Просмотр кода страницы Альтернативные теории гравитации

{{ОТО}}
'''Альтернативными теориями гравитации''' принято называть [[Теория|теории]] [[Гравитация|гравитации]], существующие как альтернативы [[общая теория относительности|общей теории относительности]] (ОТО) или существенно (количественно или качественно) изменяющие её. К альтернативным теориям гравитации часто относят вообще любые теории, не совпадающие с общей теорией относительности хотя бы в деталях или как-то обобщающие её. Тем не менее, нередко теории гравитации, особенно [[квантовая гравитация|квантовые]], совпадающие с общей теорией относительности в низкоэнергетическом пределе, «альтернативными» не называют.

== Классификация альтернативных теорий гравитации ==
В физике XVII—XIX столетий доминирующей теорией гравитации была теория Ньютона. В настоящее время большинство физиков основной теорией гравитации считают общую теорию относительности (ОТО), поскольку весь существующий массив экспериментов и наблюдений согласуется с ней (см. [[Тесты общей теории относительности]]). Однако ОТО имеет ряд существенных проблем, что приводит к попыткам модификации ОТО или к представлению новых теорий. Современные теории гравитации можно разбить на следующие основные классы:

# Метрические теории. Сюда относятся ОТО, [[релятивистская теория гравитации]] (РТГ) Логунова, и другие.
# Неметрические теории наподобие теории Эйнштейна — Картана.
# Векторные теории.
# Скалярно-тензорные теории. Такова, в частности, теория Йордана — Бранса — Дике.
# Теории, альтернативные классической теории Ньютона. Известными теориями являются гравитация Ле-Сажа и модифицированная ньютоновская динамика (МОНД).
# Теории квантовой гравитации, представленные целой серией разновидностей.
# Теории объединения различных физических взаимодействий. Здесь можно указать теорию супергравитации и теорию струн.

[[Теорема Лавлока]] помогает понять особое положение ОТО среди возможных модифицированных теорий гравитации и указывает возможные способы её обобщения. Общий список теорий гравитации со ссылками приведён ниже.

{{Теории гравитации}}

== Причины создания альтернативных теорий гравитации ==
Существуют сотни попыток создания идеальной теории гравитации. По мотивации эти попытки попадают в 3 широкие категории:
* Прямые альтернативы [[общая теория относительности|общей теории относительности]] (ОТО), такие как [[теория Эйнштейна — Картана]], скалярно-тензорная теория гравитации ([[теория Бранса — Дикке]]), [[биметрическая теория]] Розена или [[релятивистская теория гравитации]] Логунова;
* Попытки создания [[квантовая гравитация|квантовой теории гравитации]], наиболее известной из которых является [[петлевая квантовая гравитация]];
* Классические [[Теория всего|единые теории поля]], объединяющие гравитацию с электромагнетизмом и, возможно, другими (обычно гипотетическими) силами, например, [[теория Калуцы-Клейна]], [[теория Шмутцера]]<!--, теория К.Абильдинова[http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/9233.html]-->.
Эта статья описывает лишь прямые альтернативы ОТО, квантовые теории гравитации являются предметом статьи «[[Квантовая гравитация]]», [[Теория всего|единые теории поля]] описаны в одноимённой статье, как и попытки создания [[Теория всего|теории всего]].

Поводы для создания теорий гравитации изменялись со временем, исторически первыми из них были попытки объяснить движение планет (с этим успешно справилась [[Ньютоновская гравитация]]) и спутников, в частности, [[Луна|Луны]]. Затем наступило время комбинированных теорий гравитации и света, опиравшихся на концепцию [[эфир (физика)|эфира]] или [[корпускулярная теория света|корпускулярную теорию света]], как пример можно назвать [[теория гравитации Лесажа|теорию гравитации Фатио-Лесажа]]. После того, как вся физика поменяла свой характер после создания [[специальная теория относительности|специальной теории относительности]], возникла необходимость соединить последнюю с гравитационными силами. В это же время экспериментальная физика дошла в своём развитии до проверки оснований теории относительности и гравитации: [[лоренц-инвариантность|лоренц-инвариантности]], [[гравитационное отклонение света|гравитационного отклонения света]] и [[принцип эквивалентности|эквивалентности инертной и гравитационной массы]] ([[эксперимент Этвёша]]). Эти эксперименты и другие соображения привели в конце концов к [[общая теория относительности|общей теории относительности]].

После этого мотивация резко сменила характер. Гравитация ушла из основного фокуса приложения сил для развития физики — им стало развитие [[квантовая механика|квантовой механики]] и [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]], вдохновлённое открытиями в [[атомная физика|атомной]], [[ядерная физика|ядерной]] физике и физике [[элементарные частицы|элементарных частиц]]. Соединение [[квантовая механика|квантовой механики]] даже со [[специальная теория относительности|специальной теорией относительности]] оказалось столь сложным, что [[квантовая теория поля]] до сих пор не представляет собой сколь-нибудь законченной отрасли физического знания. Попытки же сочетать принципы [[квантовая механика|квантовой механики]] с [[общая теория относительности|общей теорией относительности]] не могут быть признаны полностью успешными и описываются в статье «[[квантовая гравитация]]».

После создания ОТО предпринимались попытки как улучшить ранние теории, так и разработать новые, учитывающие новые концепции. Использовались различные подходы, например, добавление к ОТО учёта [[спин]]а, введение [[расширение Вселенной|расширения Вселенной]] в рамки основного (невозмущённого) пространства теории, требование отсутствия [[сингулярность (теория поля)|сингулярностей]].

Экспериментальная техника достигала новых высот и выдвигала всё более жёсткие ограничения на теории гравитации. Многие подходы, разработанные вскоре после создания ОТО, были опровергнуты, и общая тенденция носит характер разработки всё более общих форм теорий гравитации, достигших в конце концов известного совершенства в том смысле, что каково бы ни было обнаруженное экспериментально
отклонение от ОТО, найдётся теория, его описывающая.

К 1980-м гг. всё возрастающая точность экспериментов привела к полному отклонению всех теорий гравитации, за исключением того их класса, который включает ОТО как предельный случай. Эти же теории могут быть отклонены на основании принципа «[[бритва Оккама|бритвы Оккама]]» до тех пор, пока не будут надёжно обнаружены и подтверждены экспериментально отклонения от предсказаний ОТО. Вскоре физики-теоретики увлеклись [[теория струн|струнными теориями]], которые выглядели весьма многообещающе. В середине 1980-х гг. несколько экспериментов якобы обнаружили отклонения от ОТО на малых расстояниях (от сотен метров и ниже), которые назвали проявлениями «[[пятая сила|пятой силы]]». Следствием явился кратковременный всплеск активности в струнных теориях гравитации, но эти экспериментальные результаты в последующем не нашли подтверждения (в настоящее время ньютоновский характер сил гравитационного притяжения проверен вплоть до шкалы масштабов в десятки микрометров — [[2009 год]]<!-- Ссылка на УФН. -->).

Новые попытки разработать альтернативные теории гравитации почти исключительно вдохновляются космологическими причинами, ассоциированными с такими концепциями, как «[[инфляционная модель Вселенной|инфляция]]», «[[тёмная материя]]» и «[[тёмная энергия]]», или заменяющими их. Основной идеей при этом является согласие современной гравитации с гравитационным взаимодействием в ОТО, но при предполагаемом сильном отклонении от него в ранней Вселенной. Изучение [[Аномалия Пионеров|аномалии Пионеров]] в последнее время также вызвало всплеск интереса к альтернативам ОТО, но фиксируемое отклонение, вероятно, слишком велико, чтобы его можно было объяснить с позиций любой из этих новейших теорий.

== Обозначения ==
См. [[тензорный анализ]], [[дифференциальная геометрия]], [[математические основы общей теории относительности]].

Латинские индексы пробегают значения от 1 до 3, греческие — от 0 до 3. Временной индекс, как правило, 0. Используется [[соглашение Эйнштейна]] для суммирования по повторяющимся ко- и контравариантным
индексам.

<math>\eta_{\mu\nu}\;</math> — [[Пространство Минковского|метрика Минковского]], <math>g_{\mu\nu}\;</math> — [[тензор]], обычно [[метрический тензор]]. [[Сигнатура (линейная алгебра)|Сигнатура]] метрики <math>(-,+,+,+)\;.</math>

[[Ковариантная производная]] записывается как <math>\partial_\mu\varphi\;</math> или как <math>\varphi_{;\mu}\;.</math>

== Ранние теории, 1686—1916 ==
Основной источник: Пайс (1989).

Ранние теории гравитации, под которыми подразумеваются все теории, разработанные до ОТО, включают в себя теорию [[Ньютоновская гравитация|Ньютона (1686)]], её разнообразные модификации (в частности, Клеро и Хилла), а затем релятивистские теории: теорию Пуанкаре ([[1905]]), Эйнштейна ([[1912]]a & b), Эйнштейна-Гроссмана ([[1913]]), [[теория Нордстрёма|Нордстрёма (1912, 1913)]] и Эйнштейна-Фоккера ([[1914]]).

=== Теория Ньютона ([[1686 год|1686]]) ===
{{also|Закон всемирного тяготения|Гравитационное поле}}
В [[Ньютоновская гравитация|теории]] [[Ньютон, Исаак|Ньютона]] ([[1686]]), переписанной в современных терминах, поле плотности массы <math>\rho</math> генерирует скалярное поле [[Гравитационный потенциал|гравитационного потенциала]] <math>\varphi</math> следующим образом (с точностью до постоянной):
: <math>\Delta\varphi=4\pi G\rho</math>, где <math>\Delta\varphi=\nabla^2\varphi=\operatorname{div}\operatorname{grad}\varphi</math>, <math>G</math> — [[гравитационная постоянная]], <math>\Delta</math> — [[оператор Лапласа]], квадрат наблы — скалярный.
В частности, для сферически-симметричной массы <math>M</math> (включая точечную), скалярное поле вне её, принимая потенциал на бесконечности равным нулю, равно
: <math>\varphi=-G{M\over r}</math>, где <math>r</math> — расстояние от данной точки до центра симметрии.
Скалярное поле, в свою очередь, влияет на траекторию свободно движущейся частицы так:
: <math>{d^2x^j\over dt^2}+{\partial\varphi\over\partial x^j}=0</math> или <math>\ddot x+\operatorname{grad}\varphi=0</math>.
Потенциальная энергия точечной массы равна:
: <math>P=\varphi M</math>, где <math>P</math> — потенциальная энергия, <math>M</math> — величина массы.
[[Дивергенция|Иногда]] используется формализм с положительным потенциалом, тяготеющие массы в этом случае образуют «потенциальные горбы», а не «ямы», линии градиента потенциала не исходят из тяготеющих масс, а, наоборот, входят в них. В прежних обозначениях:
: связь поля потенциала с полем плотности массы: <math>\Delta\varphi=\nabla^2\varphi=\operatorname{div}\operatorname{grad}\varphi=-4\pi G\rho</math>,
: случай сферически-симметричной массы: <math>\varphi=G{M\over r}</math>,
: воздействие на материальную точку: <math>{d^2x^j\over dt^2}={\partial\varphi\over\partial x^j}</math> или <math>\ddot x=\operatorname{grad}\varphi</math>,
: потенциальная энергия <math>P=-\varphi M</math>.

Теория Ньютона и её переформулированный [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжем]] вариант (с введением [[Вариационные принципы|вариационного принципа]]), никак не объясняют физический механизм тяготения и, естественно, не принимают во внимание релятивистские эффекты. Поэтому ньютоновская модель сейчас не может рассматриваться как приемлемая теория гравитации. Тем не менее, теория Ньютона как теория, с большой точностью подтверждённая экспериментами, согласно [[принцип соответствия|принципу соответствия]], должна воспроизводиться любой теорией гравитации как предел при слабом гравитационном поле и малых скоростях движения тел.

=== Механические модели (1650—1900) ===
{{also|Эфир (физика)#Эфир и гравитация}}
Ньютон на вопрос о причинах тяготения отвечал: «Гипотез не измышляю». Его последователи не были столь щепетильны в данном вопросе и выдвинули множество механических версий объяснения тяготения. Из модификаций ньютоновской теории выделяется [[теория гравитации Лесажа|теория Лесажа]] (корпускулярная модель) и её модификации. [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] ([[1908]]) сравнил все известные к тому времени теории и пришёл к выводу, что только теория Ньютона корректна. Остальные модели предсказывают очень большие сверхсветовые [[скорость гравитации|скорости гравитационного взаимодействия]], что в свою очередь должно было бы приводить к очень быстрому разогреву Земли вследствие столкновений её частиц с частицами, вызывающими гравитационное притяжение тел, чего не наблюдается.

Вот краткий список этих теорий:
* [[Декарт, Рене|Рене Декарт]] (1644) и [[Гюйгенс, Христиан|Христиан Гюйгенс]] (1690) привлекали для объяснения гравитации вихри корпускул, заполняющих всё пустое пространство.
* [[Гук, Роберт|Роберт Гук]] (1671) и [[Чэллис, Джеймс|Джеймс Чэллис]] (1869) предполагали, что каждое тело излучает волны, которые приводят к притяжению им других тел. [[де Дюилье, Никола Фатио|Никола Фатио де Дюилье]] (Nicolas Fatio de Duillier) (1690) и [[Ле Саж, Жорж-Луи|Жорж-Луи Ле Саж]] (Georges-Louis Le Sage) (1748) предложили корпускулярную модель, использующую эффект затенения одного тела другим от потоков корпускул, которые прибывают постоянно со всех сторон ([[теория гравитации Лесажа]]). Позднее подобная модель была разработана [[Лоренц, Хендрик Антон|Хендриком Антоном Лоренцем]], однако вместо корпускул он использовал электромагнитные волны.
* Исаак Ньютон (1675) и [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Риман]] (1853) утверждали, что притяжение тел является следствием взаимодействия с потоками эфира.
* Ньютон (1717) и [[Эйлер, Леонард|Леонард Эйлер]] (1760) предложили модель, согласно которой эфир возле тел становится разреженным, что приводит к силе, направленной к телу.
* [[Томсон, Уильям (лорд Кельвин)|Кельвин]] (1871) предложил пульсационную модель гравитации и электромагнетизма.

