Problém dvoch telies

Problém dvoch telies je úloha klasickej mechaniky, v ktorej je cieľom skúmať pohyb dvoch telies, ktoré navzájom interagujú. Príkladom môže byť obeh planét okolo Slnka alebo rozptyl elektrónu na atómovom jadre.

Pri probléme dvoch telies je možné rozdeliť pohyb tejto sústavy na pohyb ich spoločného ťažiska a vzájomný pohyb telies. V mnohých prípadoch je možné nájsť aj rovnice týchto pohybov, teda vyriešiť problém analyticky. Naproti tomu problém troch telies nie je možné riešiť podobným spôsobom a analytické výsledky sa dajú získať iba v niektorých špeciálnych prípadoch.

Pohyb, ktorý je výsledkom problému dvoch telies sa odohráva v jednej rovine. Je to tak kvôli tomu, že sily pôsobiace medzi telesami sú navzájom opačne orientované a obe ležia v tejto rovine. V sústave preto nie je žiadna sila, ktorá by telesá vyviedla von z roviny ich pohybu. Túto rovinu pohybu môžeme nájsť tak, že nájdeme moment hybnosti sústavy – rovina, v ktorej sa bude celý pohyb odohrávať je naň kolmá. (Dá sa ukázať aj to, že moment hybnosti sústavy sa v čase nemení, zachováva sa.)

Správanie systému

Obeh telies v prípade, že hmotnosť jedného z nich je omnoho väčšia než hmotnosť druhého telesa.

Obeh dvoch telies rovnakej hmotnosti okolo ťažiska sústavy po kruhovej dráhe.

Pri vzájomnom pôsobení telies sú dôležitými parametrami hmotnosti oboch telies $m_{1}$ a $m_{2}$. Pohyb sa totiž odohráva okolo ich spoločného ťažiska (pozri nižšie). Preto ak je jedna hmotnosť omnoho väčšia než druhá, ťažisko sústavy je prakticky totožné s polohou ťažšieho telesa a to sa potom takmer nehýbe – vnímame obeh ľahkého telesa okolo centrálneho telesa sústavy (pozri obrázok vpravo). Toto je prípad slnečnej sústavy, kde hmotnosť Slnka prevyšuje hmotnosť všetkých planét 745-násobne. Zjednodušenie planét obiehajúcich nehybné Slnko je preto pomerne presné. V prípade sústavy Zem-Mesiac je pomer hmotností 1:81. Výsledkom je ich obeh okolo spoločného ťažiska, ktoré sa nachádza pod povrchom Zeme v hĺbke približne 3000 kilometrov. Príkladom obehu dvoch telies podobnej hmotnosti je sústava Pluto-Charón (pomer hmotností približne 1:7) a mnoho dvojhviezd.

Ak je príťažlivá sila medzi telesami nepriamo úmerná štvorcu ich vzdialenosti (ako pri gravitačnom priťahovaní, resp. Coulombovom zákone), pohyb telies sa odohráva po eliptickej dráhe (v špeciálnom prípade kruhovej), parabolickej dráhe alebo hyperbolickej dráhe.

Na základe pozorovaní telies v slnečnej sústave boli formulované niektoré vlastnosti ich pohybov, ktoré sú zhrnuté v Keplerových zákonoch.

Riešenie úlohy

Polohy telies v čase t označíme ${\vec {x}}_{1}(t)$ a ${\vec {x}}_{2}(t)$. Cieľom je nájsť tieto dve funkcie za predpokladu, že poznáme začiatočné (teda v čase $t=0$) polohy a rýchlosti telies ${\vec {x}}_{1}(0)$, ${\vec {x}}_{2}(0)$, ${\vec {v}}_{1}(0)$, ${\vec {v}}_{2}(0)$, ich hmotnosti $m_{1}$, $m_{2}$, ako aj sily pôsobiace na obe telesá ako funkcie ich polôh ${\vec {F}}_{1}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2})$, ${\vec {F}}_{2}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2})$.

Pritom podľa tretieho Newtonovho zákona (akcia-reakcia) z toho, že uvažujeme iba vzájomné pôsobenie telies vyplýva ${\vec {F}}_{2}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2})=-{\vec {F}}_{1}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2})$. Pomocou druhého Newtonovho zákona (zákona sily) môžeme teraz zapísať pohybové rovnice telies v tvare

$m_{1}{\vec {a}}_{1}={\vec {F}}_{1}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2}),$

$m_{2}{\vec {a}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2}).$

Tu ${\vec {a}}_{1}$ a ${\vec {a}}_{2}$ sú zrýchlenia prvého a druhého telesa.

Sčítanie týchto uvedených dvoch pohybových rovníc umožní skúmať pohyb ťažiska sústavy, zatiaľ čo ich odčítanie vedie k rovnici pre vzájomný pohyb telies.

