Формула включений-исключений

Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) — комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом. В теории вероятностей аналог принципа включений-исключений известен как формула Пуанкаре.

Случай двух множеств

Например, в случае двух множеств $A,B$ формула включений-исключений имеет вид:

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$

В сумме $|A|+|B|$ элементы пересечения $A\cap B$ учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем $|A\cap B|$ из правой части формулы. Справедливость этого рассуждения видна из диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств, приведенной на рисунке справа.

Таким же образом и в случае $n>2$ множеств процесс нахождения количества элементов объединения $A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}$ состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении. Отсюда и происходит название формулы.

Формулировка

Формулу включений-исключений можно сформулировать в разных формах.

В терминах множеств

Пусть $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ — конечные множества. Формула включений-исключений утверждает:

${\biggl |}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggl |}=\sum _{i}|A_{i}|-\sum _{i<j}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{i<j<k}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\ldots +(-1)^{n-1}|A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}|.$

При $n=2$ получаем формулу для двух множеств, приведенную выше.

В терминах свойств

Принцип включений-исключений часто приводят в следующей альтернативной формулировке . Пусть дано конечное множество $U$, состоящее из $N$ элементов, и пусть имеется набор свойств $a_{1},\ldots ,a_{n}$. Каждый элемент множества $U$ может обладать или не обладать любым из этих свойств. Обозначим через $N(a_{i_{1}}\ldots a_{i_{s}})$ количество элементов, обладающих свойствами $a_{i_{1}},\ldots ,a_{i_{s}}$ (и, может быть, некоторыми другими). Также через $N({\overline {a}}_{i_{1}}\ldots {\overline {a}}_{i_{s}})$ обозначим количество элементов, не обладающих ни одним из свойств $a_{i_{1}},\ldots ,a_{i_{s}}$. Тогда имеет место формула:

$N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{n})=N-\sum _{i}N(a_{i})+\sum _{i<j}N(a_{i}a_{j})-\sum _{i<j<k}N(a_{i}a_{j}a_{k})+\ldots +(-1)^{n}N(a_{1}\ldots a_{n}).$

Формулировка принципа включений-исключений в терминах множеств эквивалентна формулировке в терминах свойств. Действительно, если множества $A_{i}$ являются подмножествами некоторого множества $U$, то в силу правил де Моргана $|\bigcup \nolimits _{i}A_{i}|=|U|-|\bigcap \nolimits _{i}{\overline {A_{i}}}|$ (черта над множеством — дополнение в множестве $U$), и формулу включений-исключений можно переписать так:

${\biggl |}\bigcap _{i=1}^{n}{\overline {A_{i}}}{\biggl |}=|U|-\sum _{i}|A_{i}|+\sum _{i<j}|A_{i}\cap A_{j}|-\sum _{i<j<k}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|+\ldots +(-1)^{n}|A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}|.$

Если теперь вместо «элемент $x$ принадлежит множеству $A_{i}$» говорить «элемент $x$ обладает свойством $a_{i}$», то мы получим формулировку принципа включений-исключений в терминах свойств, и наоборот.

Обозначим через $N(r)$ количество элементов, обладающих в точности $r$ свойствами из набора $a_{1},\ldots ,a_{n}$.Тогда формулу включений-исключений можно переписать в следующей форме:

$N(0)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}N(i_{1},\ldots ,i_{k}).$

Доказательство

Существует несколько доказательств формулы включений-исключений.

Доказательство по индукции

Формулу включений-исключений можно доказать по индукции .

При $n=1$ формула включений-исключений тривиальна:

$N({\overline {a}})=N-N(a).$

Пусть формула верна для $n=m$, докажем её для $n=m+1$.