Отклонения в движении небесных тел от рассчитанных по ньютоновской теории приводили к рассмотрению законов тяготения, отличных от ньютоновых. Так например, для объяснения отклонений в движении Луны одно время применялась формула [[Клеро, Алекси Клод|Клеро]]
: <math> F=m_1m_2\left(\frac{G}{r^2}+\frac{H}{r^4}\right)\,,</math>
а затем [[Хилл, Джордж Уильям|Хилла]] (она же, но с другими параметрами, не совпадающими с лунными, использовалась [[Ньюком, Саймон|С. Ньюкомом]] (1895) при разработке теории движения внутренних планет Соленчной системы и составлении [[Солнечные таблицы Ньюкома|Солнечных таблиц]], через которые затем была определена [[эфемеридная секунда]])
: <math> F=G\frac{m_1m_2}{r^{2+\delta}}\,,\quad |\delta|\ll1\,.</math>
По мере развития небесной механики выяснилось, что эти отклонения не требуют модификации теории тяготения, а вызываются другими причинами<ref>{{книга
|автор          = Бронштэн В. А.
|часть          = 
|заглавие       = Как движется Луна? |nodot=1
|оригинал       = 
|ссылка         = 
|ответственный  = 
|издание        = 
|место          = М.
|издательство   = Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит
|год            = 1990
|том            = 
|страницы       = 
|страниц        = 208
|серия          = 
|isbn           = 5-02-014071-6
|тираж          = 117000
}}</ref>.

В настоящее время существуют также разнообразные «вихревые» и «эфиродинамические» теории гравитации, а иногда и электромагнетизма (развиваемые В. А. Ацюковским, Воронковым, Леоновым, Рыковым и другими авторами). К ним можно приложить в основном всё те же возражения Пуанкаре, поэтому большинство учёных считают такие попытки в настоящее время относящимися к [[псевдонаука|псевдонаучным]].

=== Электрические модели (1870—1900) ===
Конец XIX столетия ознаменовался распространением теорий тяготения, связанных с полученными законами электромагнитного взаимодействия, таких как законы [[Вебер, Вильгельм Эдуард|Вебера]], [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]], [[Риман, Бернхард|Римана]] и [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелла]]<ref name="Bog">{{книга
|автор          = Богородский А. Ф.
|часть          = Глава 2
|заглавие       = Всемирное тяготение
|оригинал       = 
|ссылка         = 
|ответственный  =  
|издание        = 
|место          = Киев
|издательство   = Наукова думка
|год            = 1971
|том            = 
|страницы       = 
|страниц        = 128
|серия          = 
|isbn           = 
|тираж          = 6600
}}</ref><ref>
{{книга
|автор          = [[Тредер, Ханс Юрген|Тредер Г.-Ю.]]
|часть          = Глава I
|заглавие       = Относительность инерции
|оригинал       = Hans-Jürgen Treder. Die Relativität der Trägheit. Berlin, 1972
|ссылка         = 
|ответственный  = Пер. с нем. К. А. Бронникова. Под редакцией проф. К. П. Станюковича 
|издание        = 
|место          = М.
|издательство   = Атомиздат
|год            = 1975
|том            = 
|страницы       = 
|страниц        = 128
|серия          = 
|isbn           = 
|тираж          = 6600
}}</ref>. Эти модели должны были объяснить единственный аномальный результат небесной механики: [[Смещение перигелия Меркурия|рассогласование в вычисляемом и наблюдаемом движении перигелия Меркурия]]. В [[1890 год]]у Леви удалось получить стабильные орбиты и нужную величину сдвига перигелия путём комбинации законов Вебера и Римана<!--, whereby the [[speed of gravity]] is equal to the [[speed of light]] in his theory-->. Другая успешная попытка была предпринята [[Гербер, Пауль|П. Гербером]] в [[1898 год]]у<ref>{{статья |заглавие=Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation |издание=Zeitschrift für mathematische Physik |том=43 |страницы=93—104 |ссылка=http://de.wikisource.org/wiki/Die_r%C3%A4umliche_und_zeitliche_Ausbreitung_der_Gravitation |язык=German |автор=Gerber, P. |год=1898 |archivedate=2011-08-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110831201852/http://de.wikisource.org/wiki/Die_r%C3%A4umliche_und_zeitliche_Ausbreitung_der_Gravitation }}</ref>. Тем не менее, так как исходные электродинамические потенциалы оказались неверными (например, закон Вебера не вошёл в окончательную теорию электромагнетизма Максвелла), эти гипотезы были отвергнуты как произвольные<ref>{{статья |заглавие=Gravitation |издание=Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen |том=5 |страницы=25—67 |ссылка=http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D189514 |язык=German |автор={{Нп3|Zenneck, J.|Zenneck, J.||Jonathan Zenneck}} |год=1903 |archivedate=2021-03-12 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210312062322/http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D189514 }}</ref><ref>{{книга
 |автор         = Роузвер Н. Т.
 |часть         = 
 |заглавие      = Перигелий Меркурия. От Леверье до Эйнштейна
 |оригинал      = Roseveare N. T. Mercury's perigelion from Le Verrier to Einstein
 |ссылка        = http://bourabai.kz/articles/roseveare/
 |ответственный = Пер. с англ. А. С. Расторгуева под ред. В. К. Абалакина
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = Мир
 |год           = 1985
 |том           = 
 |страницы      = 
 |страниц       = 246
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 10000
 |archivedate   = 2020-10-01
 |archiveurl    = https://web.archive.org/web/20201001204015/http://bourabai.kz/articles/roseveare/
}}</ref>. Некоторые другие попытки, которые уже использовали теорию Максвелла, (например, теория [[Лоренц, Хендрик Антон|Х. Лоренца]] [[1900 год]]а<!-- He assumed, like [[Ottaviano Fabrizio Mossotti]] and [[Johann Karl Friedrich Zöllner]], that the attraction of opposite charged particles is stronger than the repulsion of equal charged particles. The resulting net force is exactly what is known as universal gravitation, in which the speed of gravity is that of light. -->) давали слишком малую прецессию<ref>{{статья |заглавие=Considerations on Gravitation |издание=Proc. Acad. Amsterdam |том=2 |страницы=559—574 |ссылка=http://www.historyofscience.nl/search/detail.cfm?pubid=260&view=image&startrow=1 |язык=und |автор={{Нп3|Lorentz, H.A.|Lorentz, H.A.||Hendrik Lorentz}} |год=1900 |archivedate=2009-01-14 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090114121652/http://www.historyofscience.nl/search/detail.cfm?pubid=260&view=image&startrow=1 }}</ref><ref name="pais_1982">Пайс, Абрахам. (1989) Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. Пер. с англ. В. И. и О. И. Мацарских; Под ред. А. А. Логунова. — М. :Наука, 1989. — 566,[1] с., [4] л. ил., 22 см — ISBN 5-02-014028-7. Русский перевод книги Pais, Abraham. 'Subtle is the Lord…': THE SCIENCE AND THE LIFE OF Albert EINSTEIN. — OXFORD UNIVERSITY PRESS, 1982.</ref><ref name="vizgin1">
{{книга
|автор          = Визгин В. П.
|часть          = Глава I, раздел 2.
|заглавие       = Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование. 1900—1915 гг.)
|оригинал       = 
|ссылка         = 
|ответственный  =  
|издание        = 
|место          = М.
|издательство   = Наука
|год            = 1981
|том            = 
|страницы       = 
|страниц        = 352
|серия          = 
|isbn           = 
|тираж          = 2000
}}</ref>.

=== Лоренц-инвариантные модели (1905—1910) ===
Около 1904—1905 годов работы [[Лоренц, Хендрик Антон|Х. Лоренца]], [[Пуанкаре, Анри|А. Пуанкаре]] и [[Эйнштейн, Альберт|А. Эйнштейна]] заложили фундамент [[специальная теория относительности|специальной теории относительности]], исключив возможность распространения любых взаимодействий быстрее, чем со [[скорость света|скоростью света]]. Таким образом, встала задача заменить ньютоновский закон гравитации на другой, совместимый с принципом относительности, но дающий при малых скоростях и гравитационных полях почти ньютоновские эффекты. Такие попытки были сделаны [[Пуанкаре, Анри|А. Пуанкаре]] (1905 и 1906), [[Минковский, Герман|Г. Минковским]] (1908) и [[Зоммерфельд, Арнольд Иоганнес Вильгельм|А. Зоммерфельдом]] (1910)<ref name="vizgin1"/>. Однако все рассмотренные модели давали слишком малую величину сдвига перигелия<ref>{{Citation | author=Walter, S. | year=2007 | editor=Renn, J. | contribution= [http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/ Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910] | journal=The Genesis of General Relativity |pages=193–252 |volume=3 |place=Berlin | publisher=Springer}}</ref>. В 1907 году Эйнштейн пришёл к выводу, что для описания гравитационного поля необходимо обобщить тогдашнюю теорию относительности, сейчас называемую специальной. От 1907 по 1915 год Эйнштейн последовательно шёл к новой теории, используя в качестве путеводного [[принцип относительности|свой принцип относительности]].

=== Эйнштейн ([[1912 год|1912]]), Эйнштейн и Гроссман ([[1913 год|1913]]) ===
Публикация Эйнштейна [[1912 год]]а (в двух частях) важна лишь в историческом плане. К тому времени он знал о [[гравитационное красное смещение|гравитационном красном смещении]] и об [[гравитационное отклонение света|отклонении света]]. Эйнштейн понимал, что [[преобразования Лоренца]] в общем случае неверны в присутствии гравитационного поля, но применил их как эвристический приём. Данная теория утверждала, что [[скорость света]] является постоянной величиной в свободном от материи пространстве, но изменяется в присутствии материальных тел, создавая этим гравитационный эффект. Теория ограничивалась стационарными гравитационными полями и включала в себя [[принцип наименьшего действия]]:
: <math>\delta\int ds=0\, ,\qquad ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\, ,\quad \eta_{\mu\nu}=diag\{-c^2(x^i),1,1,1\}.</math>

Затем Эйнштейн и Гроссман ([[1913]]) уже использовали [[псевдориманова геометрия|псевдориманову геометрию]] и [[тензорный анализ]]:
: <math>\delta\int ds=0\, ,\qquad ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\, .</math>
В их работе уравнения [[классическая электродинамика|электродинамики]] уже точно совпадали с уравнениями в ОТО. Кроме того, использовалось дополнительное уравнение (не всегда верное в ОТО)
: <math>T^{\mu\nu}=\kappa\rho{dx^\mu\over ds}{dx^\nu\over ds}\, ,</math>
выражающее [[тензор энергии-импульса]] как функцию плотности материи. <!-- Уравнения для гравитационного поля имели вид: Найти! -->

=== [[теория Нордстрёма|Две теории Нордстрёма (1912), (1913)]] ===
Первый подход [[теория Нордстрёма|Нордстрёма (1912)]] состоял в попытке сохранить метрику Минковского и постоянство скорости света <math>c</math> путём введения зависимости массы от потенциала гравитационного поля <math>\varphi\,.</math> Предположив, что <math>\varphi</math> удовлетворяет уравнению
: <math>\Box\varphi=\rho\, ,</math>
где <math>\rho</math> представляет собой плотность энергии массы покоя, а <math>\Box</math> — [[даламбертиан]], и введя зависимость
: <math>m=m_0 \exp(\phi/c^2)\, ,</math>
Нордстрём предложил следующее уравнение
: <math>-{\partial\varphi\over\partial x^\mu}=\dot{u}_\mu+{u_\mu\over
c^2\dot{\varphi}}\, ,</math>
где <math>u</math> — [[4-скорость]], а точка обозначает дифференцирование по времени.

Вторая попытка [[теория Нордстрёма|Нордстрёма (1913)]] вошла в историю как первая внутренне непротиворечивая релятивистская полевая теория гравитации. Из вариационного принципа (отметим, что используются обозначения Пайса (1989), а не Нордстрёма):
: <math>\delta\int\psi ds=0\, ,</math>
: <math>ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\, ,</math>
где <math>\psi</math> — скалярное поле, в этой теории следовали
следующие [[уравнения движения]]
: <math>-{\partial T^{\mu\nu}\over\partial x^\nu} = T{1\over\psi}{\partial\psi\over\partial x_\mu}\, .</math>

Эта теория была лоренц-инвариантной, содержала законы сохранения, корректно воспроизводила ньютоновский предел и удовлетворяла [[Принцип эквивалентности|слабому принципу эквивалентности]].

=== Абрагам ([[1914 год|1914]]) ===
Примерно в это же время [[Макс Абрагам|Абрагам]] развивал альтернативную модель, в которой скорость света зависела от гравитационного потенциала. Обзор Абрагама ([[1914]]) различных гравитационных моделей известен как один из лучших в своей области, однако его собственная модель не выдержала критики.

=== Эйнштейн и Фоккер ([[1914 год|1914]]) ===
Эта теория была первой попыткой сформулировать явно общековариантную теорию гравитации. Записав
: <math>\delta\int\psi ds=0\, ,</math>
: <math>ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\, ,</math>
: <math>g_{\mu\nu}=\psi^2\eta_{\mu\nu}\, ,</math>
Эйнштейн и Фоккер показали тождественность построения Эйнштейна-Гроссмана (1913) и Нордстрёма (1913). Дополнительное уравнение гравитационного поля было постулировано в следующей форме:
: <math>T\,\propto\,R,</math>
то есть [[след тензора|след]] [[тензор энергии-импульса|тензора энергии-импульса]] пропорционален [[скалярная кривизна|скалярной кривизне]] пространства-времени.

