Jednačina

Ovo je članak o matematičkim jednačinama. Za izraz iz hemije, pogledati: hemijska jednačina.

Jednačina ili jednadžba je matematički iskaz, zadat simbolički, da su dve stvari iste (ili ekvivalentne). Jednačine se zapisuju sa znakom jednakosti, na primer

$2+3=5$.

Jednačine se često koriste da iskažu jednakost dva izraza koja sadrže jednu ili više promenljivih. Na primer, za svaku datu vrednost $x$, uvek je tačno da

$x-x=0$.

Dve gornje jednačine su primeri identiteta: jednačina koje su tačne nevezano za verdnosti bilo koje promenljive u njima. Sledeća jednačina nije identiteta:

$x+1=2$.

Gornja jednačina je netačna za beskonačno mnogo vrednosti promenljive $x$, a tačna je za samo jedno; jedinstveno rešenje ove jednačine je $x=1$. Stoga, ako je poznato da je jednačina tačna, ona daje podatak o vrednosti $x$. Uopšteno, vrednosti promenljivih za koje je jednačina tačna se nazvaju rešenjima jednačine. Rešiti jednačinu znači naći njena rešenja.

Neki matematičari koriste izraz jednačina za jednakost koja nije identiteta. Razlika između ova dva koncepta može biti vrlo mala; na primer,

$(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$

je identiteta, dok je

$(x+1)^{2}=2x^{2}+x+1$

jednačina, čija su rešenja $x=0$ i $x=1$.

Slova sa početka alfabeta, kao što su a, b, c, ... se obično uzimaju da označe konstante, a slova sa kraja alfabeta, kao što su x, y, z, se obično uzimaju da označe promenljive.

Svojstva

Ako je jednačina u algebri tačna, sledeće operacije se mogu sprovesti da bi se dobila nova tačna jednačina:

1. Bilo koja vrednost se može dodati sa obe strane jednakosti.
2. Bilo koja vrednost se može oduzeti sa obe strane.
3. Obe strane se mogu pomnožiti bilo kojom vrednošću.
4. Obe strane se mogu podeliti bilo kojom vrednošću različitom od nule.
5. Načelno, svaka funkcija se može primeniti na obe strane.

Algebarska svojstva (1-4) impliciraju da je jednakost relacija kongruencije za polje.

Najpoznatiji sistem brojeva koji dopušta sve ove operacije su realni brojevi, koji su primer polja. Međutim, ako se jednačina odnosi na primer na prirodne brojeve, neke operacije (poput deljenja i oduzimanja) ne moraju da budu validne, jer mogu da daju negativne brojeve, ili brojeve koji nisu celi.

Ako se na obe strane tačne jednakosti primeni funkcija koja nije injektivna, rezultat je opet tačna jednakost, ali nova jednačina može biti manje informativna. Formalno, dobija se implikacija a ne ekvivalencija, pa skup rešenja može biti veći. Funkcije iz tačaka (1), (2), i (4) su uvek injektivne, kao i (3) ako ne množimo nulom.

Povezano

• Nejednačina
• Nejednakost
• Linearna jednačina
• Kvadratna jednačina
• Kubna jednačina
• Diferencijalna jednačina
• Integralna jednačina
• Funkcionalna jednačina
• Diofantska jednačina
• Spisak jednačina
• Teorija jednačina
• Parametarska jednačina

Eksterni linkovi

Jednačina na Wikimedijinoj ostavi

• Ploter matematičkih jednačina: Crta dvodimenzione matematičke jednačine i računa integrale.
• Ploter jednačina: Vebsajt na kome mogu da se iscrtavaju opšte jednačnie, ne samo funkcije.
• WZGrapher Arhivirano 2008-05-15 na Wayback Machine-u: Besplatan program za Vindouz koji crta jednačine u pravouglom i polarnom sistemu, uz mogućnosti integracije i diferencijacije.
• Equation Wizard: Automatski algebarski rešavač jednačina
• EqWorld — sadrži podatke o rešenjima mnogo klasa matematičkih jednačina.
• EquationSolver Arhivirano 2007-10-28 na Wayback Machine-u: Vebsajt na kome mogu da se reše pojedinačne jednačine, kao i linearni sistemi jednačina.