Формула Стирлинга

Отношение (ln n!) к (n ln n − n) стремится к 1 с увеличением n.

В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы.

Наиболее используемый вариант формулы:

$\ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\log(n))\$

Следующий член в O(log(n)) — это 1⁄2ln(2πn); таким образом более точная аппроксимация:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1,$

что эквивалентно

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$