=== [[Общая теория относительности]] ===
Теория Эйнштейна, содержащаяся в двух работах 1916 и 1917 года, — это то, что называется сейчас общей теорией относительности. Полностью отказавшись от метрики Минковского, Эйнштейн получил:
: <math>\delta\int\psi ds=0\, ,</math>
: <math>ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\, ,</math>
: <math>R_{\mu\nu}=8\pi G(T_{\mu\nu}-g_{\mu\nu}T/2)\, ,</math>
что может быть также записано как
: <math>T^{\mu\nu}={1\over 8\pi G}(R^{\mu\nu}-g^{\mu\nu}R/2)\, .</math>

Пятью днями ранее Эйнштейна [[Гильберт, Давид|Гильберт]] отослал в печать работу «Основания физики», содержащую по существу те же уравнения, но выведенные из вариационного принципа применительно к [[теория Ми|электродинамике Ми]]. Вопросам приоритета посвящена часть отдельной статьи «[[Вопросы приоритета в теории относительности]]». Гильберт первым записал правильное [[действие Эйнштейна-Гильберта]] для ОТО:
: <math>S={1\over 16\pi G}\int R \sqrt{-g}d^4 x+S_m\,,</math>
где <math>G</math> — [[гравитационная постоянная Ньютона]], <math>R=R_\mu^\mu</math> — [[скалярная кривизна]] (скаляр Риччи) пространства-времени, <math>g=|g_{\mu\nu}|</math> — определитель матрицы компонентов [[метрический тензор|метрического тензора]], а <math>S_m</math> — действие негравитационных полей (массивных частиц, электромагнитного поля и так далее).

ОТО является тензорной теорией, так как все её уравнения содержат только [[тензор]]ные величины. Теории Нордстёма, с другой стороны, являются скалярными, так как гравитационное поле в них является [[скаляр]]ом. Далее будут рассмотрены также скалярно-тензорные теории, которые содержат дополнительно к тензорам ОТО также скалярные величины (одну или несколько), а также другие распространённые в настоящее время варианты, содержащие [[Вектор (математика)|векторные]] поля.

== Теории с 1917 до 1980-х гг ==
Основные источники: Уилл (1986)<ref name=Will>Существует также более позднее английское издание Уилл (1993).</ref>, Уилл (2006). См. также Ни (1972), Тредер (1973), Ланг (2002), Турышев (2007).

Эта часть включает в себя обзор альтернатив ОТО, разработанных после неё, но до обнаружения особенностей дифференциального вращения галактик, приведшего к гипотезе существования [[тёмная материя|тёмной материи]].

Они включают в себя теории (перечисление в хронологическом порядке, гиперссылки ведут в соответствующие части настоящей статьи):

Уайтхеда [[#Квазилинейные теории|(1922)]], Картана [[#Неметрические теории|(1922, 1923)]], Фирца и Паули (1939), [[Биркхоф, Джордж Дэвид|Биркгофа]] (Birkhov) [[#Теории, не проходящие теста на основания|(1943)]], Милна (1948), Тири (Thiry) (1948), [[Папапетру, Ахиллес|Папапетру]] [[#Скалярные теории|(1954a, 1954b)]], Литтлвуда [[#Скалярные теории|(1953)]], Йордана (1955), Бергмана [[#Скалярные теории|(1956)]], Белинфанте и Цвайгарта [[#Биметрические теории|(1957)]], Йилмаза (Yilmaz) (1958, 1973), Бранса и Дикке [[#Скалярно-тензорные теории|(1961)]], Уитроу и Мордука (Whitrow & Morduch) [[#Скалярные теории|(1960, 1965)]], Кустаанхеймо (1966), Кустаанхеймо и Нуотио (1967), Дезера и Лорена [[#Квазилинейные теории|(1968)]], Пэйджа и Таппера [[#Скалярные теории|(1968)]], Бергмана [[#Скалярно-тензорные теории|(1968)]], Боллини-Джамбини-Тиомно (Bollini-Giambini-Tiomno) [[#Квазилинейные теории|(1970)]], Нордведта (1970), Вагонера [[#Скалярно-тензорные теории|(1970)]], Розена ([[#Скалярные теории|1971]], [[#Биметрические теории|1975, 1975]]), Ни ([[#Скалярные теории|1972]], 1973), Уилла и Нордведта [[#Векторно-тензорные теории|(1972)]], Хеллингса и Нордведта [[#Векторно-тензорные теории|(1973)]], Лайтмана и Ли [[#Скалярные теории|(1973)]], Ли-Лайтмана-Ни (1974), Бекенштейна [[#Скалярно-тензорные теории|(1977)]], Баркера [[#Скалярно-тензорные теории|(1978)]], Рэстолла [[#Биметрические теории|(1979)]].

Эти теории в основном не включают в себя [[космологическая константа|космологической константы]], добавление [[#Космологическая константа и Квинтэссенция|её или квинтэссенции]] рассматривается в разделе новейших теорий (см. также [[действие Эйнштейна-Гильберта]]). Также они не включают, если не оговорено специально, дополнительных скалярных или векторных потенциалов, по той простой причине, что эти потенциалы и космологическая постоянная не рассматривались как необходимые до открытия [[Ускорение расширения Вселенной|ускорения расширения Вселенной]] путём наблюдений за дальними [[Сверхновые звёзды|сверхновыми]].

=== Классификация теорий гравитации ===
Теории гравитации могут быть с известной долей приближения разделены на несколько категорий. Большинство теорий обладают:
* '[[Действие (физическая величина)|действием]]' (см. [[принцип наименьшего действия]] — [[вариационный принцип]], основанный на концепции действия);
* [[Лагранжева плотность|лагранжевой плотностью]];
* [[метрический тензор|метрикой]].

Если теория обладает лагранжевой плотностью, например, <math>L\,,</math> то действие <math>S</math> является интегралом от неё по пространству-времени
: <math>S\,\propto\,\int \sqrt{-g}L d^4 x \, .</math>
В этом уравнении обычно, хотя и не обязательно, переходят к координатам, в которых <math>g=-1\,.</math>

Почти все состоятельные теории гравитации обладают [[Действие (физическая величина)|действием]]. Это единственный известный способ автоматически обеспечить включение в теорию [[законы сохранения|законов сохранения]] [[энергия|энергии]], [[импульс (физика)|импульса]] и [[момент импульса|момента импульса]] (хотя можно легко сконструировать такое действие, которое будет нарушать законы сохранения). Оригинальная версия [[Модифицированная ньютоновская динамика|модифицированной ньютоновской динамики (МОНД)]] 1983 года не имела действия.

Несколько теорий обладают действием, но не имеют лагранжевой плотности. Хорошим примером является теория Уайтхеда (1922), действие которой является нелокальным.

Теория гравитации является '''''метрической теорией''''' только в том случае, если она допускает математическое выражение в виде, удовлетворяющем следующим двум положениям:
* Условие 1. Существует [[метрический тензор]] <math>g_{\mu\nu}</math> [[Сигнатура метрики|сигнатуры]] <math>(-,+,+,+)</math> (или, что несущественно <math>(+,-,-,-)</math>), который выражает измерения собственного времени и собственной длины обычным для теории относительности способом:
: <math>ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\, .</math>
* Условие 2. Материя и поля, подвергающиеся действию гравитационного поля, движутся в соответствии с уравнением
: <math>\nabla\cdot T=0\,,</math>
где <math>T</math> — [[тензор энергии-импульса]] всей материи и негравитационных полей, а <math>\nabla</math> — [[ковариантная производная]], соответствующая метрике.

Любая теория гравитации с несимметричной метрикой <math>g_{\mu\nu}\ne g_{\nu\mu}</math> — явно не метрическая теория, но любая метрическая теория может быть переформулирована так, чтобы условия 1 и 2 нарушались в новой формулировке.

Метрические теории включают в себя (от простых к сложным):
* [[#Скалярные теории|Скалярные теории]] (среди них конформно-плоские теории и стратифицированные теории с конформно-полоскими пространственными сечениями)
** Нордстрёма, Эйнштейна-Фоккера, Whitrow-Morduch, Литтлвуда, Бергмана, Пэйджа-Таппера, Эйнштейна (1912), Розена (1971), Папапетру, Ни, Yilmaz, [Кольмана], Ли-Лайтмана-Ни;
* [[#Биметрические теории|Биметрические теории]]
** Розена (1975), Рэстолла, Лайтмана-Ли;
* [[#Квазилинейные теории|Квазилинейные теории]] (среди них линейные теории с фиксированной калибровкой)
** Уайтхеда, Дезера-Лорена, Боллини-Джамбини-Тиомно (Bollini-Giambini-Tiomno);
* [[#Тензорные теории|Тензорные теории]]
** Эйнштейна (1915) — ОТО;
* [[#Скалярно-тензорные теории|Скалярно-тензорные теории]]
** Тири (Thiry), Йордана, Бранса-Дикке, Бергмана, Вагонера, Нордведта, Бекенштейна;
* [[#Векторно-тензорные теории|Векторно-тензорные теории]]
** Уилла-Нордведта, Хеллингса-Нордведта;
* [[#Другие метрические теории|Другие метрические теории]]
(см. также часть [[#Современные теории: с 1980-х гг. до настоящего времени|Современные теории]])

[[#Неметрические теории|Неметрические теории]] включают теорию Картана, Белинфанте-Цвайгарта и некоторые другие.

Здесь необходимо сказать несколько слов о [[Принцип Маха|принципе Маха]], так как многие из этих теорий опираются или мотивированы им, например, теория Эйнштейна-Гроссмана (1913), Уайтхеда (1922), Бранса-Дикке (1961). О принципе Маха можно думать как о промежуточном этапе между ньютоновскими и эйнштейновскими идеями<ref name=Mach>Приведённая формулировка принципа не полностью соответствует оригинальным утверждениям Маха, см. подробнее статью [[Принцип Маха]]</ref>:

* Ньютон: Выделенная система отсчёта связана с абсолютным пространством и временем.
* Мах: Выделенная система отсчёта связана с распределением материи во Вселенной.
* Эйнштейн: Не существует выделенной системы отсчёта.

До настоящего времени все попытки обнаружить экспериментальные следствия принципа Маха не были успешными, но полностью он отклонён быть не может.

=== Скалярные теории ===
{{main|Скалярные теории гравитации}}

Многие теории, в частности Литтлвуда (1953), Бергмана (1956), Yilmaz (1958), Уитроу и Мордука (Whitrow and Morduch) (1960, 1965) и Пэйджа-Таппера (1968), могут быть выведены единообразно способом, данным Пэйджем и Таппером.

Согласно Пэйджу и Тапперу (1968), рассмотревшим все упомянутые в предыдущем параграфе теории, кроме теории Нордстрёма (1913), общая скалярная теория гравитации имеет уравнения движения точечных масс, выводимые из принципа наименьшего действия следующего вида:
: <math>\delta\int f(\varphi/c^2)ds=0\, ,</math>
где скалярное поле для статического точечного источника будет
: <math>\varphi=GM/r\, ,</math>
а <math>c</math> может зависеть или не зависеть от <math>\varphi\,.</math> Функции <math> f(\varphi/c^2)</math> имеют следующий вид:
* у Нордстрёма (1912)
: <math>f(\varphi/c^2)=\exp(-\varphi/c^2)\, ,\qquad c=c_\infty\, ;</math>
* у Литтлвуда (1953) и Бергмана (1956)
: <math>f(\varphi/c^2)=\exp(-\varphi/c^2-(\varphi/c^2)^2/2)\, ,\qquad c=c_\infty\, ;</math>
* у Уитроу и Мордука (Whitrow and Morduch) (1960)
: <math>f(\varphi/c^2)=1\, ,\qquad c^2=c_\infty^2-2\varphi\, ;</math>
* у Уитроу и Мордука (Whitrow and Morduch) (1965)
: <math>f(\varphi/c^2)=\exp(-\varphi/c^2)\, ,\qquad c^2=c_\infty^2-2\varphi\, ;</math>
* у Пэйджа и Таппера (1968)
: <math>f(\varphi/c^2)=\varphi/c^2+\alpha(\varphi/c^2)^2\, ,\qquad c_\infty^2/c^2=1+4(\varphi/c_\infty^2)+(15+2\alpha)(\varphi/c_\infty^2)^2\, .</math>

Также Пэйдж и Таппер (1968) добились согласия с теорией Yilmaz (1958) вплоть до второго порядка (см. также [[Теория гравитации Yilmaz]]) при <math>\alpha=-7/2\,.</math>

[[Гравитационное отклонение света]] в скалярных теориях должно быть равно нулю, если только скорость света является постоянной величиной. Так как переменность скорости света и нулевое его отклонение противоречат экспериментальным данным, перспектива появления жизнеспособной скалярной теории гравитации выглядит весьма мрачно. Более того, если параметры скалярной теории подогнать так, чтобы получить правильное отклонение света, чаще всего будет неверным [[гравитационное красное смещение]].

Ни (1972) рассмотрел некоторые из скалярных теорий и выдвинул ещё две. В первой априорное пространство-время Минковского и универсальная временная координата совместно с обычной материей и негравитационными полями создаёт скалярное поле. Это скалярное поле действует вместе со всеми остальными как источник для метрики.

