(2^{p} - 1)) &= \sigma(2^{p-1})\sigma(2^{p} - 1) \\
   &= (2^{p} - 1)(2^{p}) \\
   &= 2(2^{p-1})(2^{p} - 1) \!\, . \end{align}</math>

Tako je <math> 2^{p-1} \left( 2^{p} - 1 \right) \!\, </math> popolno število.<ref name="imsp">{{sktxt|Gerstein|2012|loc=izrek 6.94, str. 339}}.</ref><ref name="pp">{{citat |title=A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime |website=Prime Pages |url=https://primes.utm.edu/notes/proofs/EvenPerfect.html |accessdate=2. decembra 2014 |first=Chris K. |last=Caldwell |language=en}}.</ref><ref name="ntfagd">{{sktxt|Travaglini|2014|pp=26–27}}.</ref>

Na drugi strani se predpostavi, da je dano sodo popolno število in ga delno deli kot <math> 2^{k} x \!\, </math>, kjer je <math> x \!\, </math> lih. Da je <math> 2^{k} x \!\, </math> popolno število, mora biti vsota njegovih deliteljev dvakratnik njegove vrednosti:

{{NumBlk|:|<math>2^{k+1}x = \sigma(2^{k} x) = (2^{k+1} - 1)\sigma(x) \!\, . </math>|∗}}

Lihi prafaktor <math> 2^{k + 1} - 1 \!\, </math> na desni strani enačbe '''(∗)''' je enak vsaj 3 in mora deliti <math> x \!\, </math>, edini lihi prafaktor na levi strani, tako da je <math> y = x / (2^{k + 1} - 1) \!\, </math> pravi delitelj <math> x \!\, </math> Če se obe strani enačbe '''(∗)''' delita s skupnim faktorjem <math> 2^{k + 1} \!\, </math> in upoštevata znana delitelja <math> x \!\, </math> in <math> y \!\, </math> števila <math> x \!\, </math>, izhaja:

: <math> 2^{k+1}y = \sigma(x) = x + y + \text{drugi delitelji} = 2^{k+1}y + \text{drugi delitelji} \!\, . </math>

Da ta enakost velja, ne more biti drugih deliteljev. Zato mora biti <math> y = 1 \!\, </math>, <math> x \!\, </math> pa mora biti praštevilo oblike <math> 2^{k + 1} - 1 \!\, </math><ref name="imsp" /><ref name="pp" /><ref name="ntfagd" />

== Sklici ==
{{sklici|3}}

== Viri ==
{{refbegin|2}}
* {{citat |last1=Euler |first1=Leonhard |authorlink1=Leonhard Euler |chapter=De numeris amicibilibus |trans-chapter=On amicable numbers |language=la |contribution-url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E798.html |title=Commentationes arithmeticae |year=1849 |volume=2 |pages=627–636 }}
* {{citat |author=[[Evklid]] |title=The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX) |year=1956 |edition=2. |publisher=Dover |pages=421–426 }}
* {{citat |last1=Gerstein |first1=Larry |title=Introduction to Mathematical Structures and Proofs|series= Undergraduate Texts in Mathematics |year=2012 |publisher= Springer |isbn=9781461442653 |at=izrek 6.94, str.&nbsp;339 |url=https://books.google.com/books?id=qK9y768b1NQC&pg=PA339 }}
* {{citat |last1=Stillwell |first1=John |authorlink1=John Stillwell |title= Mathematics and Its History |series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] |year=2010 |publisher=Springer |isbn=9781441960528 |url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40 }}
* {{citat |last1=Travaglini |first1=Giancarlo|title= Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy |year=2014 |volume=81 |series=London Mathematical Society Student Texts |publisher=Cambridge University Press|isbn= 9781107044036 |pages=26–27 |url=https://books.google.com/books?id=mIaYAwAAQBAJ&pg=PA26 }}
{{refend}}

{{math-stub}}

[[Kategorija:Matematični izreki]]
[[Kategorija:Teorija števil]]
[[Kategorija:Leonhard Euler]]