Пусть каждый элемент множества $U$ может обладать или не обладать любым из свойств $a_{1},\ldots ,a_{m},a_{m+1}$. Применим формулу включений-исключений для свойств $a_{1},\ldots ,a_{m}$:

$N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m})=N-\sum _{i\leq m}N(a_{i})+\sum _{i<j\leq m}N(a_{i}a_{j})+\ldots +(-1)^{m}N(a_{1}\ldots a_{m}).$

Теперь применим формулу для свойств $a_{1},\ldots ,a_{m}$ к множеству $N(a_{m+1})$ объектов, для которых выполнено свойство $a_{m+1}$:

$N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m}a_{m+1})=N(a_{m+1})-\sum _{i\leq m}N(a_{i}a_{m+1})+\sum _{i<j\leq m}N(a_{i}a_{j}a_{m+1})+\ldots +(-1)^{m}N(a_{1}\ldots a_{m}a_{m+1}).$

Наконец, применим формулу для одного свойства $a_{m+1}$ к совокупности $N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m})$, объектов, которые не обладают свойствами $a_{1},\ldots ,a_{m}$:

$N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m}{\overline {a}}_{m+1})=N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m})-N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m}a_{m+1}).$

Комбинируя выписанные три формулы, получим формулу включений-исключений для $m+1$ свойств $a_{1},\ldots ,a_{m+1}$. Что и требовалось доказать. ■

Комбинаторное доказательство

Рассмотрим произвольный элемент $e\in U$ и подсчитаем, сколько раз он учитывается в правой части формулы включений-исключений.

Если элемент $e$ не обладает ни одним из свойств $a_{i}$, то в правой части формулы он учитывается ровно 1 раз (в члене $N$).

Пусть элемент $e$ обладает в точности $r$ свойствами, скажем $a_{j_{1}},\ldots ,a_{j_{r}}$. Он дает по 1 в тех слагаемых суммы $\sum \nolimits _{i_{1}<\ldots <i_{s}}N(a_{i_{1}},\ldots ,a_{i_{s}})$, для которых $\{i_{1},\ldots ,i_{s}\}$ есть подмножество $\{j_{1},\ldots ,j_{r}\}$, и 0 для остальных. Число таких подмножеств по определению есть число сочетаний ${\tbinom {r}{s}}$. Следовательно, вклад элемента $e$ в правую часть равен

$1-{r \choose 1}+{r \choose 2}-\ldots +(-1)^{r}{r \choose r}.$

При $s>r$ числа сочетаний равны нулю. Оставшаяся сумма в силу биномиальной теоремы равна

$\sum _{s=0}^{r}(-1)^{s}{r \choose s}={\bigg (}1+(-1){\bigg )}^{r}=0.$

Таким образом, правая часть формулы включений-исключений учитывает каждый элемент, не имеющий указанных свойств точно по одному разу, а каждый элемент, обладающий хотя бы одним из свойств — нуль раз. Следовательно, она равна количеству элементов, не обладающих ни одним из свойств $a_{i}$, то есть $N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{n})$. Что и требовалось доказать. ■

Доказательство через индикаторные функции

Пусть $A_{i}$ — произвольные (не обязательно конечные) множества, являющиеся подмножествами некоторого множества $U$, и пусть $\mathbf {1} _{A_{i}}$ — индикаторные функции $A_{i}$ (или, эквивалентно, свойств $a_{i}$).

Индикаторная функция их дополнений ${\overline {A_{i}}}$ равна

$\mathbf {1} _{\overline {A_{i}}}=1-\mathbf {1} _{A_{i}},$

а индикаторная функция пересечения дополнений:

$\mathbf {1} _{\cap _{i}{\overline {A_{i}}}}=\prod _{i}(1-\mathbf {1} _{A_{i}}).$

Раскрывая скобки в правой части и ещё раз используя тот факт, что индикаторная функция пересечения множеств равна произведению их индикаторных функций, получаем:

$\mathbf {1} _{\bigcap _{i}{\overline {A_{i}}}}=1-\sum _{i}\mathbf {1} _{A_{i}}+\sum _{i<j}\mathbf {1} _{A_{i}\cap A_{j}}-\sum _{i<j<k}\mathbf {1} _{A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}}+\ldots +(-1)^{n}\mathbf {1} _{A_{1}\cap \ldots \cap A_{n}}.$

Это соотношение — одна из форм принципа включений-исключений. Оно выражает собой логическое тождество и верно для произвольных множеств $A_{i}$. В случае конечных множеств $A_{i}$ (и, соответственно, в предположении конечности множества $U$), просуммировав это соотношение по всем $x\in U$ и воспользоваться тем, что для произвольного подмножества $A\subset U$ его мощность равна