Соответствующее действие (Мизнер-Торн-Уилер (1973) дают его без члена <math>\varphi R</math>):
: <math>S={1\over 16\pi G}\int d^4 x \sqrt{-g}L_\varphi+S_m\, ,</math>
: <math>L_\varphi=\varphi R-2g^{\mu\nu}\partial_\mu\varphi\partial_\nu\phi\, ,</math>
где <math>S_m</math> — действие материи.
Уравнение на скалярное поле:
: <math>\Box\varphi =4\pi T^{\mu\nu}[\eta_{\mu\nu}e^{-2\varphi }+(e^{2\varphi }+e^{-2\varphi })\partial_\mu t\partial_\nu t]\, ,</math>
где <math>t</math> — универсальная временная координата. Эта теория самосогласованна и полна, но движение Солнечной системы как целого относительно среднего распределения массы во Вселенной приводит к существенному различию её предсказаний с экспериментальными данными.

Во второй теории Ни (1972) есть две произвольные функции <math>f(\varphi )</math> и <math>k(\varphi)\,,</math> которые определяют метрику:
: <math>ds^2=e^{-2f(\varphi)}dt^2-e^{2f(\varphi)}[dx^2+dy^2+dz^2]\, ,</math>
: <math>\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\varphi =4\pi\rho^*k(\varphi )\, .</math>

Ни (1972) упоминает теорию Розена (1971) как теорию, сводящуюся к двум скалярным полям <math>\varphi</math> и <math>\psi</math>, которые определяют метрику так:
: <math>ds^2=\varphi^2dt^2-\psi^2[dx^2+dy^2+dz^2]\, .</math>

В теории Папапетру (1954a) гравитационная часть лагранжиана имеет вид:
: <math>L_\varphi=e^\varphi(\textstyle\frac{1}{2}e^{-\varphi}\partial_\alpha\varphi \partial_\alpha\varphi +\textstyle\frac{3}{2}e^{\varphi}\partial_0\varphi\partial_0\varphi)\, .</math>

Позже Папапетру (1954b) вводит второе скалярное поле <math>\chi</math>. Тогда гравитационный лагранжиан будет:
: <math>L_\varphi=e^{(3\varphi+\chi)/2}(-\textstyle\frac{1}{2}e^{-\varphi} \partial_\alpha\varphi\partial_\alpha\varphi -e^{-\varphi} \partial_\alpha\varphi \partial_\chi\varphi +\textstyle\frac{3}{2}e^{-\chi}\partial_0\varphi\partial_0\varphi)\, .</math>

=== Биметрические теории ===
Биметрические теории содержат обычный [[метрический тензор]] и [[метрика Минковского|метрику Минковского]] (или метрику постоянной кривизны, или другую «фоновую» метрику), а также могут включать в себя другие скалярные и векторные поля.

Действие в биметрической теории Розена (1973, 1975) имеет вид:
: <math>S={1\over 64\pi G}\int d^4 x\sqrt{-\eta}\eta^{\mu\nu} g^{\alpha\beta}g^{\gamma\delta}(g_{\alpha\gamma |\mu}g_{\alpha\delta |\nu} -\textstyle\frac{1}{2}g_{\alpha\beta |\mu} g_{\gamma\delta
|\nu})+S_m\, ,</math>
где вертикальная линия "|" обозначает [[ковариантная производная|ковариантную производную]], согласованную с метрикой <math>\eta\,.</math> Полевые уравнения можно записать в виде:
: <math>\Box_\eta g_{\mu\nu}- g^{\alpha\beta} \eta^{\gamma\delta} g_{\mu\alpha |\gamma}g_{\nu\beta |\delta}=-16\pi G\sqrt{g/\eta} (T_{\mu\nu} - \textstyle\frac{1}{2}g_{\mu\nu} T)\, .</math>

Лайтман и Ли (1973) разработали метрическую теорию на основе неметрической теории Белинфанте и Цвайгарта (1957a, 1957b) — она известна как теория БЦЛЛ (англ. BSLL theory). В ней вводится тензорное поле <math>B_{\mu\nu}</math> <math>(B=B_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu})</math>
и две постоянные <math>a</math> и <math>f\,,</math> так что действие имеет вид:
: <math>S={1\over 16\pi G}\int d^4 x\sqrt{-\eta}(aB^{\mu\nu|\alpha}B_{\mu\nu|\alpha}+fB_{,\alpha}B^{,\alpha})+S_m\, ,</math>
а тензор энергии-импульса выводится из следующего уравнения:
: <math>a\Box_\eta B^{\mu\nu}+f\eta^{\mu\nu}\Box_\eta B=-4\pi
G\sqrt{g/\eta}T^{\alpha\beta} (\partial g_{\alpha\beta}/\partial
B_\mu\nu)\, .</math>

У Рэстолла (1979) метрика является алгебраической функцией метрики Минковского и векторного поля<ref name=autogenerated1>Уилл (1986) перечисляет эту теорию в числе биметрических, хотя её можно отнести и к векторным теориям.</ref>. При этом действие:
: <math>S={1\over 16\pi G}\int d^4 x \sqrt{-g} F(N)K^{\mu;\nu} K_{\mu;\nu} + S_m,</math>
где <math>F(N)=-N/(2+N)\;</math> и <math>N=g^{\mu\nu}K_\mu K_\nu\;</math> (в книге Уилла (1986) приведены уравнения поля для <math>T^{\mu\nu}\;</math> и <math>K_\mu\;</math>).

К биметрическим теориям по формальным признакам можно отнести теорию гравитационных возмущений пространства-времени — ОТО, линеаризованную над произвольным фоновым пространством-временем, а также [[Релятивистская теория гравитации|РТГ]] Логунова с сотрудниками.

=== Квазилинейные теории ===
В [[Теория гравитации Уайтхеда|теории Уайтхеда]] (1922) физическая метрика <math>g\;</math> алгебраически конструируется из метрики Минковского <math>\eta\;</math> и материальных полей, так что буферные поля отсутствуют:
: <math>g_{\mu\nu}(x^\alpha)=\eta_{\mu\nu}-2\int_{\Sigma^-}{y_\mu^-
y_\nu^-\over(w^-)^3} [\sqrt{-g}\rho u^\alpha d\Sigma_\alpha]^-,</math>
где верхний индекс (−) указывает величины, рассчитываемые вдоль [[световой конус|светового конуса]] прошлого точки <math>x^\alpha\;</math> относительно метрики <math>\eta\;,</math> а
: <math>(y^\mu)^-=x^\mu-(x^\mu)^-\;,</math>
: <math>(y^\mu)^-(y_\mu)^-=0\;,</math>
: <math>w^-=(y^\mu)^-(u_\mu)^-\;,</math>
: <math>(u_\mu)=dx^\mu/d\sigma\;,</math>
: <math>d\sigma^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\; .</math>

Теории Дезера и Лорена (1968) и Боллини-Джамбини-Тиомно (1970) являются теориями линейной фиксированной калибровки. Взяв за образец квантовую теорию поля и сочетая пространство-время Минковского с калибровочно-инвариантным действием тензорного поля спина 2 (то есть [[гравитон]]ным полем) <math>h_{\mu\nu}\;</math>, эти авторы положили
: <math>g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}\; .</math>
Их действие:
: <math>S={1\over 16\pi G} \int d^4 x\sqrt{-\eta}[2h_{|\nu}^{\mu\nu}h_{\mu\lambda}^{|\lambda} -2h_{|\nu}^{\mu\nu}h_{\lambda|\mu}^{\lambda}+h_{\nu|\mu}^\nu h_\lambda^{\lambda|\mu} -h^{\mu\nu|\lambda}h_{\mu\nu|\lambda}]+S_m\; .</math>

Однако [[тождества Бианки]], соответствующие этой частичной калибровочной инвариантности, оказываются неверными. Предложенные теории пытаются выйти из этого противоречия, постулируя нарушение симметрии гравитационного действия путём введения вспомогательных гравитационных полей, взаимодействующих с <math>h_{\mu\nu}\;</math>.

=== Скалярно-тензорные теории ===
: См. также [[Скалярно-тензорные теории гравитации]] и [[Теория Бранса — Дикке]]

Эти теории содержат как минимум один свободный параметр, в отличие от ОТО, где свободных параметров нет ([[космологический член]] в настоящее время не может считаться свободным параметром теории, так как определяется экспериментально).

Хотя 5-мерная [[теория Калуцы-Клейна]] обычно не рассматривается как скалярно-тензорная, тем не менее, после (приближённого) выделения 4-мерной метрики она сводится к таковой с единственным скалярным и единственным векторным полем. Таким образом, если компоненту метрики по 5-му измерению рассматривать как скалярное гравитационное поле, и не обращать внимания на смешанные компоненты метрики по 5-му и остальным измерениям, которые дают векторное (по мысли Калуцы электромагнитное) поле, то теорию Калуцы-Клейна можно считать предшественником скалярно-тензорных теорий гравитации, что было отмечено Тири (1948).

Скалярно-тензорные теории включают в себя: теорию Шерера (1941), Тири (1948), Йордана (1955), Бранса и Дикке (1961), Бергмана (1968), Нордведта (1970), Вагонера (1970), Бекенштейна (1977) и Баркера (1978).

Действие <math>S\;</math> в этих теориях является интегралом от лагранжевой плотности <math>L_\varphi\;:</math>
: <math>S={1\over 16\pi G}\int d^4 x\sqrt{-g}L_\varphi+S_m\; ,</math>
: <math>L_\varphi=\varphi R - {\omega(\varphi)\over\varphi} g^{\mu\nu}\partial_\mu\varphi\partial_\nu\varphi+2\varphi\lambda(\varphi)\; ,</math>
: <math>S_m=\int d^4 x\sqrt{g}G_N L_m\; ,</math>
и по определению
: <math>T^{\mu\nu}={2\over\sqrt{g}}{\delta S_m\over\delta g_{\mu\nu}}\; ,</math>
где <math>\omega(\varphi)\;</math> — некоторая безразмерная функция, различная в различных теориях, функция <math>\lambda(\varphi)\;</math> играет роль космологической постоянной ОТО, <math>G_N\;</math> — безразмерная постоянная нормировки, фиксирующая значение [[гравитационная постоянная|гравитационной постоянной]] <math>G\;</math> в настоящую эпоху. К скалярному полю может быть добавлен произвольный потенциал.

Такое действие без ограничений применялось в теориях Бергмана (1968) и Вагонера (1970). Частные случаи включают в себя теории:
* Нордведта (1970) — <math>\lambda=0\; ;</math> (Далее в этом разделе мы опускаем <math>\lambda</math>, его введение рассматривается далее в разделе [[#Космологическая постоянная и Квинтэссенция|Космологическая постоянная и Квинтэссенция]].)
* Бранса-Дикке (1961) — <math>\omega\;</math> постоянна;
* Бекенштейна (1977) — теория переменной массы — вводя параметры <math>r\;</math> и <math>q\;,</math> получаемые из космологического решения, <math>\varphi=[1-qf(\varphi)]f(\varphi)^{-r}\;</math> определяет функцию <math>f\;,</math> так что
: <math>\omega(\varphi)=-\textstyle\frac{3}{2}-\textstyle\frac{1}{4}f(\phi)[(1-6q)qf(\phi)-1]
[r+(1-r)qf(\varphi)]^{-2}\; ;</math>
* Баркера (1978) — теория постоянного ''G'' —
: <math>\omega(\varphi)=(4-3\phi)/(2\varphi-2)\; .</math>

Изменение <math>\omega(\varphi)\;</math> позволяет скалярно-тензорным теориям в пределе <math>\omega\rightarrow\infty\;</math> в текущую эпоху воспроизводить результаты, сколь угодно близкие к ОТО. Тем не менее, различия в ранней Вселенной могут быть существенными.

До тех пор, пока предсказания ОТО подтверждаются экспериментально, общие скалярно-тензорные теории (включая теорию Бранса-Дикке) не могут быть отброшены, но по мере того, как эксперименты продолжают соответствовать предсказаниям ОТО со всё большей и большей точностью, на параметры скалярно-тензорных теорий накладываются всё бо́льшие и бо́льшие ограничения.

=== Теории Хеллингса и Нордведта ===
Теории Хеллингса и Нордведта (1973) и Уилла и Нордведта (1972) обе являются векторно-тензорными. В дополнение к метрическому тензору в них фигурирует времениподобное векторное поле <math>K_\mu\;</math>. Гравитационное действие имеет вид:
: <math>S={1\over 16\pi G}\int d^4 x\sqrt{-g}[R+\omega K_\mu K^\mu
R+\eta K^\mu K^\nu R_{\mu\nu}-\varepsilon F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\tau
K_{\mu;\nu}K^{\mu;\nu}]+S_m\; ,</math>
где <math>\omega\;</math>, <math>\eta\;</math>, <math>\varepsilon\;</math> и <math>\tau\;</math> — постоянные величины, а
: <math>F_{\mu\nu}=K_{\nu;\mu}-K_{\mu;\nu}\; .</math>
Полевые уравнения этой теории для <math>T^{\mu\nu}\;</math> и <math>K_\mu\;</math> приведены в книге Уилла (1986).

Теория Уилла и Нордветдта (1972) является частным случаем предыдущей при
: <math>\omega=\eta=\varepsilon=0\; ;\qquad \tau=1\; ,</math>
а теория Хеллингса и Нордведта (1973) — при
: <math>\tau=0\; ; \qquad\varepsilon=1\; ;\qquad \eta=-2\omega\; .</math>

Эти векторно-тензорные теории полуконсервативны, то есть в них есть законы сохранения импульса и момента импульса, но также могут присутствовать эффекты привилегированной системы отсчёта. Когда
<math>\omega=\eta=\varepsilon=0\;</math>, эти теории сводятся к ОТО, так что, аналогично скалярно-тензорным теориям, векторно-тензорные теории также не могут быть опровергнуты никаким экспериментом, подтверждающим ОТО.

