Zobrazenie zdroja stránky Matematické kyvadlo

[[Súbor:Pendulum.svg|thumb|Matematické kyvadlo]]
'''Matematické kyvadlo''' je [[matematika|matematickým]] modelom [[kyvadlo|kyvadla]]. Matematické kyvadlo je [[hmotný bod]] zavesený na tenkom dokonale pevnom vlákne zanedbateľnej [[Hmotnosť|hmotnosti]], pričom sa zanedbáva [[odpor vzduchu]] pri pohybe kyvadla i [[trenie]] v závese a [[gravitačné pole]] sa považuje za homogénne. Matematické kyvadlo je mechanický [[oscilátor]], ktorý po dodaní počiatočnej energie voľne [[kmitanie|kmitá]]. Pri malých výchylkách (do ±5°) je priebeh tohto kmitania približne harmonický, možno ho  vyjadriť pomocou funkcie [[sínus]].

== Matematický opis ==
Na hmotný bod pôsobí len tiažová sila a ťahová sila vlákna, ktorá ho udržuje v stálej vzdialenosti od závesu. Veľkosť výslednej sily je
:<math>F = mg \sin \varphi</math>,
kde <math>g</math> je [[tiažové zrýchlenie]] a φ je uhol, o ktorý je vlákno vychýlené z rovnovážnej polohy.
[[Diferenciálna rovnica]] pre opis pohybu kyvadla je z [[2. Newtonov pohybový zákon|2. Newtonovho pohybového zákona]] 
:<math> \ddot{\varphi} = -\frac{g}{l} \sin \varphi </math>,
kde <math>l</math> je dĺžka vlákna.
Pokiaľ je maximálna výchylka z rovnovážnej polohy <math>\varphi_{\rm max}</math> malá, možno funkciu sínus nahradiť [[lineárna funkcia|lineárnou funkciou]]
: <math>\sin \varphi \approx \varphi</math>.
Diferenciálna rovnica má preto podstatne jednoduchší tvar
: <math> \ddot{\varphi} + \frac{g}{l} \varphi = 0.</math>
Táto rovnica má partikulárne riešenie
: <math> \varphi(t) = \varphi_m \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t \right) </math>,
kde <math>\varphi_m</math> je počiatočná uhlová výchylka (predpokladáme nulovú počiatočnú rýchlosť, takže je to zároveň maximálna výchylka) a <math>t</math> je [[čas]], čo je pohybová rovnica [[harmonický oscilátor|harmonického oscilátora]] s [[Perióda (fyzika)|periódou]]
: <math>T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}</math>.
Periódu ovplyvňuje iba dĺžka kyvadla a tiažové zrýchlenie.

== Pozri aj ==
* [[Fyzikálne kyvadlo]]
* [[Torzné kyvadlo]]
* Kyv, kmit, [[Kmitanie]]

== Zdroj ==
{{Preklad|cs|Matematické kyvadlo|13394972}}

[[Kategória:Kyvadlá]]