$|A|=\sum _{x\in U}\mathbf {1} _{A}(x),$

получим формулировку принципа включений-исключений в терминах мощностей множеств (или в терминах свойств). ■

Топологическое доказательство

Снабдим множества $A_{i}$ дискретной топологией. В таком случае $H^{k}(A_{i})=0$ при $k>0$, а при $k=0$ имеет место тождество $\dim H^{0}(A_{i})=|A_{i}|.$ В случае двух множеств $A_{1}$ и $A_{2}$ можно воспользоваться точной последовательностью Майера — Вьеториса, которая, учитывая зануление старших когомологий, будет выглядеть как: $0\to H^{0}(A_{1}\cup A_{2})\to H^{0}(A_{1})\oplus H^{0}(A_{2})\to H^{0}(A_{1}\cap A_{2})\to 0.$ Значит, имеет место тождество $\dim H^{0}(A_{1})\oplus H^{0}(A_{2})=\dim H^{0}(A_{1}\cup A_{2})+\dim H^{0}(A_{1}\cap A_{2}),$ или, если переписать его, $|A_{1}|+|A_{2}|=|A_{1}\cup A_{2}|+|A_{1}\cap A_{2}|,$ что эквивалентно формуле включений-исключений.

В случае более чем двух множеств для доказательства формулы включений-исключений вместо точной последовательности Майера — Вьеториса надо написать некоторую спектральную последовательность (а именно спектральную последовательность Лере для отображения проекции из несвязного объединения $A_{i}$ в их объединение), и так же вычислить ранги групп когомологий. ■

Применение

Задача о беспорядках

Основная статья: Задача о беспорядках

Классический пример использования формулы включений-исключений — задача о беспорядках. Требуется найти число перестановок $(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})$ множества $\{1,2,\ldots ,n\}$ таких что $p_{i}\neq i$ для всех $i$. Такие перестановки называются беспорядками.

Пусть $U$ — множество всех перестановок $p$ и пусть свойство $a_{i}$ перестановки выражается равенством $p_{i}=i$. Тогда число беспорядков есть $N({\overline {a}}_{1},{\overline {a}}_{2},\ldots ,{\overline {a}}_{n})$. Легко видеть, что $N(a_{i_{1}},\ldots ,a_{i_{s}})=(n-s)!$ — число перестановок, оставляющих на месте элементы $i_{1},\ldots ,i_{s}$, и таким образом сумма $\sum N(a_{i_{1}},a_{i_{2}},\ldots ,a_{i_{s}})$ содержит ${\tbinom {n}{s}}$ одинаковых слагаемых. Формула включений-исключений дает выражение для числа $D_{n}$ беспорядков:

$D_{n}=n!-{n \choose 1}(n-1)!+{n \choose 2}(n-2)!-\ldots +(-1)^{n}{n \choose n}0!.$

Это соотношение можно преобразовать к виду

$D_{n}=n!\left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-\ldots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\right).$

Нетрудно видеть, что выражение в скобках является частичной суммой ряда $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}=e^{-1}$. Таким образом, с хорошей точностью число беспорядков составляет $1/e$ долю от общего числа $P_{n}=n!$ перестановок:

$D_{n}/P_{n}\approx 1/e.$

Вычисление функции Эйлера

Основная статья: Функция Эйлера

Другой пример применения формулы включений-исключений — нахождение явного выражения для функции Эйлера $\varphi (n)$, выражающей количество чисел из $\{1,2,\ldots ,n\}$, взаимно простых с $n$.

Пусть каноническое разложение числа $n$ на простые множители имеет вид

$n=p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}\ldots p_{k}^{s_{k}}.$

Число $m\in \{1,\ldots n\}$ взаимно просто с $n$ тогда и только тогда, когда ни один из простых делителей $p_{i}$ не делит $m$. Если теперь свойство $a_{i}$ означает, что $p_{i}$ делит $m$, то количество чисел взаимно простых с $n$ есть $N({\overline {a}}_{1},\ldots ,{\overline {a}}_{k})$.

