Поворот: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
РоманСузи (обсуждение | вклад) викификация, убрал присутствующие в тексте из см. также |
LGB (обсуждение | вклад) Отмена вандализма + оформление + стилевые правки |
||
| (не показано 17 промежуточных версий 13 участников) | |||
Строка 1:
{{Значения|Вращение (значения)}}
{{Другие значения|Поворот (значения)}}
[[Файл:
'''Поворо́т (враще́ние)''' — [[Изометрия (математика)|движение]]
== Связанные определения ==▼
* Неподвижная точка при повороте [[Плоскость (геометрия)|плоскости]] называется '''центром вращения'''.
* Неподвижная прямая при повороте [[Трёхмерное пространство|трёхмерного пространства]] называется '''осью вращения'''.
== Собственное и несобственное вращения ==
Для [[Плоскость (геометрия)|двумерной плоскости]] можно дать другое, эквивалентное, определение вращения: вращение плоскости это [[Изометрия (математика)|движение]], при котором каждый луч, исходящий из данной точки поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.▼
=== Определения ===
* Вращение называется '''собственным''', если оно сохраняет [[Ориентация|ориентацию]] пространства.
▲
▲== Связанные определения ==
* Вращение называется '''несобственным''', если оно не является собственным.
Часто под термином ''вращение'' подразумевается только ''собственное вращение''.
=== Свойства ===
* Несобственное вращение является композицией некоторого собственного вращения и [[Отражение (геометрия)|зеркального отражения]] (на плоскости
* Для любой ограниченной области пространства его собственное вращение относительно любой точки можно сделать таким, чтобы все точки области сместились не более, чем на некоторое заранее фиксированное расстояние, однако для несобственного вращения данное утверждение перестаёт быть верным.
▲Несобственное вращение является композицией некоторого [[Отражение (геометрия)|зеркального отражения]] (на плоскости — [[Осевая симметрия|осевой симметрии]], в пространстве нечётной размерности — [[Центральная симметрия|центральной]]) и собственного вращения.
== Поворот в [[
В аналитической геометрии на плоскости собственное вращение в прямоугольных декартовых координатах выражается формулами:
: <math>x'=x\cos\varphi-y\sin\varphi,</math>
: <math>y'=x\sin\varphi+y\cos\varphi,</math>
Строка 28 ⟶ 34 :
В [[Планиметрия|планиметрии]] поворот около точки [центра] <math>O</math> на угол поворота <math>\alpha</math> обозначается также <math> R^{\alpha}_{O} </math>, где <math> \alpha \in ( -\pi; \pi ]. </math><br /> Поворот на угол <math>\beta' = \alpha + 2 \pi \cdot n ,</math> где <math>n \in \Z</math> и <math> \alpha \in ( -\pi; \pi ] </math> отождествляется с поворотом <math> R^{\alpha}_{O} </math> (угол поворота на полный угол <math> 2 \pi ~ (360^\circ) </math> зачастую также называется [[Оборот (единица измерения)|оборотом]]).<br />
Если углы поворотов <math>\alpha, \beta</math> и их сумма <math>\alpha + \beta</math> заключены в пределах от <math> - \pi </math> до <math> \pi ,</math> то при последовательном выполнении ([[Композиция функций|композиции]]) поворотов их углы складываются (см. также [[#Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид)]]):
: <math> R^{\beta}_{O} \circ R^{\alpha}_{O} = R^{\alpha+\beta}_{O} ,</math
причём композиция двух поворотов обладает свойством коммутативности:
: <math> R^{\beta}_{O} \circ R^{\alpha}_{O} = R^{\alpha}_{O} \circ R^{\beta}_{O}.</math>
Строка 35 ⟶ 41 :
=== Матричный вид ===
При использовании матричного подхода точку <math> (x, y) </math> записывают в виде [[
: <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</math>.
Строка 44 ⟶ 50 :
=== Комплексный вид ===
Вращение точки на угол <math> \theta </math> можно осуществить умножением <math> e ^ {i \theta} </math>, используя [[Формула Эйлера
: <math>\begin{align}
Строка 64 ⟶ 70 :
=== Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид) ===
Пусть совершается вначале поворот вокруг точки <math>a</math> на угол <math>\alpha</math>, затем поворот вокруг точки <math>b</math> на угол <math>\beta</math>. И пусть точки <math>a</math> и <math>b</math> представлены в виде комплексных чисел вида <math>x + i y</math>. Положительным считается поворот против часовой стрелки.
Такая композиция поворотов эквивалентна повороту на угол <math> \gamma~= \alpha + \beta </math> вокруг точки <math>c</math>, которая вычисляется по формуле <math>
где <math>\alpha' = \frac \alpha 2</math>, а <math>\gamma' = \frac \gamma 2</math>
Строка 71 ⟶ 77 :
== Свойства ==
* Если [[Репер (аффинная геометрия)|репер]] привязан к центру вращения, то оно реализуется [[ортогональная матрица|ортогональной матрицей]].
** Вращения
** Вращения двумерного пространства ([[плоскость (математика)|плоскости]]) образуют соответственно группы O(2) и [[SO(2)]] (изоморфную [[U(1)]]).
Строка 79 ⟶ 85 :
== См. также ==
* [[Ортогональное преобразование]]▼
* [[Ортогональная группа]]▼
* [[Специальная ортогональная группа]]▼
* [[Группа вращений]]
* [[Матрица поворота]]
▲* [[Ортогональная группа]]
▲* [[Вращательное движение]] — процесс непрерывного поворота в механике.
▲* [[Ортогональное преобразование]]
▲* [[Специальная ортогональная группа]]
* [[Угловая скорость]]
{{нет ссылок|дата=7 июня 2019}}
[[Категория:Движения пространства]]▼
▲[[Категория:Движения пространства]]
| |||