=== Неметрические теории ===
(см. также [[Теория Эйнштейна — Картана]] и [[связность Картана]])

Теория Картана особенно интересна как потому, что она неметрическая, так и потому, что она очень старая. Состояние теории Картана неясно. Уилл (1986) утверждает, что все неметрические теории противоречат Эйнштейновскому принципу эквивалентности (ЭПЭ), и поэтому должны быть отброшены. В одной из последующих работ Уилл (2001) смягчает это утверждение, разъясняя экспериментальные критерии испытания неметрических теорий на удовлетворение ЭПЭ. Мизнер, Торн и Уилер (1973) утверждают, что теория Картана является единственной неметрической теорией, проходящей все экспериментальные проверки, а Турышев (2007) приводит эту теорию в списке удовлетворяющих всем текущим экспериментальным ограничениям. Далее приведён краткий обзор теории Картана, следующий изложению Траутмана (1972).

Картан (1922, 1923) предложил простое обобщение теории гравитации Эйнштейна, введя модель пространства-времени с метрическим тензором и [[Связность (дифференциальная геометрия)|линейной связностью]], ассоциированной с метрикой, но не обязательно симметричной. Антисимметричная часть связности — тензор кручения — связывается в этой теории с плотностью внутреннего момента импульса ([[спин]]а) материи. Независимо от Картана, похожие идеи развивали [[Сиама, Деннис Уильям|Сиама]], [[Киббл, Томас|Киббл]] и Хейл в промежутке от 1958 до 1966 года.

Исходно теория была развита в формализме [[дифференциальные формы|дифференциальных форм]], но здесь она будет изложена на тензорном языке. Лагранжева плотность гравитации в этой теории формально совпадает с таковой ОТО и равняется скаляру кривизны:
: <math>L={1\over 16\pi G}R(\Gamma,g)\; ,</math>
однако введение кручения модифицирует связность, которая теперь не равняется символам Кристоффеля, а равна их сумме с тензором конторсии
: <math>\Gamma_{\nu\lambda}^\mu=\left\{{^{\ \mu\ }_{\;\nu\lambda\;}}
\right\}+K_{\nu\lambda}^\mu\; ,</math>
: <math>K_{\mu\nu\lambda}=Q_{\mu\nu\lambda}+Q_{\lambda\nu\mu} + Q_{\nu\lambda\mu},\qquad Q_{\mu\nu\lambda}=\frac12 (\Gamma_{\mu\nu\lambda}-\Gamma_{\mu\lambda\nu})\; ,</math>
где <math>Q_{\mu\nu\lambda}\;</math> — антисимметричная часть линейной связности — кручение. Предполагается, что линейная связность является [[Метрическая связность|метрической]], что снижает количество степеней свободы, присущих неметрическим теориям. Уравнения движения этой теории включают 10 уравнений для тензора энергии-импульса, 24 уравнения для канонического тензора спина и уравнения движения материальных негравитационных полей:
: <math>R_{\mu\nu}-\frac12 g_{\mu\nu}R + 4 {B^{[\alpha}}_{\beta\mu} {B^{\beta]}}_{\alpha\nu} + 2B_{\beta\alpha\mu}{B_\nu}^{\beta\alpha} - B_{\mu\beta\alpha}{B_\nu}^{\beta\alpha} -</math>
:: <math>- \frac12g_{\mu\nu} (4 {{B_{\alpha}}^{\beta}}_{[\lambda} {B^{\alpha\lambda}}_{\beta]} + B_{\alpha\beta\gamma}B^{\alpha\beta\gamma})=\kappa T_{\mu\nu}\; ,</math>
: <math>{Q^\lambda}_{\mu\nu} + {\delta_\mu}^\lambda Q_\nu - {\delta_\nu}^\lambda Q_\mu = \kappa {s^\lambda}_{\mu\nu}\; ,</math>
: <math>\frac{\partial L}{\partial \phi_A} + (\nabla_\lambda-2Q_\lambda) \frac{\partial L}{\partial \nabla_\lambda\phi_A}=0\; ,</math>
где <math>T_{\mu\nu}=\frac\delta{\delta g^{\mu\nu}}(\sqrt{-g}L_m)\;</math> — метрический тензор энергии-импульса материи, <math>s^\lambda_{\mu\nu}=\frac{\delta L_m}{\delta Q^{\mu\nu}_\lambda}\;</math> — канонический тензор спина, <math>{B^\lambda}_{\mu\nu}={Q^\lambda}_{\mu\nu} + {\delta_\mu}^\lambda Q_\nu - {\delta_\nu}^\lambda Q_\mu\;</math>, а <math>Q_\mu={Q^\lambda}_{\mu\lambda}\;</math> — след тензора кручения (см. [[Иваненко, Дмитрий Дмитриевич|Иваненко]], Пронин, [[Сарданашвили, Геннадий Александрович|Сарданашвили]], ''Калибровочная теория гравитации'' (1985)).

Кривизна пространства-времени при этом — не риманова, но на римановом пространстве-времени лагранжиан сводится к лагранжиану ОТО. Эффекты неметричности в данной теории являются настолько малыми, что ими можно пренебречь даже в [[Нейтронная звезда|нейтронных звёздах]]<!-- Ссылка! -->. Единственной областью сильных расхождений оказывается, возможно, очень ранняя Вселенная. Привлекательной чертой этой теории (и её модификаций) является возможность получения несингулярных решений типа «отскока» для [[Большой Взрыв|Большого Взрыва]] (см. Минкевич и соавт. (1980)).

Некоторые уравнения неметрической теории Белинфанте и Цвайгарта (1957a, 1957b) уже обсуждались в разделе о [[#Биметрические теории|биметрических теориях]].

== Проверка альтернативных теорий гравитации ==
{{Main|Предсказания общей теории относительности}}

Развитие теорий и их проверка развивались рука об руку весь XX век и далее. Большинство проверок могут быть отнесены к следующим классам (см. Уилл (2001)):
* Простейшие основания.
* Эйнштейновский принцип эквивалентности (ЭПЭ).
* Параметризованный пост-ньютоновский формализм (ППН).
* Сильные гравитационные поля.
* [[Гравитационные волны]].

=== Теории, не проходящие проверку на основания ===
Для деталей см. Мизнер, Торн и Уилер (1973), Гл. 39 и Уилл (1986), Таблица 2.1.

Не все теории гравитации созданы одинаковыми. Лишь немногие среди большого их количества, существующего в литературе, достаточно жизнеспособны для того, чтобы сравнивать их с ОТО.

В начале 1970-х годов группа учёных из [[Калифорнийский технологический институт|Калифорнийского технологического института]], включавшая Торна, Уилла и Ни (см. Ни (1972)), составила список теорий гравитации [[XX век]]а. По каждой теории они задались следующими вопросами:
* (i) является ли теория самосогласованной?
* (ii) является ли она полной?
* (iii) согласуется ли она, в пределах нескольких стандартных отклонений, со всеми проведёнными к настоящему времени экспериментами?

Если теория не проходила по этим критериям, её не спешили отбрасывать сразу. Если теория была неполна в своих основах, группа пыталась дополнить её с помощью малых изменений, обычно сводя теорию в отсутствие гравитации к специальной теории относительности. Например, для семи различных теорий плотность материи, порождающей гравитацию, рассчитывали и как <math>\rho^*=T_{\mu\nu}u^\mu u^\nu\; ,</math> и как [[След (линейная алгебра)|след]] тензора <math>T\;.</math> В другом случае, при рассмотрении теорий Тири (1948) и Йордана (1955), их сделали полными, придав параметру <math>\eta\;</math> значение 1, когда они сводятся к теории Бранса-Дикке (1961) и достойны дальнейшего рассмотрения.

В этом разделе критерий «согласование со всеми экспериментами, проведёнными к настоящему времени», заменён критерием «согласования с большинством следствий ньютоновской механики и специальной теории относительности». Более тонкие моменты будут рассмотрены позже.

Самосогласованность неметрических теорий включает требование отсутствия [[тахион]]ов, призрачных полюсов, полюсов высшего порядка и проблем в поведении полей на бесконечности.

Самосогласованность метрических теорий проще всего проиллюстрировать описанием нескольких теорий, не обладающих этим свойством. Классическим примером является теория поля спина 2 (теория Фирца и Паули (1939)), в которой уравнения поля подразумевают, что гравитирующие тела движутся по прямым линиям, в то время как уравнения движения заставляют тела отклоняться от прямолинейных траекторий. Теория Йилмаза (Yilmaz, 1971, 1973) содержит тензорное гравитационное поле, используемое для определения метрического тензора; но эта теория математически несостоятельна, так как функциональная зависимость метрики от тензорного поля не является хорошо определённой.

Для того чтобы теория гравитации была полной, она должна быть способна описать результаты любого мыслимого эксперимента. То есть, она должна включать в себя [[электромагнетизм]] и все остальные теории, подтверждённые экспериментом. Например, любая теория, которая не может из первых принципов предсказать движение планет или поведение атомных часов, является неполной. Теория Милна (1948) неполна, так как она не включает в себя описания гравитационного красного смещения.

Теории Уитроу и Мордука (Whitrow and Morduch) (1960, 1965), Кустаанхеймо (1966) и Кустаанхеймо и Нуотио (1967) либо неполны, либо несамосогласованны. Введение уравнений Максвелла в теорию будет неполным, если они описывают эволюцию поля на фоновом плоском пространстве-времени, и несамосогласованным, так как эти теории предсказывают нулевое [[гравитационное красное смещение]] для волновой теории света ([[уравнения Максвелла]]) и ненулевое смещение для корпускулярной теории ([[фотон]]ов). Другой, более очевидный пример — ньютоновская гравитация в сочетании с уравнениями Максвелла: при этом свет как фотоны отклоняется гравитационным полем (хотя и вдвое слабее, чем в ОТО), а световые волны — нет.

Как пример несогласованности с ньютоновской физикой можно привести теорию Биркгофа (1943), предсказывающую релятивистские эффекты довольно неплохо, но требующую, чтобы звуковые волны в веществе распространялись со скоростью света, что полностью расходится с экспериментом.

Современным примером отсутствия релятивистской компоненты является МОНД Милгрома, который будет рассмотрен далее{{переход|#Релятивистская МОНД (МОдифицированная Ньютоновская Динамика)|blue}}.

=== Эйнштейновский принцип эквивалентности (ЭПЭ) ===
{{Main|Принцип эквивалентности}}

ЭПЭ имеет три компоненты.

Первая компонента ЭПЭ — универсальность «[[свободное падение|свободного падения]]», известная как [[слабый принцип эквивалентности]] (СПЭ). Эта универсальность равносильна эквивалентности (правильнее — строгой пропорциональности) гравитационной и инерциальной массы. Параметр <math>\eta\;</math> используется как мера максимально допустимого нарушения СПЭ. Первые опыты были проведены ещё [[Галилей|Галилеем]], который обнаружил универсальность свободного падения для тел разной массы, и [[Ньютон, Исаак|Ньютоном]], который ограничил <math>\eta\;</math> для дерева и железа величиной 10<sup>−3</sup>. Наиболее известны эксперименты [[Этвёш, Лоранд фон|Этвёша]] 1890—1900-х гг., давшие <math>\eta\leq 5\cdot10^{-9}\;,</math> современный предел — <math>\eta\leq 5\cdot10^{-13}\;.</math>

Вторая — [[локальная лоренц-инвариантность]] (ЛЛИ). В отсутствие гравитационных эффектов скорость света должна являться постоянной величиной. Нарушения этого положения измеряются параметром <math>\delta\;.</math> Первые специальные эксперименты, интерпретируемые ныне как проверки ЛЛИ, — поиски «[[эфирный ветер|эфирного ветра]]», были проведены Майкельсоном и Морли в 1880-х гг. и ограничили <math>\delta\;</math> величиной <math>5\cdot10^{-3}\;</math> (см. [[Эксперимент Майкельсона-Морли]]). В настоящее время <math>\delta\leq 10^{-21}\;.</math>

Третья компонента — локальная пространственно-временная инвариантность (ЛПВИ), включающая в себя пространственную и временную инвариантность.

[[Гипотеза Шиффа]] ({{lang-en|Schiff’s conjecture}}) утверждает, что любая полная самосогласованная теория гравитации, включающая в себя слабый принцип эквивалентности (СПЭ), обязательно включает также и ЭПЭ. Эта гипотеза выглядит правдоподобной по крайней мере для теорий, в которых выполняется [[закон сохранения энергии]] (с другой стороны, существуют и экзотические контрпримеры к ней).

Наиболее известным рабочим инструментом для описания отклонений от ЭПЭ является так называемый <math>TH\varepsilon\mu\;</math>-<wbr />формализм, разработанный Лайтманом и Ли в 1973 году. При этом рассматривается влияние гравитационного поля на максимальную скорость частиц и на скорость распространения электромагнитного взаимодействия. Точнее, он ограничивается рассмотрением электромагнитного взаимодействия заряженных бесструктурных пробных частиц в статическом сферически-симметричном гравитационном поле. Несмотря на ограниченность этого формализма, он обладает достаточной точностью, чтобы, например, отклонить неметрическую теорию Белинфанте и Цвайгарта (1957) как не соответствующую экспериментальным данным.

Теории гравитации, как уже упоминалось, могут быть метрическими и неметрическими. В метрических теориях траектории свободно падающих точечных тел являются [[геодезическая линия|геодезическими]] пространственно-временной метрики, так что эти теории удовлетворяют ЭПЭ. В свою очередь, все без исключения известные неметрические теории допускают нарушения ЭПЭ, хотя в некоторых теориях (например, [[Теория Эйнштейна — Картана|Эйнштейна — Картана]]) эти отклонения так малы, что не допускают непосредственной экспериментальной проверки.

=== Параметризованный постньютоновский (ППН) формализм ===
{{Main|Параметризованный постньютоновский формализм}}

См. также [[Предсказания общей теории относительности]], Мизнер, Торн, Уилер (1973) и Уилл (1986).

