Поворот: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
по учебнику геометрии за 7-9 класс Погорелов |
LGB (обсуждение | вклад) Отмена вандализма + оформление + стилевые правки |
||
| (не показано 28 промежуточных версий 15 участников) | |||
Строка 1:
{{Значения|Вращение (значения)}}
{{Другие значения|Поворот (значения)}}
[[Файл:
'''Поворо́т (враще́ние)''' — [[Изометрия (математика)|движение]]
== Связанные определения ==
*
* Неподвижная прямая при повороте [[Трёхмерное пространство|трёхмерного пространства]] называется '''осью вращения'''.
== Собственное и несобственное вращения ==
=== Определения ===
* Вращение называется '''собственным''', если оно сохраняет [[Ориентация|ориентацию]] пространства.
* Возможно ещё одно определение '''собственного вращения''' для плоскости: собственное вращение плоскости — это [[Изометрия (математика)|движение]], при котором все лучи, исходящие из данной точки, поворачиваются на один и тот же угол в одном и том же направлении (по или против часовой стрелки).
* Вращение называется '''несобственным''', если оно не является собственным.
Часто под термином ''вращение'' подразумевается только ''собственное вращение''.
=== Свойства ===
* Несобственное вращение является композицией некоторого собственного вращения и [[Отражение (геометрия)|зеркального отражения]] (на плоскости
* Для любой ограниченной области пространства его собственное вращение относительно любой точки можно сделать таким, чтобы все точки области сместились не более, чем на некоторое заранее фиксированное расстояние, однако для несобственного вращения данное утверждение перестаёт быть верным.
▲Несобственное вращение является композицией некоторого [[Отражение (геометрия)|зеркального отражения]] (на плоскости — [[Осевая симметрия|осевой симметрии]], в пространстве нечётной размерности — [[Центральная симметрия|центральной]]) и собственного вращения.
== Поворот в [[Плоскость (геометрия)|двумерном пространстве]] ==
В аналитической геометрии на плоскости собственное вращение в прямоугольных декартовых координатах выражается формулами:
: <math>x'=x\cos\varphi-y\sin\varphi,</math>
: <math>y'=x\sin\varphi+y\cos\varphi,</math>
где <math>\varphi</math> — угол поворота
: <math>x'=x\cos\varphi+y\sin\varphi,</math>
: <math>y'=x\sin\varphi-y\cos\varphi.</math>
В [[Планиметрия|планиметрии]] поворот около точки [центра] <math>O</math> на угол поворота <math>\alpha</math> обозначается также <math> R^{\alpha}_{O} </math>, где <math> \alpha \in ( -\pi; \pi ]. </math><br /> Поворот на угол <math>\beta' = \alpha + 2 \pi \cdot n ,</math> где <math>n \in \Z</math> и <math> \alpha \in ( -\pi; \pi ] </math> отождествляется с поворотом <math> R^{\alpha}_{O} </math> (угол поворота на полный угол <math> 2 \pi ~ (360^\circ) </math> зачастую также называется [[Оборот (единица измерения)|оборотом]]).<br />
Если углы поворотов <math>\alpha, \beta</math> и их сумма <math>\alpha + \beta</math> заключены в пределах от <math> - \pi </math> до <math> \pi ,</math> то при последовательном выполнении ([[Композиция функций|композиции]]) поворотов их углы складываются (см. также [[#Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид)]]):
: <math> R^{\beta}_{O} \circ R^{\alpha}_{O} = R^{\alpha+\beta}_{O} ,</math
причём композиция двух поворотов обладает свойством коммутативности:
: <math> R^{\beta}_{O} \circ R^{\alpha}_{O} = R^{\alpha}_{O} \circ R^{\beta}_{O}.</math>
Строка 33 ⟶ 41 :
=== Матричный вид ===
При использовании матричного подхода точку <math> (x, y) </math> записывают в виде [[
: <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</math>.
Строка 42 ⟶ 50 :
=== Комплексный вид ===
Вращение точки на угол <math> \theta </math> можно осуществить умножением <math> e ^ {i \theta} </math>, используя [[Формула Эйлера
▲Точку можно вращать с помощью комплексных чисел. Множество всех этих чисел геометрически представляет собой двумерную плоскость. Точка <math> (x, y) </math> на плоскости представлена комплексным числом <math>~ z = x + iy </math>.
▲Вращение точки на угол <math> \theta </math> можно осуществить умножением <math> e ^ {i \theta} </math>, используя [[Формула Эйлера | формулу Эйлера]]
: <math>\begin{align}
Строка 62 ⟶ 69 :
=== Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид) ===
Пусть совершается вначале поворот вокруг точки <math>a</math> на угол <math>\alpha</math>, затем поворот вокруг точки <math>b</math> на угол <math>\beta</math>. И пусть точки <math>a</math> и <math>b</math> представлены в виде комплексных чисел вида <math>x + i y</math>. Положительным считается поворот против часовой стрелки.
Такая композиция поворотов эквивалентна повороту на угол <math> \gamma~= \alpha + \beta </math> вокруг точки <math>c</math>, которая вычисляется по формуле <math>
где <math>\alpha' = \frac \alpha 2</math>, а <math>\gamma' = \frac \gamma 2</math>
Строка 71 ⟶ 77 :
== Свойства ==
* Если [[Репер (аффинная геометрия)|репер]] привязан к центру вращения, то оно реализуется [[ортогональная матрица|ортогональной матрицей]].
** Вращения
** Вращения двумерного пространства ([[плоскость (математика)|плоскости]]) образуют соответственно группы O(2) и [[SO(2)]] (изоморфную [[U(1)]]).
Строка 79 ⟶ 85 :
== См. также ==
* [[Ортогональное преобразование]]▼
* [[Ортогональная матрица]]▼
* [[Специальная ортогональная группа]]▼
* [[Группа вращений]]
* [[Матрица поворота]]
▲* [[Вращательное движение]] — процесс непрерывного поворота в механике.
▲* [[Ортогональное преобразование]]
▲* [[Специальная ортогональная группа]]
* [[Угловая скорость]]
{{нет ссылок|дата=7 июня 2019}}
[[Категория:Движения пространства]]▼
▲[[Категория:Движения пространства]]
| |||