Количество $N(a_{i_{1}},\ldots ,a_{i_{s}})$ чисел, обладающих свойствами $a_{i_{1}},\ldots ,a_{i_{s}}$ равно $n/p_{i_{1}}\ldots p_{i_{s}}$, поскольку $p_{i_{1}}|m,\ldots ,p_{i_{s}}|m\Leftrightarrow p_{i_{1}}\ldots p_{i_{s}}|m$.

По формуле включений-исключений находим

$\varphi (n)=n-\sum _{i}n/p_{i}+\sum _{i,j}n/p_{i}p_{j}-\ldots +(-1)^{k}n/p_{1}\ldots p_{k}.$

Эта формула преобразуется к виду:

$\varphi (n)=n\prod _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).$

Вариации и обобщения

Принцип включения-исключения для вероятностей

Пусть $(\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )$ — вероятностное пространство. Тогда для произвольных событий $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ справедлива формула

$\mathbb {P} {\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}=\sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})-\sum _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})+\sum _{i<j<k}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})+\ldots +(-1)^{n-1}\,\mathbb {P} \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right).$

Эта формула выражает принцип включений-исключений для вероятностей. Её можно получить из принципа включений-исключений в форме индикаторных функций:

$\mathbf {1} _{\bigcup _{i}A_{i}}=\sum _{i}\mathbf {1} _{A_{i}}-\sum _{i<j}\mathbf {1} _{A_{i}\cap A_{j}}+\sum _{i<j<k}\mathbf {1} _{A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}}+\ldots +(-1)^{n-1}\,\mathbf {1} _{A_{1}\cap \ldots \cap A_{n}}.$

Пусть $A_{i}$ — события вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )$, то есть $A_{i}\in {\mathfrak {F}}$. Возьмем математическое ожидание ${\mathcal {M}}$ от обеих частей этого соотношения, и, воспользовавших линейностью математического ожидания и равенством $\mathbb {P} (A)={\mathcal {M}}(\mathbf {1} _{A})$ для произвольного события $A\in {\mathfrak {F}}$, получим формулу включения-исключения для вероятностей.

Принцип включений-исключений в пространствах с мерой

Пусть $(X,{\mathfrak {S}},\mu )$ — пространство с мерой. Тогда для произвольных измеримых множеств $A_{i}$ конечной меры $\mu (A_{i})<\infty$ имеет место формула включений-исключений:

$\mu {\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}=\sum _{i}\mu (A_{i})-\sum _{i<j}\mu (A_{i}\cap A_{j})+\sum _{i<j<k}\mu (A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})+\ldots +(-1)^{n-1}\,\mu \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right).$

Очевидно, принцип включений-исключений для вероятностей и для мощностей конечных множеств являются частными случаями этой формулы. В первом случае мерой является, естественно, вероятностная мера в соответствующем вероятностном пространстве: $\mu (A)=\mathbb {P} (A)$. Во втором случае в качестве меры берется мощность множества: $\mu (A)=|A|$.

Вывести принцип включений-исключений для пространств с мерой можно также, как для указанных частных случаев, из тождества для индикаторных функций:

$\mathbf {1} _{\bigcup _{i}A_{i}}=\sum _{i}\mathbf {1} _{A_{i}}-\sum _{i<j}\mathbf {1} _{A_{i}\cap A_{j}}+\sum _{i<j<k}\mathbf {1} _{A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}}+\ldots +(-1)^{n-1}\,\mathbf {1} _{A_{1}\cap \ldots \cap A_{n}}.$

Пусть $A_{i}$ — измеримые множества пространства $(X,{\mathfrak {S}},\mu )$, то есть $A_{i}\in {\mathfrak {S}}$. Проинтегрируем обе части этого равенства по мере $\mu$, воспользуемся линейностью интеграла и соотношением $\mu (A)=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\mu$, и получим формулу включений-исключений для меры.

