Логика высказываний
Логика высказываний, пропозициональная логика (лат. propositio — «высказывание»[1]) или исчисление высказываний[2], также логика нулевого порядка — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, пропозициональная логика не рассматривает внутреннюю структуру простых высказываний, она лишь учитывает, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные[3].
Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений[2].
Язык логики высказываний
[править | править код]Язык логики высказываний (пропозициональный язык[4]) — формализованный язык, предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний[1].
Синтаксис логики высказываний
[править | править код]Исходные символы, или алфавит языка логики высказываний[5]:
- множество пропозициональных переменных (пропозициональных букв):
- пропозициональные связки (логические союзы):
Символ | Значение |
---|---|
Знак отрицания | |
или & | Знак конъюнкции («логическое И») |
Знак дизъюнкции («логическое ИЛИ») | |
Знак импликации |
- Вспомогательные символы: левая скобка (, правая скобка ).[6]
Пропозициональные формулы
[править | править код]Пропозициональная формула — слово языка логики высказываний[7], то есть конечная последовательность знаков алфавита, построенная по изложенным ниже правилам и образующая законченное выражение языка логики высказываний[1].
Индуктивное определение множества формул логики высказываний:[4][1]
- Если , то (всякая пропозициональная переменная есть формула);
- если — формула, то — тоже формула;
- если и — произвольные формулы, то , , — тоже формулы.
Других формул в языке логики высказываний нет.
Форма Бэкуса — Наура, определяющая синтаксис логики высказываний, имеет запись:
Заглавные латинские буквы , и другие, которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, то есть языку, который используется для описания самого языка логики высказываний. Содержащие метабуквы выражения , и другие — не пропозициональные формулы, а схемы формул. Например, выражение есть схема, под которую подходят формулы , и другие[1].
Относительно любой последовательности знаков алфавита языка логики высказываний можно решить, является она формулой или нет. Если эта последовательность может быть построена в соответствии с пп. 1—3 определения формулы, то она формула, если нет, то не формула[1].
Соглашения о скобках
[править | править код]Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, существует соглашение о скобках, по которому некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются по следующим правилам.
- Если опущены внешние скобки, то они восстанавливаются.
- Если рядом стоят две конъюнкции или дизъюнкции (например, ), то в скобки заключается сначала самая левая часть (то есть эти связки левоассоциативны).
- Если рядом стоят разные связки, то скобки расставляются согласно приоритетам: и (от высшего к низшему).
Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.
Например: запись означает формулу , а её длина равна 12.
Формализация и интерпретация
[править | править код]Как и любой другой формализованный язык, язык логики высказываний можно рассматривать как множество всех слов, построенных с использованием алфавита этого языка[8]. Язык логики высказываний можно рассматривать как множество всевозможных пропозициональных формул[4]. Предложения естественного языка могут быть переведены на символический язык логики высказываний, где они будут представлять собой формулы логики высказываний. Процесс перевода высказывания в формулу языка логики высказываний называется формализацией. Обратный процесс подстановки вместо пропозициональных переменных конкретных высказываний называется интерпретацией[9].
Аксиомы и правила вывода формальной системы логики высказываний
[править | править код]Этот раздел не завершён. |
Для улучшения этой статьи желательно:
|
Одним из возможных вариантов (гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
вместе с единственным правилом:
Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.
Таблицы истинности основных операций
[править | править код]Этот раздел не завершён. |
Для улучшения этой статьи желательно:
|
Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если даны истинностные значения входящих в неё переменных. Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок[10].
Пусть — множество всех истинностных значений , а — множество пропозициональных переменных. Тогда интерпретацию (или модель) языка логики высказываний можно представить в виде отображения
- ,
которое каждую пропозициональную переменную сопоставляет с истинностным значением [10].
Оценка отрицания задаётся таблицей:
Значения двухместных логических связок (импликация), (дизъюнкция) и (конъюнкция) определяются так:
Тождественно истинные формулы (тавтологии)
[править | править код]Этот раздел не завершён. |
Для улучшения этой статьи желательно:
|
Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных (то есть, при любой интерпретации)[11]. Далее перечислены несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:
- ;
- ;
- ;
- законы поглощения:
- ;
- ;
- ;
- .
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Перейти обратно: 1 2 3 4 5 6 Чупахин, Бродский, 1977, с. 203—205.
- ↑ Перейти обратно: 1 2 Кондаков, 1971, статья «Исчисление высказываний».
- ↑ НФЭ, 2010.
- ↑ Перейти обратно: 1 2 3 Герасимов, 2011, с. 13.
- ↑ Войшвилло, Дегтярев, 2001, с. 91—94.
- ↑ Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — М., Наука, 1979. — с. 24
- ↑ Эдельман, 1975, с. 130.
- ↑ Эдельман, 1975, с. 128.
- ↑ Игошин, 2008, с. 32.
- ↑ Перейти обратно: 1 2 Герасимов, 2011, с. 17—19.
- ↑ Герасимов, 2011, с. 19.
Литература
[править | править код]- Кондаков Н. И. Логический словарь / Горский Д. П.. — М.: Наука, 1971. — 656 с.
- Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
- Чупахин И. Я., Бродский И. Н. Формальная логика. — Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1977. — 357 с.
- Войшвилло Е. К., Дегтярев М. Г. Логика. — М.: ВЛАДОС-ПРЕСС, 2001. — 528 с. — ISBN 5-305-00001-7.
- Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — 2-е изд., стереотип.. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 448 с. — ISBN 978-5-7695-4593-1.
- А. С. Карпенко. Логика высказываний // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль, 2010. — 2816 с.
- Герасимов А. С. Курс математической логики и теории вычислимости. — СПб.: Издательство «ЛЕМА», 2011. — 284 с. — ISBN 978-5-98709-292-7.