Работу над стандартным, а не ad-hoc формализмом для проверки альтернативных моделей гравитации начал Эддингтон в 1922 году, а закончили Уилл и Нордведт в 1972 (см. Nordtvedt & Will (1972) и Will & Nordtvedt (1972)). Этот формализм отталкивается от ньютоновой физики и описывает малые отклонения от неё, описываемые стандартным набором ППН-параметров. Так как изучаются отклонения от ньютоновской физики, то формализм применим только в слабых полях. Специальные эффекты сильных полей должны изучаться отдельно для каждой теории, что будет предметом дальнейшего рассмотрения.

10 ППН параметров включают в себя: <math>\gamma\;,</math> <math>\beta\;,</math> <math>\eta\;,</math> <math>\alpha_1\;,</math> <math>\alpha_2\;,</math> <math>\alpha_3\;,</math> <math>\zeta_1\;,</math> <math>\zeta_2\;,</math> <math>\zeta_3\;,</math> <math>\zeta_4\;:</math>

* <math>\gamma\;</math> является мерой искривления пространства гравитирующей массой, равной 0 в ньютоновской гравитации и 1 в ОТО.
* <math>\beta\;</math> является мерой нелинейности при наложении гравитационных полей, для ОТО равной 1.
* <math>\eta\;</math> описывает эффекты привилегированного положения.
* <math>\alpha_1\;,</math> <math>\alpha_2\;,</math> <math>\alpha_3\;</math> измеряют величину и природу эффектов привилегированной системы отсчёта. Все теории, в которых как минимум один из параметров <math>\alpha\;</math> не равен 0, называются теориями с привилегированной системой отсчёта.
* <math>\zeta_1\;,</math> <math>\zeta_2\;,</math> <math>\zeta_3\;,</math> <math>\zeta_4\;,</math> <math>\alpha_3\;</math> описывают отклонения от глобальных законов сохранения. В теориях гравитации, содержащих полный набор законов сохранения: 4 для энергии-импульса и 6 для момента импульса, все эти параметры должны быть равны 0.

=== Сильные поля и [[гравитационные волны]] ===
ППН параметры являются мерой эффектов слабых гравитационных полей. Сильные поля наблюдаются в компактных объектах, таких как [[белые карлики]], [[нейтронные звёзды]] и [[чёрные дыры]]. Экспериментальные возможности проверки теорий гравитации в сильных полях включают в себя описание стабильности и колебаний белых карликов и нейтронных звёзд, замедления [[пульсар]]ов, эволюцию орбит тесных двойных звёзд (и особенно [[двойные пульсары|двойных пульсаров]]) и [[Горизонт событий|горизонта]] чёрных дыр.

ОТО предсказывает определённые свойства гравитационных волн, в частности: их поперечность, два состояния [[Поляризация волн|поляризации]], скорость волн, равную скорости света, и мощность излучения от системы астрономических тел. Многие альтернативные теории гравитации, даже совпадающие с ОТО по ППН параметрам, расходятся с ней по свойствам гравитационных волн. Например, некоторые теории приводят к выводу, что скорость гравитационных волн много больше скорости света. Если это так, то [[принцип причинности]] будет нарушаться, или будет иметь место эффект выделенной инерциальной системы отсчёта в пустом пространстве, правда, трудно обнаружимый. Также отличия в свойствах гравитационных волн в таких теориях могут сказываться на величине радиационного торможения (связанного с излучением гравитационных волн) в тесных двойных системах, которое уже измерено.

=== Космологические проверки ===
Большинство космологических проверок теорий гравитации были разработаны недавно. На теории, цель которых состоит в устранении [[тёмная материя|тёмной материи]], ограничения налагают формы [[кривая вращения галактики|ротационных кривых галактик]], [[соотношение Тулли-Фишера]], более быстрое вращение карликовых галактик и наблюдения [[гравитационная линза|гравитационного линзирования]] скоплениями галактик.

Для теорий, разработанных с целью замены инфляционной стадии расширения Вселенной, прямой проверкой является величина неоднородностей в спектре [[реликтовое излучение|реликтового излучения]].

Теории, включающие в себя или замещающие стандартную [[тёмная энергия|тёмную энергию]], должны удовлетворять известным результатам по зависимости яркости сверхновых от космологического красного смещения и возрасту Вселенной.

Ещё одной проверкой может быть наблюдаемая пространственная плоскостность Вселенной. В ОТО сочетание барионной материи, тёмной материи и тёмной энергии может сделать Вселенную точно плоской. По мере уточнения этого результата налагаются ограничения на теории, замещающие тёмную материю и тёмную энергию.

== Результаты проверок ==

=== ППН параметры для различных теорий ===
(См. Уилл (1986) и Ни (1972) для деталей. Мизнер, Торн, Уилер (1977) дают таблицу перевода обозначений Ни и Уилла.)

ОТО уже более 90 лет, но пока все альтернативные ей теории одна за другой падают под натиском экспериментальных данных. Наиболее наглядно это положение иллюстрирует [[параметризованный постньютоновский формализм]] (ППН).

Следующая таблица содержит ППН параметры для многих теорий гравитации. Если значение в ячейке совпадает с названием колонки, то это обозначает, что полная формула слишком сложна для её воспроизведения здесь.

{| border="1"
|-
! !!Width="45"|<math>\gamma</math>
! Width="45"|<math>\beta</math>!!Width="45"|<math>\xi</math>
! Width="50"|<math>\alpha_1</math>!! Width="55"|<math>\alpha_2</math>
! Width="50"|<math>\alpha_3</math>!! Width="40"|<math>\zeta_1</math>
! Width="40"|<math>\zeta_2</math>!! Width="40"|<math>\zeta_3</math>
! Width="40"|<math>\zeta_4</math>
|-
|Эйнштейн (1916) — ОТО
|1||1||0||0||0||0||0||0||0||0
|-
!colspan="11"|Скалярно-тензорные теории
|-
|Bergmann (1968), Wagoner (1970)
|<math>\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega}</math>
|<math>\beta</math>||0||0||0||0||0||0||0||0
|-
|NordtVedt (1970), Bekenstein (1977)
|<math>\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega}</math>
|<math>\beta</math>||0||0||0||0||0||0||0||0
|-
|Brans-Dicke (1961)
|<math>\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega}</math>
|1||0||0||0||0||0||0||0||0
|-
!colspan="11"|Векторно-тензорные теории
|-
|Hellings-Nordtvedt (1973)
|<math>\gamma</math>||<math>\beta</math>||0||<math>\alpha_1</math>||<math>\alpha_2</math>||0||0||0||0||0
|-
|Will-Nordtvedt (1972)
|1||1||0||0||<math>\alpha_2</math>||0||0||0||0||0
|-
!colspan="11"|Биметрические теории
|-
|Rosen (1975)
|1||1||0||0||<math>c_0/c_1-1</math>||0||0||0||0||0
|-
|Rastall (1979)
|1||1||0||0||<math>\alpha_2</math>||0||0||0||0||0
|-
|Lightman-Lee (1973)
|<math>\gamma</math>||<math>\beta</math>||0||<math>\alpha_1</math>||<math>\alpha_2</math>||0||0||0||0||0
|-
!colspan="11"|Стратифицированные теории
|-
|Lee-Lightman-Ni (1974)
|<math>ac_0/c_1</math>||<math>\beta</math>||<math>\xi</math>||<math>\alpha_1</math>||<math>\alpha_2</math>||0||0||0||0||0
|-
|Ni (1973)
|<math>ac_0/c_1</math>||<math>bc_0</math>||0||<math>\alpha_1</math>||<math>\alpha_2</math>||0||0||0||0||0
|-
!colspan="11"|Скалярные теории
|-
|Эйнштейн (1912) (Не ОТО!)
|0||0|| ||−4||0||−2||0||−1||0||0†
|-
|Whitrow-Morduch (1965)
|0||−1|| ||−4||0||0||0||−3||0||0†
|-
|Rosen (1971)
|<math>\lambda</math>||<math>\textstyle\frac{3}{4}+\textstyle\frac{\lambda}{4}</math>|| ||<math>-4-4\lambda</math>||0||−4||0||−1||0||0
|-
|Papetrou (1954a, 1954b)
|1||1|| ||−8||−4||0||0||2||0||0
|-
|Ni (1972) (стратифицированная)
|1||1|| ||-8||0||0||0||2||0||0
|-
|Yilmaz (1958, 1962)
|1||1|| ||−8||0||−4||0||−2||0||−1†
|-
|Page-Tupper (1968)
|<math>\gamma</math>||<math>\beta</math>|| ||<math>-4-4\gamma</math>||0||<math>-2-2\gamma</math>||0||<math>\zeta_2</math>||0||<math>\zeta_{ 4}</math>
|-
|Nordström (1912)
|−1||<math>\textstyle\frac12</math>|| ||0||0||0||0||0||0||0†
|-
|Nordström (1913), Einstein-Fokker (1914)
|−1||<math>\textstyle\frac12</math>|| ||0||0||0||0||0||0||0
|-
|Ni (1972) (плоская)
|−1||1−''q''|| ||0||0||0||0||<math>\zeta_2</math>||0||0†
|-
|Whitrow-Morduch (1960)
|−1||1−''q''|| ||0||0||0||0||''q''||0||0†
|-
|Littlewood (1953), Bergman (1956)
|−1||<math>\textstyle\frac12</math>|| ||0||0||0||0||−1||0||0†
|}

† <small>Теория неполна, и <math>\zeta_{ 4}</math> может принимать два значения. Показано значение, наиболее близкое к 0.</small>

Все экспериментальные результаты по движению больших и малых планет и спутников на 2007 год согласуются с ОТО, так что ППН формализм сразу же исключает все представленные в таблице скалярные теории.

Полный список ППН параметров неизвестен для теории Уайтхеда (1922), Дезера-Лорена (1968) и Боллини-Джамбини-Тиомно (1970), но для них <math>\beta=\xi</math>, что прямо противоречит ОТО и эксперименту. В частности, эти теории предсказывают неправильную амплитуду земных приливов.

=== Теории, не проходящие других проверок ===
Все известные неметрические теории, такие как теория Белинфанте и Цвайгарта (1957a, 1957b), за исключением [[Теория Эйнштейна — Картана|теории Эйнштейна — Картана]], противоречат экспериментальным ограничениям на справедливость принципа эквивалентности Эйнштейна.

Стратифицированные теории Ни (1973), Ли, Лайтмана и Ни (1974) и другие не предсказывают смещения перигелия Меркурия.

Биметрические теории Лайтмана и Ли (1973), Розена (1975) и Рэстолла (1979) не проходят проверки в сильных гравитационных полях.

Скалярно-тензорные теории включают ОТО как специальный предельный случай, но согласуются с её ППН параметрами, только когда совпадают с ОТО. По мере того, как экспериментальные проверки становятся всё точнее, отклонения скалярно-тензорных теорий от ОТО исчезают.

То же самое справедливо для векторно-тензорных теорий. Более того, векторно-тензорные теории относятся к полуконсервативным; они имеют ненулевое значение <math>\alpha_2</math>, что могло бы вызывать измеримые эффекты в земных приливах.

Эти соображения не оставляют никаких теорий как вероятных альтернатив ОТО (кроме, возможно, теории Картана (1922), которая может нарушать ЭПП).

Такая ситуация сложилась к тому моменту, когда открытия в космологии вызвали развитие современных альтернатив.

== Современные теории: от 1980-х гг. до настоящего времени ==
Этот раздел описывает альтернативы ОТО, разработанные после публикации наблюдений дифференциального вращения галактик, приведших к гипотезе «[[тёмная материя|тёмной материи]]».

Подробного сравнения этих теорий с совокупностью всех экспериментальных данных не проводилось.

Описываемые теории включают в себя теорию Бекенштейна (2004) и 3 теории [[Моффат, Джон (физик)|Моффата]]: (1995), (2002) и (2005a, b). Они включают в себя космологическую постоянную или добавочный скалярный или векторный потенциал, выполняющий ту же функцию.

=== Причины появления новых теорий ===
Побудительными мотивами к разработке основного количества новейших альтернатив ОТО служат астрономические наблюдения последних лет, которые привели к необходимости введения в астрофизику и космологию, построенную на общей теории относительности, таких понятий, как «инфляция», «тёмная материя» и «тёмная энергия». Новые теории пытаются описать эти же экспериментальные данные без привлечения таких понятий, которые кажутся создателям этих теорий ошибочными либо искусственными. Основной идеей служит то, что гравитация должна согласовываться с ОТО в пределах, как минимум, Солнечной системы в настоящую эпоху, но может быть существенно другой в галактических масштабах и выше, а также в ранней Вселенной.

Среди физиков постепенно распространилось мнение, что классический сценарий [[Большой взрыв|Большого взрыва]] сталкивается с трудностями, две наиболее серьёзные из которых — [[проблема горизонта]] и наблюдение, что в очень ранней Вселенной в эпоху, когда должны были образовываться [[кварки]], просто не было достаточно пространства, чтобы Вселенная могла содержать хотя бы один кварк. Для преодоления этих трудностей была разработана [[инфляционная модель]]. Её альтернативой стала серия теорий, в которых скорость света в ранней Вселенной была выше, чем сейчас.

Открытие специфического поведения [[Кривая вращения галактики|ротационных кривых галактик]] стало сюрпризом для научного сообщества. Возникло две альтернативы: либо во Вселенной намного больше несамосветящегося вещества, чем до того предполагалось, либо в больших масштабах неверна сама теория гравитации. Преобладающим мнением в настоящее время является первый вариант с так называемой «холодной тёмной материей», но путь к признанию её реальности пролегал через различного рода попытки разработать теорию гравитации, не требующую невидимых масс, дополнительных к наблюдаемым, и эти теории всё ещё имеют своих поклонников среди физиков и астрономов.

Обнаружение ускорения расширения Вселенной группой [[Перлмуттер, Сол|Перлмуттера]] привело к быстрому возрождению идеи космологической константы, а также квинтэссенции, как альтернативы ей. Как минимум одна новая теория гравитации была разработана для объяснения результатов Перлмуттера с совершенно иной точки зрения.