Тождество максимумов и минимумов

Основная статья: Тождество максимумов и минимумов

Формула включений-исключений может рассматриваться как частный случай тождества максимумов и минимумов:

$\max(a_{1},\ldots ,a_{n})=\sum _{i}a_{i}-\sum _{i<j}\min(a_{i},a_{j})+\ldots +(-1)^{n-1}\,\min(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

Это соотношение справедливо для произвольных чисел $a_{i}$. В частном случае, когда $a_{i}\in \{0,1\}$ мы получаем одну из форм принципа включений-исключений. В самом деле, если положить $a_{i}=\mathbf {1} _{A_{i}}(x)$, где $x$ — произвольный элемент из $U$, то получим соотношение для индикаторных функций множеств:

$\mathbf {1} _{\bigcup _{i}A_{i}}(x)=\sum _{i}\mathbf {1} _{A_{i}}(x)-\sum _{i<j}\mathbf {1} _{A_{i}\cap A_{j}}(x)+\sum _{i<j<k}\mathbf {1} _{A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}}(x)+\ldots +(-1)^{n-1}\,\mathbf {1} _{A_{1}\cap \ldots \cap A_{n}}(x).$

Обращение Мёбиуса

Основная статья: Обращение Мёбиуса

Пусть $S$ — конечное множество, и пусть $f\colon 2^{S}\to \mathbb {R}$ — произвольная функция, определённая на совокупности подмножеств $S$ и принимающая действительные значения. Определим функцию $g\colon 2^{S}\to \mathbb {R}$ следующим соотношением:

$g(Y)=\sum _{X\supset Y}f(X).$

Тогда имеет место следующая формула обращения :

$f(Y)=\sum _{X\supset Y}(-1)^{|X|-|Y|}\,g(X).$

Это утверждение является частным случаем общей формулы обращения Мёбиуса для алгебры инцидентности совокупности $2^{S}$ всех подмножеств множества $S$, частично упорядоченных по отношению включения $\subset$.

Покажем, как из этой формулы следует принцип включения-исключения для конечных множеств. Пусть дано семейство подмножеств $A_{1},\ldots ,A_{n}$ конечного множества $U$, обозначим $S=\{1,\ldots ,n\}$ — множество индексов. Для каждого набора индексов $X\subset S$ определим $f(X)$ как число элементов, входящих только в те множества $A_{i}$, для которых $i\in X$. Математически это можно записать так:

$f(X)=\left|\left(\bigcap _{i\in X}A_{i}\right)\cap \left(\bigcap _{j\notin X}{\overline {A_{j}}}\right)\right|.$

Тогда функция $g\colon 2^{S}\to \mathbb {R}$, определённая формулой

$g(Y)=\sum _{X\supset Y}f(X),$

даёт количество элементов, каждый из которых входит во все множества $A_{i}$, $i\in X$ и, быть может, ещё в другие. То есть

$g(X)=\left|\bigcap _{i\in X}A_{i}\right|.$

Заметим далее, что $f(\varnothing )$ — количество элементов, не обладающих ни одним из свойств:

$f(\varnothing )=\left|\bigcap _{i}{\overline {A_{i}}}\right|.$

С учётом сделанных замечаний запишем формулу обращения Мёбиуса:

$\left|\bigcap _{i}{\overline {A_{i}}}\right|=\sum _{X}(-1)^{|X|}\,\left|\bigcap _{i\in X}A_{i}\right|.$

Это есть в точности формула включений-исключений для конечных множеств, только в ней не сгруппированы слагаемые, относящиеся к одинаковым значениям $|X|$.

История

Впервые формулу включений-исключений опубликовал португальский математик Даниэль да Сильва в 1854 году. Но ещё в 1713 году Николай Бернулли использовал этот метод для решения задачи Монмора, известной как задача о встречах (фр. Le problème des rencontres), частным случаем которой является задача о беспорядках. Также формулу включений-исключений связывают с именем английского математика Джозефа Сильвестра.

См. также

• Формула Грассмана
• Неравенство Буля

Литература

• Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ = An Introduction to Combinatorial Analysis. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. — 289 с.
• Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — 309 с.
• Стенли Р. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: Мир, 1990. — 440 с.
• Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.
• И. Яглом. Заплаты на кафтане // Квант. — 1974. — № 2. — С. 13—21.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Inclusion-Exclusion Principle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.