Potencialna energija

Potenciálna energíja (oznaka $W_{p}$ ali U) je energija, ki jo ima telo zaradi svoje lege v polju sil. Potencialna energija se zmanjša, če se telo premakne v smeri sile, ki deluje nanj, in poveča, če se premakne v nasprotni smeri. Zgled za potencialno energijo je težnostna potencialna energija. Telo z dano maso ima zaradi težnostnega privlaka v Zemljinem težnostnem polju potencialno energijo, ki se sprosti, če telo spustimo, da pade.

Težnostna potencialna energija

To je energija, ki jo ima telo zaradi svoje lege v Zemljinem težnostnem polju, in je tem večja, čim višje leži telo. Zgleda zanjo sta energija, ki jo ima skala na vrhu gore ali voda v jezu hidroelektrarne. V približku lahko vzamemo, da je težnostna potencialna energija premosorazmerna višini h:

$W_{p}=mgh$

Pri tem je $m$ masa telesa, $g$ težni pospešek, $h$ pa višina telesa glede na izbrano ničelno ravnino, v kateri smo določili, da je potencialna energija enaka nič. Potencialna energija je torej določena samo do aditivne konstante natančno.

Ker se težni pospešek spreminja z oddaljenostjo od središča Zemlje, velja zapisani izraz samo v približku, ko je višina h zanemarljivo majhna v primerjavi s polmerom Zemlje. V astronomiji ali ob obravnavanju gibanja vesoljskih plovil tega približka ne moremo uporabiti, ampak moramo integrirati silo teže v splošni obliki, kot jo podaja gravitacijski zakon:

$W_{p}=\int _{h_{0}}^{h_{0}+h}{\kappa mM \over r^{2}}dr$

Pri tem je $h_{0}$ polmer Zemlje, M njena masa, κ pa gravitacijska konstanta. Višino h merimo od Zemljinega površja navzgor, potencialna energija pa je definirana tako, da je enaka nič na površju Zemlje.

Če definiramo potencialno energijo tako, da je enaka nič v središču Zemlje in izberemo h tako, da meri razdaljo od središča Zemlje, ima potencialna energija zunaj Zemlje dva člena:

$W_{p}=\int _{h_{0}}^{h}{\kappa mM \over r^{2}}dr+\int _{0}^{h_{0}}{\kappa mM \over h_{0}^{2}}{r \over h_{0}}dr$,

Integral lahko izračunamo:

$W_{p}=\kappa mM\left[{1 \over h_{0}}-{1 \over h}\right]+{1 \over 2}{\kappa mM \over h_{0}}=\kappa mM\left[{3 \over 2h_{0}}-{1 \over h}\right]$

Pri obravnavi potencialne energije v težnostnem polju težkega telesa pogosto definiramo potencialno energijo tako, da je ta enaka nič v neskončni oddaljenosti od središča privlaka. Tako definirana potencialna energija je negativna, pri končnih oddaljenostih r od središča privlaka pa lahko, če slednjega aproksimiramo s točkastim telesom, zapišemo za težnostno potencialno energijo enostaven izraz:

$W_{p}=-{\kappa mM \over r}$

Potencialna energija, potencial in sila

Pojem potencialne energije je tesno povezan s pojmoma potenciala in sile. Če je delo, ki ga sila opravi na zaključeni poti, enako nič, pravimo, da je sila konservativna. V tem primeru lahko z integriranjem sile po kraju vpeljemo potencial. Polje sil lahko izračunamo kot gradient potenciala.

Zgled konservativne sile je teža. Če je vrednost potencialne energije U izbranega telesa v točki A enaka $U=a$, v točki B pa $U=b$, opravimo pri premiku telesa od točke A do točke B delo $(b-a)$. Če opravimo premik v obrantni smeri, je opravljeno delo enako $(a-b)$. Skupno delo pri premiku po zaključeni poti je torej enako:

$U_{A\to B\to A}=(b-a)+(a-b)=0$

Potencialna energija je aditivna. Če redefiniramo potencialno energijo v točki A, tako da je ta enaka $a+c$, v točki B pa $b+c$ (pri tem je c katerokoli realno število, ki pa mora biti enako za vse točke prostora), je delo, potrebno za premostitev razdalje med točkama A in B, enako kot prej:

$U_{A\to B}=(b+c)-(a+c)=b-a$

V praksi to pomeni, da imamo popolno svobodo glede tega, kje izberemo ničlo potencialne energije. Ta je lahko enaka nič na površju Zemlje ali v katerikoli drugi točki, kakor je pač za račun najbolj priročno.

Značilnost konservativnih sil je, da delo, potrebno za premik iz točke A v točko B ni odvisno od poti, po kateri se premikamo iz ene točke v drugo. Če imamo opraviti z nekonservativnimi silami — zgleda zanje sta upor in trenje — je delo seveda odvisno od poti in v takšnem primeru ne moremo vpeljati potenciala in potencialne energije.