Ecuație de continuitate

În absenţa unei surse de masă, pentru un volum material $\tau$, masa conţinută nu variază în timp, ceea ce înseamnă că

${\frac {d}{dt}}\int _{\tau }^{}\rho \,d\tau =0$

Dacă se consideră un volum de control oarecare fix $\tau *$, fluxul de masă care traversează suprafaţa $\sigma *$, ce înconjoară volumul $\tau *$, trebuie să se regăsească în variaţia masei volumului de control

$\int _{\tau *}^{}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,d\tau =\int _{\sigma *}^{}{\rho }{{\overrightarrow {V}}{\overrightarrow {n}}}\,d\sigma$

sau ţinând seama de relaţia Gauss-Ostrogradski

$\int _{\tau *}^{}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,d\tau -\int _{\tau *}^{}{\nabla (\rho }{{\overrightarrow {V}})}\,d\tau =0$

Deoarece nu s-a făcut nici o ipoteză asupra mărimii volumului $\tau *$, se poate face ca acesta să tindă spre zero, adică

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\nabla (\rho }{{\overrightarrow {V}})}=0$

care este ecuaţia de continuitate valabilă în oricare punct al spaţiului fluid.

Vezi şi

• Operatorul $\nabla$