Pol (matematică): Diferență între versiuni
SpBot (discuție | contribuții) m Robot interwiki: Adăugat: nl:Pool (complexe analyse), pt:Polo (análise complexa) |
m wl |
||
(Nu s-au afișat 18 versiuni intermediare efectuate de alți 13 utilizatori) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
[[ |
[[Fișier:Gamma abs2.png|right|thumb|Valoarea absolută a [[Funcţie Gama|funcției Gama]]. Aceasta arată că o funcție tinde la infinit în poli (stânga). În dreapta, funcția Gama nu are poli, ea doar crește rapid.]] |
||
În [[analiza complexă]], un '''pol''' al unei [[ |
În [[analiza complexă]], un '''pol''' al unei [[Funcție olomorfă|funcții olomorfe]] este un anumit tip de [[singularitate (matematică) |singularitate]] care se comportă ca și singularitatea 1/''z''<sup>''n''</sup> la ''z'' = 0. Aceasta înseamnă că, în particular, un pol al funcției ''f''(''z'') este un punct ''z'' = ''a'' cu proprietatea că ''f''(''z'') tinde uniform la infinit când ''z'' tinde la ''a''. |
||
== |
== Definiție == |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
De mai sus se pot deduce câteva caracterizări echivalente: |
De mai sus se pot deduce câteva caracterizări echivalente: |
||
Dacă ''n'' este de ordinul polului ''a'', atunci neapărat ''g''(''a'') ≠ 0 pentru |
Dacă ''n'' este de ordinul polului ''a'', atunci neapărat ''g''(''a'') ≠ 0 pentru funcția ''g'' din expresia de mai sus. Deci se poate scrie |
||
:<math>f(z) = \frac{1}{h(z)}</math> |
:<math>f(z) = \frac{1}{h(z)}</math> |
||
pentru un ''h'' olomorfă pe o vecinătate a lui a. Deci informal se poate spune că polii apar ca reciproce ale zerourilor |
pentru un ''h'' olomorfă pe o vecinătate a lui a. Deci informal se poate spune că polii apar ca reciproce ale zerourilor funcțiilor olomorfe. |
||
De asemenea, olomorfia lui ''g'', ''f'' poate fi exprimată ca: |
De asemenea, olomorfia lui ''g'', ''f'' poate fi exprimată ca: |
||
<math>f(z) = \frac{a_{-n}}{ (z - a)^n } + \cdots + \frac{a_{-1}}{ (z - a) } + \sum_{k \geq 0} a_k (z - a)^k.</math> |
<math>f(z) = \frac{a_{-n}}{ (z - a)^n } + \cdots + \frac{a_{-1}}{ (z - a) } + \sum_{k \geq 0} a_k (z - a)^k.</math> |
||
⚫ | Aceasta este o [[serie Laurent]] cu parte principală finită. |
||
== Observaţii == |
|||
⚫ | Aceasta este o [[serie Laurent]] cu parte principală finită. Funcția olomorfă ∑<sub>''k''≥0</sub>''a<sub>k</sub>'' (''z - a'')<sup>''k''</sup> (pe ''U'') se numește ''partea regulată'' a lui ''f''. deci punctul ''a'' este un pol de ordinul ''n'' ''f'' [[dacă și numai dacă]] toți termenii dezvoltării în sumă Laurent a lui ''f'' în jurul lui ''a'' dincolo de gradul −''n'' dispar, iar termenul de gradul −''n'' este nenul. |
||
⚫ | |||
== Observații == |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
O funcţie olomorfă ale căre singularităţi sunt toate poli se numeşte [[meromorfică]]. |
|||
O funcție olomorfă ale cărei singularități sunt toate poli se numește [[funcție meromorfă|meromorfă]]. |
|||
⚫ | |||
{{Portal|matematică}} |
|||
[[de:Polstelle]] |
|||
⚫ | |||
[[en:Pole (complex analysis)]] |
|||
[[Categorie:Analiză complexă]] |
|||
[[eo:Poluso (kompleksa analitiko)]] |
|||
[[es:Polo (análisis complejo)]] |
|||
[[fa:قطب (آنالیز مختلط)]] |
|||
[[fr:Pôle (mathématiques)]] |
|||
[[he:קוטב (אנליזה מרוכבת)]] |
|||
[[it:Polo (analisi complessa)]] |
|||
[[nl:Pool (complexe analyse)]] |
|||
[[pl:Biegun (matematyka)]] |
|||
[[pt:Polo (análise complexa)]] |
|||
[[ru:Полюс (комплексный анализ)]] |
|||
[[sl:Pol (kompleksna analiza)]] |
|||
[[sv:Pol (matematik)]] |
|||
[[tr:Kutup (karmaşık analiz)]] |
|||
[[zh:极点]] |
Versiunea curentă din 5 iunie 2023 07:58
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Gamma_abs2.png/220px-Gamma_abs2.png)
În analiza complexă, un pol al unei funcții olomorfe este un anumit tip de singularitate care se comportă ca și singularitatea 1/zn la z = 0. Aceasta înseamnă că, în particular, un pol al funcției f(z) este un punct z = a cu proprietatea că f(z) tinde uniform la infinit când z tinde la a.
Definiție
[modificare | modificare sursă]Formal, se presupune că U este o submulțime deschisă a planului complex C, a este un element din U iar f : U − {a} → C este o funcție olomorfă. Dacă există o funcție olomorfă g : U → C și un întreg nenegativ n astfel încât
pentru orice z din U − {a}, atunci a se numește pol al lui f. Cel mai mic număr n ce satisface condiția de mai sus se numește ordinul polului. Un pol de ordinul 1 este denumit și pol simplu. Un pol de ordinul 0 este o singularitate eliminabilă.
De mai sus se pot deduce câteva caracterizări echivalente:
Dacă n este de ordinul polului a, atunci neapărat g(a) ≠ 0 pentru funcția g din expresia de mai sus. Deci se poate scrie
pentru un h olomorfă pe o vecinătate a lui a. Deci informal se poate spune că polii apar ca reciproce ale zerourilor funcțiilor olomorfe.
De asemenea, olomorfia lui g, f poate fi exprimată ca:
Aceasta este o serie Laurent cu parte principală finită. Funcția olomorfă ∑k≥0ak (z - a)k (pe U) se numește partea regulată a lui f. deci punctul a este un pol de ordinul n f dacă și numai dacă toți termenii dezvoltării în sumă Laurent a lui f în jurul lui a dincolo de gradul −n dispar, iar termenul de gradul −n este nenul.
Observații
[modificare | modificare sursă]Dacă prima derivată a unei funcții f are un pol simplu în a, atunci a este un punct de ramificare al lui f. (reciproca nu este neapărat valabilă).
O singularitate neeliminabilă care nu este pol sau punct de ramificare se numește singularitate esențială.
O funcție olomorfă ale cărei singularități sunt toate poli se numește meromorfă.