Другой недавний экспериментальный результат, вызывающий интерес к отличным от ОТО теориям, — [[аномалия Пионеров]]. Очень быстро было обнаружено, что альтернативные теории гравитации могут объяснить качественные особенности наблюдаемого эффекта, но не его величину. Любая известная модель, точно воспроизводящая аномалию, сильно отклоняется от ОТО и, как следствие, противоречит другим экспериментальным результатам<ref>L. Iorio and J. Giudice, What do the orbital motions of the outer planets of the Solar System tell us about the Pioneer anomaly? New Astronomy 11 (2006) 600</ref>. Кроме того, существуют предварительные данные, указывающие на то, что эффект может быть вызван неравномерным тепловым излучением различных элементов конструкции этих аппаратов<ref>{{Cite web |url=http://www.membrana.ru/particle/16137 |title=Найдена причина аномального ускорения «Пионеров» |access-date=2012-01-31 |archive-date=2011-11-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111120224629/http://www.membrana.ru/particle/16137 |deadlink=no }}</ref>.

=== Космологическая постоянная и квинтэссенция ===
(см. также [[Космологическая постоянная]], [[Действие Эйнштейна — Гильберта]], [[Квинтэссенция (космология)]])

Космологическая константа <math>\Lambda\;</math> в уравнениях Эйнштейна — очень старая идея, восходящая к самому Эйнштейну (1917). Успех [[Фридмановская модель Вселенной|фридмановской модели Вселенной]], в которой <math>\Lambda=0\;</math><ref name="Фридман">В двух основополагающих космологических работах Фридмана рассматриваются общие решения, соответствующие <math>\Lambda\neq0\;</math>.</ref>, привёл к преобладанию мнения о равенстве её нулю, но результаты Перлмуттера об ускорении расширения Вселенной дали <math>\Lambda\neq0\;</math> новое дыхание.

Рассмотрим сначала, как космологическая постоянная влияет на уравнения ньютоновской гравитации и ОТО, а затем изложим возможности её включения в другие теории гравитации.

В теории Ньютона добавление <math>\Lambda\;</math> изменяет уравнение Ньютона — Пуассона от
: <math>\nabla^2\phi=4\pi\rho\;</math>
до
: <math>\nabla^2\phi-\Lambda\phi=4\pi\rho\;.</math>
В ОТО введение космологического члена меняет действие Эйнштейна — Гильберта от
: <math>S={1\over 16\pi G}\int R\sqrt{-g}d^4x+S_m\;</math>
до
: <math>S={1\over 16\pi G}\int (R-2\Lambda)\sqrt{-g}d^4x+S_m\; ,</math>
с соответствующим изменением уравнений поля от
: <math>T^{\mu\nu}={1\over 8\pi G}(R^{\mu\nu}-g^{\mu\nu} R/2)\;</math>
до
: <math>T^{\mu\nu}={1\over 8\pi G}(R^{\mu\nu}-g^{\mu\nu} R/2+\Lambda
g^{\mu\nu})\; .</math>

В альтернативных метрических теориях гравитации эту константу можно ввести совершенно аналогичным образом.

Космологическая постоянная не является единственным способом получить ускорение расширения Вселенной в ОТО и альтернативных теориях гравитации. Её роль с успехом может играть скалярный потенциал <math>\lambda(\varphi)\;</math> в скалярно-тензорных теориях. Вообще, если в теории содержится скалярное гравитационное поле <math>\varphi\;,</math> то добавление в гравитационную часть действия члена <math>\lambda(\varphi)\;</math> может при различных видах этой функции воспроизвести любую наперёд заданную историю космологического расширения. Соображения простоты и естественности приводят к зависимостям <math>\lambda(\varphi)\;</math> таким, что ускорение расширения велико в ранней Вселенной и уменьшается к современной эпохе. Это поле <math>\varphi\;</math> называют квинтэсенцией.

Похожая методика работает и в случае векторных гравитационных полей, появляющихся в теории Рэстолла (1979) и векторно-тензорных теориях. Добавление к гравитационному действию члена <math>K^\mu K^\nu g_{\mu\nu}\;</math> приводит к имитации космологической постоянной.

=== {{anchor|РМОНД}} Релятивистская МОНД (МОдифицированная Ньютоновская Динамика) ===
(см. [[Модифицированная ньютоновская динамика]], [[Скалярно-векторно-тензорная теория гравитации]] и работу Бекенштейна (2004) для более детального изложения).

Оригинальная теория МОНД была разработана Милгромом в 1983 году как альтернатива «тёмной материи». Отклонения от ньютоновского характера гравитации (<math>F\sim r^{-2}</math>) наблюдаются при определённом ускорении, а не на определённом расстоянии. МОНД успешно объясняет соотношения Тулли-Фишера: светимость галактики изменяется пропорционально четвёртой степени её скорости вращения. Эта теория также показывает, почему отклонения от ожидаемого характера вращения наиболее велики в карликовых галактиках.

Исходная теория имела несколько недостатков:
: i. Она не включала релятивистских эффектов.
: ii. Она нарушала законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.
: iii. Она была внутренне противоречивой, так как предсказывала различные галактические орбиты для газа и звёзд.
: iv. Она не давала возможности вычислить гравитационное линзирование скоплениями галактик.

В 1984 году проблемы ii. и iii. были решены путём отыскания лагранжевой формы этой теории (англ. AQUAL). Релятивистская версия полученного лагранжиана, соответствующая скалярно-тензорной теории, была отвергнута, так как она давала волны скалярного поля, распространяющиеся быстрее скорости света. Нерелятивистский лагранжиан имеет следующиую форму:
: <math>L=-{a_0^2\over 8\pi G}f\left\lbrack{|\nabla\varphi|^2\over
a_0^2}\right\rbrack-\rho\varphi\; .</math>
Его релятивитсская версия
: <math>L=-{a_0^2\over 8\pi G}\tilde f(L^2
g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi)\;</math>
имеет нестандартный массовый член. Здесь <math>f\;</math> и
<math>\tilde f</math> — произвольные функции, ограниченные лишь требованиями корректного поведения теории в Ньютоновском и МОНД пределе.

В 1988 году был предложен вариант теории с дополнительным скалярным полем (англ. PCC), решающий проблемы предыдущего варианта, но его предсказания оказались противоречащими данным по [[сдвиг перигелия Меркурия|сдвигу перигелия Меркурия]] и гравитационному линзированию галактиками и их скоплениями.

В 1997 году МОНД была успешно включена в релятивистскую стратифицированную теорию Сандерса, но эта теория, как и любая стратифицированная, имеет существенные проблемы с эффектами выделенных систем отсчёта.

Бекенштейн (2004) создал [[Скалярно-векторно-тензорная теория гравитации|тензорно-векторно-скалярную модель]] (англ. TeVeS). В ней имеются два скалярных поля <math>\varphi\;</math> и <math>\sigma\;,</math> а также векторное поле <math>U_\alpha\;.</math> Действие разбивается на гравитационную, скалярную, векторную и материальную части
: <math>S=S_g+S_s+S_v+S_m\; .</math>

Гравитационная часть — такая же, как в ОТО,
: <math>S_s=-\textstyle\frac12\int[\sigma^2
h^{\alpha\beta}\varphi_{,\alpha}\varphi_{,\beta} +\textstyle\frac12G
l^{-2}\sigma^4F(kG\sigma^2)]\sqrt{-g}d^4x\; ,</math>
: <math>S_v=-{K\over 32\pi
G}\int[g^{\alpha\beta}g^{\mu\nu}U_{[\alpha,\mu]}U_{[\beta,\nu]}
-2(\lambda/K)(g^\mu\nu U_\mu U_nu+1)]\sqrt{-g}d^4x\; ,</math>
: <math>S_m=\int L(\tilde
g_{\mu\nu},f^\alpha,f^\alpha_{|\mu},\cdots)\sqrt{-g}d^4x\;,</math>
где по определению <math>h^{\alpha\beta}=g^{\alpha\beta}-U^\alpha U^\beta\;</math>, <math>l\;</math> — характерная длина, <math>k\;</math> и <math>K\;</math> — постоянные,
квадратные скобки вокруг индексов <math>U_{[\alpha,\mu]}\;</math> обозначают антисимметризацию, <math>\lambda\;</math> является лагранжевым множителем<!--(calculated elsewhere)-->, <math>\tilde
g^{\alpha\beta}=e^{2\phi}g^{\alpha\beta}+2U^\alpha
U^\beta\operatorname{sh}(2\varphi)\;</math>, а <math>L\;</math> представляет собой лагранжиан, переведённый из плоского пространства-времени в произвольно искривлённое с метрикой <math>\tilde
g^{\alpha\beta}\;</math>.

<math>F\;</math> вновь является произвольной функцией, и <math>F(\mu)=\textstyle\frac34{\mu^2(\mu-2)^2\over 1-\mu}\;</math>
была дана как пример функции, дающей правильное асимптотическое поведение; отметим, что при <math>\mu=1\;</math> эта функция является неопределённой.

Данные по статистике слабого гравитационного линзирования, опубликованные в 2010 году, противоречат исходной модели Бекенштейна, также она испытывает трудности при объяснении эффектов в сталкивающихся галактиках<ref>{{Cite web |url=http://www.nature.com/news/2010/100310/full/news.2010.113.html |title=Einstein passes cosmic test : Nature News |access-date=2011-02-10 |archive-date=2011-04-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110421041150/http://www.nature.com/news/2010/100310/full/news.2010.113.html |deadlink=no }}</ref>.

=== Теории гравитации [[Моффат, Джон (физик)|Моффата]] ===
В 1995 году [[Моффат, Джон (физик)|Моффат]] разработал неметрическую [[Несимметричные теории гравитации|несимметричную теорию гравитации]] (НТГ). Утверждалось, что в ней отсутствуют горизонты чёрных дыр, но Бурко и Ори (1995) показали, что это не так и чёрные дыры могут существовать и в такой теории гравитации.

Позже [[Моффат, Джон (физик)|Моффат]] утверждал, что его теория объясняет ротационные кривые галактик без привлечения «тёмной материи». Дамур, Дезер и Маккарти (1993) критиковали НТГ за неприемлемое асимптотическое поведение.

Математическое оформление теории не сложное, но запутанное, так что последующее представляет собой только краткий очерк. В теории вводится несимметричный тензор <math>g_{\mu\nu}\;</math> и лагранжева плотность делится на две части: гравитационную и материальную
: <math>L=L_R+L_M\;,</math>
причём лагранжиан материи <math>L_M\;</math> имеет тот же вид, что и в ОТО, а
: <math>L_R=\sqrt{-g}[R(W)-2\lambda-\textstyle\frac14\mu^2g^{\mu\nu}g_{[\mu\nu]}]
-\textstyle\frac16g^{\mu\nu}W_\mu W_\nu\;,</math>
где <math>R(W)\;</math> — член кривизны, аналогичный, но не тождественных скалярной кривизне ОТО, <math>\lambda\;</math> и
<math>\mu^2\;</math> являются космологическими постоянными,
<math>g_{[\nu\mu]}\;</math> — антисимметричная часть <math>g_{\nu\mu}\;,</math> а <math>W_\mu\;</math> — связность, получаемая специфическим рекурсивным образом.
В первом приближении <math>W_\mu\approx-2g^{,\nu}_{[\mu\nu]}\;.</math>

Теория [[Моффат, Джон (физик)|Моффата]] (2002), как утверждается её автором, является скалярно-тензорной биметрической теорией гравитации и одной из многих теорий, в которых скорость света в ранней Вселенной была выше. Эти теории вызваны к жизни, в частности, стремлением избежать «проблемы горизонта» без привлечения инфляции. Гравитационная постоянная <math>G\;</math> в этой теории переменна, кроме того, она пытается объяснить недостаток яркости сверхновых с точки зрения, не включающей ускорения расширения Вселенной, таким образом рискуя предсказать слишком малое время существования Вселенной.

В общем смысле эта теория выглядит неубедительно. Действие делится на гравитационную, скалярную и материальную части. Уравнения гравитационного и скалярного поля совпадают со стандартными уравнениями теории Бранса-Дикке с космологической постоянной и скалярным потенциалом, но в них входит метрика Минковского. Только материальный член использует неплоскую метрику, которая равна
: <math>g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+B\partial_\mu\varphi\partial_\nu\varphi\;,</math>
где <math>B\;</math> имеет размерность квадрата длины. Эта теория как минимум не проходит проверки на лоренц-инвариантность и отклонение света в гравитационном поле.

Метрическая теория с антисимметричным тензором ([[Моффат, Джон (физик)|Моффат]] (2005a)) предсказывает ротационные кривые галактик без привлечения концепций «тёмной материи» или МОНД, и, как утверждается, может также успешно объяснять гравитационное линзирование в галактических скоплениях. Она имеет переменное <math>G\;</math>, возрастающее до конечного современного значения примерно через миллион лет после Большого Взрыва.

Эта теория содержит антисимметричное тензорное <math>A_{\mu\nu}\;</math> и векторное <math>J_\mu\;</math> поля. Действие включает 4 члена: гравитационный, полевой, взаимодействия и материальный
: <math>S=S_G+S_F+S_{FM}+S_M\;.</math>
Члены гравитации и материи совпадают с таковыми в ОТО с космологической постоянной. Полевое действие и член взаимодействия антисимметричного поля с материей имеют вид:
: <math>S_F=\int
d^4x\sqrt{-g}(\textstyle\frac1{12}F_{\mu\nu\rho}F^{\mu\nu\rho}
-\textstyle\frac14\mu^2 A_{\mu\nu}A^{\mu\nu})\;,</math>
: <math>S_{FM}=\int
d^4x\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}A_{\alpha\beta}\partial_\mu
J_\nu\;,</math>
где
: <math>F_{\mu\nu\rho}=\partial_\mu A_{\nu\rho}+\partial_\rho
A_{\mu\nu}\;,</math>
а <math>\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}\;</math> — [[символ Леви-Чивиты]]. Взаимодействие имеет паулиевский вид и калибровочно инвариантно для любого тока источника, который, в свою очередь, выглядит как материальное [[фермионное поле]], связанное с [[барионное число|барионным]] и [[лептонное число|лептонным числом]].

