Pol (matematică): Diferență între versiuni

Conținut șters Conținut adăugat

Aliniat

Versiunea curentă din 5 iunie 2023 07:58

În analiza complexă, un pol al unei funcții olomorfe este un anumit tip de singularitate care se comportă ca și singularitatea 1/zⁿ la z = 0. Aceasta înseamnă că, în particular, un pol al funcției f(z) este un punct z = a cu proprietatea că f(z) tinde uniform la infinit când z tinde la a.

Definiție

Formal, se presupune că U este o submulțime deschisă a planului complex C, a este un element din U iar f : U − {a} → C este o funcție olomorfă. Dacă există o funcție olomorfă g : U → C și un întreg nenegativ n astfel încât

f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}

pentru orice z din U − {a}, atunci a se numește pol al lui f. Cel mai mic număr n ce satisface condiția de mai sus se numește ordinul polului. Un pol de ordinul 1 este denumit și pol simplu. Un pol de ordinul 0 este o singularitate eliminabilă.

De mai sus se pot deduce câteva caracterizări echivalente:

Dacă n este de ordinul polului a, atunci neapărat g(a) ≠ 0 pentru funcția g din expresia de mai sus. Deci se poate scrie

f(z)={\frac {1}{h(z)}}

pentru un h olomorfă pe o vecinătate a lui a. Deci informal se poate spune că polii apar ca reciproce ale zerourilor funcțiilor olomorfe.

De asemenea, olomorfia lui g, f poate fi exprimată ca:

$f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}.$

Aceasta este o serie Laurent cu parte principală finită. Funcția olomorfă ∑_k≥0a_k (z - a)^k (pe U) se numește partea regulată a lui f. deci punctul a este un pol de ordinul n f dacă și numai dacă toți termenii dezvoltării în sumă Laurent a lui f în jurul lui a dincolo de gradul −n dispar, iar termenul de gradul −n este nenul.

Observații

Dacă prima derivată a unei funcții f are un pol simplu în a, atunci a este un punct de ramificare al lui f. (reciproca nu este neapărat valabilă).

O singularitate neeliminabilă care nu este pol sau punct de ramificare se numește singularitate esențială.

O funcție olomorfă ale cărei singularități sunt toate poli se numește meromorfă.