Pohyb ťažiska sústavy

Ak sčítame predchádzajúce pohybové rovnice telies, dostaneme

$m_{1}{\vec {a_{1}}}+m_{2}{\vec {a}}_{2}=0.$

Zrýchlenia telies sú pritom druhými deriváciami polohy podľa času, teda

${\vec {a}}_{1}={\ddot {\vec {x}}}_{1},\quad {\vec {a}}_{2}={\ddot {\vec {x}}}_{2}.$

Ak teraz zapíšeme súradnice ťažiska sústavy

${\vec {x}}_{T}={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\,{\vec {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\,{\vec {x}}_{2},$

derivovaním tohto výrazu ľahko zistíme, že

${\ddot {\vec {x}}}_{T}={\frac {m_{1}{\ddot {\vec {x}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\vec {x}}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}{\vec {a_{1}}}+m_{2}{\vec {a}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$

Prvá rovnica tohto odseku sa preto dá prepísať do tvaru

${\ddot {\vec {x}}}_{T}=0.$

Povedané slovami: zrýchlenie ťažiska je nulové – pohybuje sa teda rovnomerným priamočiarym pohybom.

Vzájomný pohyb telies

Odčítaním zrýchlení oboch telies dostávame

${\ddot {\vec {x}}}_{1}-{\ddot {\vec {x}}}_{2}=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right){\vec {F}}_{1}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2}).$

Ak teraz označíme ${\vec {r}}={\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}$ a

${\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}={\frac {1}{\mu }}\implies \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},$

predošlá rovnica získa tvar

$\mu {\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}_{1}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}).$

Veličinu $\mu$ nazývame redukovaná hmotnosť sústavy, vektor ${\vec {r}}$ je polohový vektor telesa 1 vzhľadom k telesu 2.

Z poslednej získanej rovnice vyplýva, že vzájomná poloha oboch telies (vektor ${\vec {r}}$) sa mení tak, ako keby sila medzi dvoma telesami pôsobila na jediné teleso s hmotnosťou $\mu$. Problém dvoch telies sme tak zjednodušili na dva nezávislé pohyby – rovnomerný priamočiary pohyb ťažiska a zmenu vzájomného polohového vektora ${\vec {r}}$. Po nájdení rovníc pre ${\vec {r}}_{T}(t)$ a ${\vec {r}}(t)$ sa späť k polohám pôvodných telies dostaneme pomocou vzťahov

${\vec {r}}_{1}(t)={\vec {x}}_{T}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t),$

${\vec {r}}_{2}(t)={\vec {x}}_{T}(t)+{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t),$

Riešenie rovnice pre vzájomný polohový vektor telies

Pri riešení úlohy je použiť polárne súradnice $r$ a $\varphi$ namiesto polohového vektora telies ${\vec {r}}$ (sférické súradnice nie sú nutné vďaka tomu, že pohyb sa odohráva v jednej rovine). Sila medzi telesami v skutočnosti závisí iba od vzdialenosti telies, nie od ich presných polôh. Preto nám namiesto ${\vec {F}}_{1}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})$ stačí $F(r)$.

Ak teraz označíme veľkosť momentu hybnosti sústavy $L$ (ako už bolo povedané, moment hybnosti sa zachováva), pre súradnicu $\varphi$ môžeme zapísať rovnicu (veľkosť momentu hybnosti je daná súčinom obežnej rýchlosti $v_{o}=r\omega =r{\dot {\varphi }}$, hmotnosti obiehajúceho telesa $\mu$ a vzdialenosti od stredu $r$)

$\mu r^{2}{\dot {\varphi }}=L\implies {\dot {\varphi }}={\frac {L}{mr^{2}}}.$

Pohybová rovnica pre súradnicu $r$ má teraz tvar

$\mu {\ddot {r}}=F(r)+\mu r\omega ^{2}.$

Na pravej strane okrem pôsobiacej sily $F(r)$ vystupuje aj odstredivá sila $\mu r\omega ^{2}$. V tejto rovnici vystupujú zároveň čas $t$ a uhol $\varphi$. Môžeme si ponechať iba závislosť vzdialenosti $r$ od uhla $\varphi$ ak využijeme rovnicu pre veľkosť momentu hybnosti $L=\mu r^{2}{\dot {\varphi }}$ na prepis časovej derivácie do tvaru

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}={\frac {L}{\mu r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varphi }}.$

Ak navyše použijeme substitúciu $1/r=u$, dostaneme nakoniec pohybovú rovnicu v tvare

${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} t^{2}}}+u=-{\frac {\mu }{L^{2}u^{2}}}F(1/u)$

Ak teraz predpokladáme silu nepriamo úmernú štvorcu vzdialenosti (ako v gravitačnom, resp. Coulombovom zákone), teda $F(r)=\alpha /r^{2}$, dostávame

${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} t^{2}}}+u=-{\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}.$

Na pravej strane ostala konštanta. Získaná diferenciálna rovnica má tvar diferenciálnej rovnice harmonických kmitov. Aj jej riešenie preto zodpovedá harmonickým kmitom, má tvar

$u(\varphi )=-{\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}+A\sin(\varphi -\varphi _{0}).$

Hodnoty nových konštánt $A$ a $\varphi$ vyplývajú zo začiatočných podmienok nášho problému (tými sú polohy a rýchlosti telies v čase nula). Výsledkom je teda

$r(\varphi )=1/u(\varphi )=\left[-{\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}+A\sin(\varphi -\varphi _{0})\right]^{-1}.$

Ďalšími matematickými úpravami sa dá ukázať, že toto je skutočne parametrická rovnica elipsy, paraboly, resp. hyperboly v polárnych súradniciach.

Pozri aj

Fyzikálny portál Astronomický portál

• Problém troch telies
• Problém n telies