Размерность Лебега

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства $X$ обычно обозначается $\dim X$.

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства $X$ размерность Лебега определяется как наименьшее целое число $n$, обладающее тем свойством, что при любом $\varepsilon >0$ существует конечное открытое $\varepsilon$-покрытие $X$, имеющее кратность $\leqslant n+1$;

При этом

• $\varepsilon$-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр $<\varepsilon$, а
• кратностью конечного покрытия пространства $X$ называется наибольшее такое целое число $k$, что существует точка пространства $X$, содержащаяся в $k$ элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства $X$ размерностью Лебега называется наименьшее целое число $n$ такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства $X$ существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности $n+1$.

При этом покрытие ${\mathcal {P}}$ называется вписанным в покрытие ${\mathcal {Q}}$, если каждый элемент покрытия ${\mathcal {P}}$ является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия ${\mathcal {Q}}$.

Примеры

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
  • См. также нульмерное пространство.
• Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
  • См. также кривая Урысона

Свойства

• Неравенство

  $\dim(X\times Y)\leqslant \dim X+\dim Y.$

выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства $X$ и $Y$:

• метризуемость,
• компактность,
• локальная компактность и паракомпактность.

Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается; это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.

• Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
  • Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства $X$ совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на $X$.
• Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство $X$ имеет размерность $\dim X\leqslant n$ тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия ${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ пространства $X$ существует вписанное покрытие ${\mathcal {V}}$, которое состоит из $n+1$ подсемейств ${\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots ,{\mathcal {V}}_{n+1}$ таких, что каждое подсемейство ${\mathcal {V}}_{i}$ состоит из непересекающиеся между собой множеств.

История

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность $n$-мерного куба равна $n$. Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта $\dim X$ (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.

Литература

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973