Portal matematică

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-[[Image:Gamma abs2.png|right|thumb|Valoarea absolută a [[Funcţie Gama|funcţiei Gama]]. Aceasta arată că o funcţie tinde la infinit în poli (stânga). În dreapta, funcţia Gama nu are poli, ea doar creşte rapid.]]
+[[Fișier:Gamma abs2.png|right|thumb|Valoarea absolută a [[Funcţie Gama|funcției Gama]]. Aceasta arată că o funcție tinde la infinit în poli (stânga). În dreapta, funcția Gama nu are poli, ea doar crește rapid.]]
-În [[analiza complexă]], un '''pol''' al unei [[Funcţie olomorfă|funcţii olomorfe]] este un anumit tip de [[singularitate matematică|singularitate]] care se comportă ca şi singularitea 1/''z''<sup>''n''</sup> la ''z'' = 0. Aceasta înseamnă că, în particular, un pol al funcţiei ''f''(''z'') este un punct ''z'' = ''a'' cu proprietatea că ''f''(''z'') tinde uniform la infinit când ''z'' tinde la ''a''.
+În [[analiza complexă]], un '''pol''' al unei [[Funcție olomorfă|funcții olomorfe]] este un anumit tip de [[singularitate (matematică) |singularitate]] care se comportă ca și singularitatea 1/''z''<sup>''n''</sup> la ''z'' = 0. Aceasta înseamnă că, în particular, un pol al funcției ''f''(''z'') este un punct ''z'' = ''a'' cu proprietatea că ''f''(''z'') tinde uniform la infinit când ''z'' tinde la ''a''.
-== Definiţie ==
+== Definiție ==
+Formal, se presupune că ''U'' este o [[submulțime deschisă]] a planului complex '''C''', ''a'' este un element din ''U'' iar ''f'' : ''U'' &minus; {''a''} → '''C''' este o [[funcție olomorfă]]. Dacă există o funcție olomorfă ''g'' : ''U'' → '''C''' și un întreg nenegativ ''n'' astfel încât
+:<math> f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n} </math>
-Formal, se presupune că ''U'' este o [[submulţime deschisă]] a planului complex '''C''', ''a'' este un element din ''U'' iar ''f'' : ''U'' &minus; {''a''} → '''C''' este o [[funcţie olomorfă]]. Dacă există o funcţie olomorfă ''g'' : ''U'' → '''C''' şî un întreg nenegativ ''n'' astfel încât
+pentru orice ''z'' din ''U'' &minus; {''a''}, atunci ''a'' se numește '''pol al lui ''f'''''. Cel mai mic număr ''n'' ce satisface condiția de mai sus se numește ''ordinul polului''. Un pol de ordinul 1 este denumit și '''pol simplu'''. Un pol de ordinul 0 este o [[singularitate eliminabilă]].
-:<math> f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n} </math>
-pentru orice ''z'' din ''U'' &minus; {''a''}, atunci ''a'' se numeşte '''pol al lui ''f'''''. Cel mai mic număr ''n'' ce satisface condiţia de mai sus se numeşte  ''order al polului'''. Un pol de ordinul 1 este denumit şi '''pol simplu'''. Un pol de ordinul 0 este o singularitate eliminabilă.
 De mai sus se pot deduce câteva caracterizări echivalente:
-Dacă ''n'' este de ordinul polului ''a'', atunci neapărat ''g''(''a'') &ne; 0 pentru funcţia ''g'' din expresia de mai sus. Deci se poate scrie
+Dacă ''n'' este de ordinul polului ''a'', atunci neapărat ''g''(''a'') &ne; 0 pentru funcția ''g'' din expresia de mai sus. Deci se poate scrie
 :<math>f(z) = \frac{1}{h(z)}</math>
-pentru un ''h'' olomorfă pe o vecinătate a lui a. Deci informal se poate spune că polii apar ca reciproce ale zerourilor funcţiilor olomorfe.
+pentru un ''h'' olomorfă pe o vecinătate a lui a. Deci informal se poate spune că polii apar ca reciproce ale zerourilor funcțiilor olomorfe.
 De asemenea, olomorfia lui ''g'', ''f'' poate fi exprimată ca:
 <math>f(z) = \frac{a_{-n}}{ (z - a)^n } + \cdots + \frac{a_{-1}}{ (z - a) } + \sum_{k \geq 0} a_k (z - a)^k.</math>
-Aceasta este o [[serie Laurent]] cu parte principală finită. Funcţia olomorfă &sum;<sub>''k''&ge;0</sub>''a<sub>k</sub>'' (''z - a'')<sup>''k''</sup> (pe ''U'') se numeşte ''partea regulată'' a lui ''f''. deci punctul''a'' este un pol de ordinul ''n''  ''f'' dacă şi numai dacă toţi termenii dezvoltării în sumă Laurent a lui ''f'' în jurul lui ''a'' dincolo de gradul &minus;''n'' dispare, iar termenul de gradul &minus;''n'' este nenul.
-== Observaţii ==
+Aceasta este o [[serie Laurent]] cu parte principală finită. Funcția olomorfă &sum;<sub>''k''&ge;0</sub>''a<sub>k</sub>'' (''z - a'')<sup>''k''</sup> (pe ''U'') se numește ''partea regulată'' a lui ''f''. deci punctul ''a'' este un pol de ordinul ''n'' ''f'' [[dacă și numai dacă]] toți termenii dezvoltării în sumă Laurent a lui ''f'' în jurul lui ''a'' dincolo de gradul &minus;''n'' dispar, iar termenul de gradul &minus;''n'' este nenul.
-Dacă prima derivată a unei funcţii ''f'' are un pol simplu în ''a'', atunci ''a'' este un punct de ramificare al lui ''f''. (reciproca nu este neapărat valabilă).
+== Observații ==
-O singularitate neeliminabilă care nu este pol sau [[punct de ramificare]] se numeşte [[singularitate esenţială]].
+Dacă prima derivată a unei funcții ''f'' are un pol simplu în ''a'', atunci ''a'' este un punct de ramificare al lui ''f''. (reciproca nu este neapărat valabilă).
+O singularitate neeliminabilă care nu este pol sau [[punct de ramificare]] se numește [[singularitate esențială]].
-O funcţie olomorfă ale căre singularităţi sunt toate poli se numeşte [[meromorfică]].
+O funcție olomorfă ale cărei singularități sunt toate poli se numește [[funcție meromorfă|meromorfă]].
-[[Category:Analiză matematică]]
+{{Portal|matematică}}
-[[de:Polstelle]]
+[[Categorie:Analiză matematică]]
-[[en:Pole (complex analysis)]]
+[[Categorie:Analiză complexă]]
-[[eo:Poluso (kompleksa analitiko)]]
-[[es:Polo (análisis complejo)]]
-[[fa:قطب (آنالیز مختلط)]]
-[[fr:Pôle (mathématiques)]]
-[[he:קוטב (אנליזה מרוכבת)]]
-[[it:Polo (analisi complessa)]]
-[[nl:Pool (complexe analyse)]]
-[[pl:Biegun (matematyka)]]
-[[pt:Polo (análise complexa)]]
-[[ru:Полюс (комплексный анализ)]]
-[[sl:Pol (kompleksna analiza)]]
-[[sv:Pol (matematik)]]
-[[tr:Kutup (karmaşık analiz)]]
-[[zh:极点]]