[[Скалярно-тензорно-векторная теория гравитации]] [[Моффат, Джон (физик)|Моффата]] (2005b) содержит тензорное, векторное <math>K_\mu</math> и три скалярных поля <math>G\;</math>, <math>\omega\;</math>, <math>\mu\;</math>, но её полевые уравнения довольно просты. Действие разбивается на гравитационую, векторную, скалярную и материальную части:
: <math>S=S_G+S_K+S_S+S_M\;.</math>
<math>S_G\;</math> имеет стандартный вид, за исключением внесения под интеграл множителя <math>G\;.</math>
: <math>S_K=-\int
d^4x\sqrt{-g}\omega(\textstyle\frac14B_{\mu\nu}B^{\mu\nu}+V(K))\;,</math>
где <math>B_{\mu\nu}=\partial_\mu K_\nu-\partial_\nu
K_\mu\;,</math>
: <math>S_S=-\int d^4x\sqrt{-g}({1\over
G^3}(\frac12g^{\mu\nu}\nabla_\mu G\nabla_\nu G
-V(G))+</math>
: <math>{\quad^{}}+{1\over
G}(\frac12g^{\mu\nu}\nabla_\mu\omega\nabla_\nu\omega
-V(\omega))+</math>
: <math>{\quad^{}}+{1\over\mu^2G}(\frac12g^{\mu\nu}\nabla_\mu\mu\nabla_\nu\mu-V(\mu)))\;.</math>
Потенциал для векторного поля выбирается в следующем виде:
: <math>V(K)=-\textstyle\frac12\mu^2\varphi^\mu\phi_\mu-\textstyle\frac14g(\varphi^\mu
\varphi_\mu)^2\;,</math>
где <math>g\;</math> — константа связи. Потенциальные функции скалярных полей не конкретизировались.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{Refbegin|2}}
* Гильберт Д. (1915) ОСНОВАНИЯ ФИЗИКИ (Первое сообщение) // Альберт Эйнштейн и теория гравитации / Пер. с нем., англ., фр. — М.: Мир, 1979. — С. 133—145.<br>Русский перевод работы<br>Hilbert D. Die Grundlagen der Physik // Nachrichten K. Gesellschaft Wiss. Gottingen, Math.-phys. Klasse, 1915, Heft 3, S. 395.
* ''Визгин В. П.'' Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование, 1900—1915). — М.: Наука, 1981. — 352 c.
* ''Визгин В. П.'' Единые теории в 1-й трети XX в. — М.: Наука, 1985. — 304 c.
* Пайс А. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна / Пер. с англ. В. И. и О. И. Мацарских; Под ред. А. А. Логунова. — М. :Наука, 1989. — 566,[1] с. — ISBN 5-02-014028-7. <br>Русский перевод книги<br>Pais, Abraham. 'Subtle is the Lord…': THE SCIENCE AND THE LIFE OF Albert EINSTEIN. — OXFORD UNIVERSITY PRESS, 1982.
* Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике / Пер. с англ. — М.: [[Энергоатомиздат]], 1985. — 296 с.<br>Русский перевод книги<br>Will, Clifford M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge Univ. Press, 1981.<br>Существует более позднее английское издание, см. Will (1993).
* Barker, B. M. (1978) General scalar-tensor theory of gravity with constant G, The Astrophysical Journal 219, 5, http://adabs.harvard.edu/abs/1978ApJ…219…5B{{Недоступная ссылка|date=2019-07|bot=InternetArchiveBot }}
* Bekenstein, J. D. (1977) Are particle rest masses variable? Physical Review D 15, 1458—1468, http://prola.aps.orh/pdf/PRD/v15/i6/p1458_1{{Недоступная ссылка|date=2019-03|bot=InternetArchiveBot }}
* Bekenstein, J. D. (2004) Revised gravitation theory for the modified Newtonian dynamics paradigm. Phys. Rev. D 70, 083509
* Belinfante, F. J. and Swihart, J. C. (1957a) Phenomenological linear theory of gravitation Part I, Ann. Phys. 1, 168
* Belinfante, F. J. and Swihart, J. C. (1957b) Phenomenological linear theory of gravitation Part II, Ann. Phys. 2, 196
* Bergman, O. (1956) Scalar field theory as a theory of gravitation, Amer. J. Phys. 24, 39
* Bergmann, P. G. (1968) Comments on the scalar-tensor theory, Int. J. Theor. Phys. 1, 25-36
* Birkhoff, G. D. (1943) Matter, electricity and gravitation in flat space-time. Proc. Nat Acad. Sci. U.S. 29, 231—239
* Bollini, C. G., Giambiaga, J. J., and Tiomno, J. (1970) A linear theory of gravitation, Nuovo Com. Lett. 3, 65-70
* Brans, C. and Dicke, R. H. (1961) Mach’s principle and a relativistic theory of gravitation. Phys. Rev. 124, 925—935
* Burko, Lior M. & Ori, Amos (1995) Remarks on the formation of black holes in non-symmetric gravity. http://arxiv.org/abs/gr-qc/9507009
* Cartan, E. (1922) Sur une generalisation de la notion de courbure de Riemann st les espaces a torsion. Acad. Sci. Paris, Comptes Rend. 174, 593—595
* Cartan, E. (1923) Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativite generalisee. Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Superieure Ser. 3, 40, 325—412. http://archive.numdam.org/article/ASENS_1923_3_40__325_0.pdf
* [[Дамур, Тибо|Damour, T.]], Deser, S. & MaCarthy, J. (1993) Nonsymmetric gravity has unacceptable asymptotics, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qc/pdf/9312/9312030/pdf{{Недоступная ссылка|date=2019-07|bot=InternetArchiveBot }}
* Deser, S. and Laurent, B. E. (1968) Gravitation without self-interaction, Annals of Physics 50, 76-101
* Einstein, A. (1912a) Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes. Annalen der Physik 38, 355—369
* Einstein, A. (1912b) Zur Theorie des statischen Gravitationsfeldes. Annalen der Physik 38, 443
* Einstein, A. and Grossmann, M. (1913), Z. Math Physik 62, 225
* Einstein, A. and Fokker, A. D. (1914) Die Nordstromsche Gravitationstheorie vom Standpunkt des absoluten Differentkalkuls. Annalen der Physik 44, 321—328
* Einstein, A. (1916) Annalen der Physik 49, 769
* Einstein, A. (1917) Uber die Spezielle und die Allgemeinen Relativatatstheorie, Gemeinverstandlich, Vieweg, Braunschweig
* Fierz, M. and Pauli, W. (1939) On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field. Proc. Royal Soc. London 173, 211—232
* Hellings, W. H. and Nordtveldt Jr, K. (1973) Vector-metric theory of gravity, Physical Review D 7, 3593-3602, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v7/i12/p3593_1
* Ivanenko, D. and Sardanashvily G. (1983) Gauge treatment of gravity, Physics Reports 94, 1-45
* Jordan, P.(1955) Schwerkraft und Weltall, Vieweg, Braunschweig
* Kustaanheimo, P. (1966) Route dependence of the gravitational redshift. Phys. Lett. 23, 75-77
* Kustaanheimo, P. E. and Nuotio, V. S. (1967) Publ. Astron. Obs. Helsinki No. 128
* Lang, R. (2002) Experimental foundations of general relativity, http://www.mppmu.mpg.de/~rlang/talks/melbourne2002.ppt {{Wayback|url=http://www.mppmu.mpg.de/~rlang/talks/melbourne2002.ppt |date=20080301201401 }}
* Lee, D. L., Lightman, A. P. and Ni, W-T (1974) Conservation laws and variational principles in metric theories of gravity, Physical Review D 10, 1685—1700, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v10/i6/p1695_1{{Недоступная ссылка|date=2019-07|bot=InternetArchiveBot }}
* Lightman, A. P. and Lee, D. L. (1973), New two-metric theory of gravity with prior geometry, Physical Review D 8, 3293-3302, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v8/i10/p3293_1
* Littlewood, D. E. (1953) Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 49, 90-96
* Milne E. A. (1948) Kinematic Relativity, Clarendon Press, Oxford
* Misner, C. W., Thorne, K. S. and Wheeler, J. A. (1973) Gravitation, W. H. Freeman & Co.
* Moffat, J. W. (1995) Nonsymmetric gravitational theory, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/9411/9411006.pdf{{Недоступная ссылка|date=2019-07|bot=InternetArchiveBot }}
* Moffat, J. W. (2002) Bimetric gravity theory, varying speed of light and the dimming of supernovae, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0202/0202012.pdf{{Недоступная ссылка|date=2019-07|bot=InternetArchiveBot }}
* Moffat, J. W. (2005a) Gravitational theory, galaxy rotation curves and cosmology without dark matter, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0412/0412195.pdf{{Недоступная ссылка|date=2019-07|bot=InternetArchiveBot }}
* Moffat, J. W. (2005b) Scalar-tensor-vector gravity theory, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0506/0506021.pdf{{Недоступная ссылка|date=2019-07|bot=InternetArchiveBot }}
* Newton, I. (1686) Philosopiae Naturalis Principia Mathematica
* Ni, W-T. (1972) Theoretic frameworks for testing relativistic gravity IV, The Astrophysical Journal 176, 769—796
* Ni, W-T. (1973) A new theory of gravity, Physical Review D 7, 2880—2883
* Nordtvedt Jr, K. (1970) Post-Newtonian metric for a general class of scalar-tensor gravitational theories with observational consequences, The Astrophysical Journal 161, 1059
* Nordtvedt Jr, K. and Will C. M. (1972) Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity II, The Astrophysical Journal 177, 775
* Nordstrom, G. (1912), Relativitatsprinzip und Gravitation. Phys. Zeitschr. 13, 1126
* Nordstrom, G. (1913), Zur Theorie der Gravitation vom Standpunkt des Relativitatsprinzips, Annalen der Physik 42, 533
* Pais, A. (1982) Subtle is the Lord, Clarendon Press
* Page, C. and Tupper, B. O. J. (1968) Scalar gravitational theories with variable velocity of light, Mon. Not. R. Astr. Soc. 138, 67-72
* Papapetrou, A. (1954a) Zs Phys., 139, 518
* Papapetrou, A. (1954b) Math. Nach., 12, 129 & Math. Nach., 12, 143
* [http://www.archive.org/details/sciencemethod00poinuoft Poincare, H. (1908) Science and Method]
* Rastall, P. (1979) The Newtonian theory of gravitation and its generalization, Canadian Journal of Physics 57, 944—973
* Rosen, N. (1971) Theory of gravitation, Physical Review D 3, 2317
* Rosen, N. (1973) A bimetric theory of gravitation, General Relativity and Gravitation 4, 435—447.
* Rosen, N. (1975) A bimetric theory of gravitation II, General Relativity and Gravitation 6, 259—268, http://www.springerlink.com/content/1778634236421720/fulltext.pdf{{Недоступная ссылка|date=2020-03|bot=InternetArchiveBot }}
* Scherrer, W. (1941) Zur Theorie der Elementarteilchen. Verhandlungen der Schweizer Naturforschenden Gesellschaft 121, 86-87.
* Thiry, Y. (1948) Les equations de la theorie unitaire de Kaluza, Comptes Rendus Acad. Sci (Paris) 226, 216
* Trautman, A. (1972) On the Einstein-Cartan equations I, Bulletin de l’Academie Polonaise des Sciences 20, 185—190
* Turyshev, S. G. (2007) Tests of Relativistic Gravity in 21st Century: History, Recent Progress and Future Directions, http://www.zarm.uni-bremen.de/Q2C2/presentations/turyshev.pdf {{Wayback|url=http://www.zarm.uni-bremen.de/Q2C2/presentations/turyshev.pdf |date=20080301201403 }}
* Wagoner, R. V. (1970) Scalar-tensor theory and gravitational waves, Physical Review D 1, 3209-3216, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v1/i12/p3209_1
* Whitehead, A.N. (1922) The Principles of Relativity, Cambridge Univ. Press
* [[Gerald James Whitrow|Whitrow, G. J.]] and Morduch, G. E. (1960) General relativity and Lorentz-invariant theories of gravitations, Nature 188, 790—794
* Whitrow, G. J. and Morduch, G. E. (1965) Relativistic theories of gravitation, Vistas in Astronomy 6, 1-67
* Will, C. M. (1981, 1993) Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge Univ. Press
* Will, C. M. (2001) The Confrontation between General Relativity and Experiment, http://www.livingreviews.org/Articles/Volume4/2001-4will
* Will, C. M. and Nordtvedt Jr, K. (1972) Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity I, The Astrophysical Journal 177, 757
* Yilmaz, H. (1958) New approach to general relativity, Phys. Rev. 111, 1417
* Yilmaz, H. (1973) New approach to relativity and gravitation, Annals of Physics 81, 179—200
{{Refend}}

== Ссылки ==
* {{cite journal | last=Will | first=Clifford M. | title=The Confrontation between General Relativity and Experiment | journal=Living Reviews in Relativity | volume=9 | issue=1 | date=2006-03-27 | issn=2367-3613 | doi=10.12942/lrr-2006-3 | page=3| pmid=28179873 | pmc=5256066 | arxiv=gr-qc/0510072 | bibcode=2006LRR.....9....3W |doi-access=free}}

{{rq|refless}}
{{ВС}}

[[Категория:Теории гравитации]]