Функционал

Функциона́л — функция, заданная на произвольном множестве и имеющая числовую область значений: обычно множество вещественных чисел $\mathbb {R}$ или комплексных чисел $\mathbb {C}$ . В более широком смысле функционалом называется любое отображение из произвольного множества в произвольное (не обязательно числовое) кольцо.

Функционалы изучаются как одно из центральных понятий в функциональном анализе, а основным предметом вариационного исчисления является изучение вариаций функционалов.

Определения

Область определения функционала может быть любым множеством. Если область определения является топологическим пространством, можно определить непрерывный функционал; если область определения является линейным пространством над $\mathbb {R}$ или над $\mathbb {C}$ , можно определить линейный функционал; если область определения является упорядоченным множеством, можно определить монотонный функционал.

Функционал, заданный на топологическом пространстве $X$ , называется непрерывным, если он непрерывен как отображение в топологическое пространство $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ .

Функционал, заданный на топологическом пространстве $X$ , называется непрерывным в точке $x\in X$ , если он непрерывен в этой точке как отображение в топологическое пространство $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ .

Функционал, заданный на линейном пространстве, и сохраняющий сложение и умножение на константу, называется линейным функционалом. (Отображение линейного пространства в линейное пространство называют оператором).

Один из простейших функционалов — проекция (сопоставление вектору одной из его компонент или координат).

Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости и т. д.). Поэтому в прикладных областях под функционалом часто понимают функцию от функций, отображение, переводящее функцию в число (действительное или комплексное).

Функционал на линейном пространстве называется положительно определённым, если его значение неотрицательно и равно нулю только в нуле.

Отображение, переводящее вектор в его норму, является выпуклым положительно определённым функционалом, это один из самых распространённых функционалов. В физике часто используется действие — тоже функционал.

Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и тому подобного), доставляющее экстремум (минимум или максимум) заданному функционалу. Функционалы также рассматриваются в вариационном анализе.