Vizualizare sursă pentru „Dimensiune Hausdorff”

În cadrul [[topologie]]i, '''dimensiunea Hausdorff''' este un număr real pozitiv, asociat unui [[spațiu metric]] și extinde noțiunea de dimensiune a unui [[spațiu vectorial]] real. A fost introdusă în [[1918]] de către [[Felix Hausdorff]] și dezvoltată ulterior de către [[Abram Samoilovici Bezicovici]], de unde și denumirea de '''dimensiune Hausdorff-Bezicovici'''.

== Definiție ==
[[Fișier:Sierpinski deep.svg|thumb|right|300px|Triunghiul lui Sierpinski, un spaţiu având dimensiunea fractală ln 3/ln 2, ori log<sub>2</sub>3, care este circa 1,58.]]
Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui [[spațiu metric]].

: <math> H^s_{\delta}(E) = \inf \left\{ \sum_{i=1}^{\infty} diam(A_i)^s  \right\} </math>

: <math> H^s(E) = \lim_{\delta \rightarrow 0}H^s_{\delta}(E) </math>

: <math> \dim_H(E) = \inf \left\{s, H^s(E) = 0  \right\} = \sup \left\{s, H^s(E) = \infty\right\} </math>

== Exemplu ==
Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul <math> X = [0, 1] \subset \mathbb{R} </math> :

* Pentru <math> s > 1 \, </math>

::Pentru <math>  \varepsilon > 0 \, </math> , fie numărul natural <math> N_{\varepsilon} </math> astfel ales încât <math> \frac{1}{N_{\varepsilon}} < \varepsilon </math> .
::Cu acoperirea specială

::<math> A_i = \big[ \frac{i-1}{N_{\varepsilon}} , \frac{i}{N_{\varepsilon}}\big] </math> &nbsp; pentru <math> 1 \le i \le N_{\epsilon} , A_i = 1  </math> pentru <math> i \ge N_{\varepsilon} </math>.
::Urmează

::<math> H^s_\varepsilon(X) \le N_{\varepsilon} \cdot \big( \frac{1}{N_{\varepsilon}} \big)^s = \big( \frac{1}{N_{\varepsilon}} \big)^{s-1} < \varepsilon^{s-1} </math>.


* Pentru <math> s < 1 \, </math>

::Deoarece <math> d(A_i) < \varepsilon </math> , avem:

::<math> \sum d(A_i)^s = \sum \frac{d(A_i)}{d(A_i)^{1-s}} > \sum \frac{d(A_i)}{\varepsilon^{1-s}} </math> .

::Cum însă <math> A_i \,</math> intervalul <math> X \, </math> acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1:

:::::<math> \ge \frac{1}{\varepsilon^{1-s}} .</math>

::Rezultă:

::<math> H^s_\varepsilon(X) \ge \frac{1}
{\varepsilon^{1-s}} </math> .

::Deci:

::<math> H^s(X) = \infty \,</math> .

* Pentru <math> s = 1 \, </math>:

::Considerând cele două cazuri anterioare, obținem:

::<math> H^1(X) = 1 \,</math> .

::Așadar:

::<math> \dim X = 1 \,</math>.

== Cazuri concrete ==

* [[Cerc]]ul are dimensiune Hausdorff 1.

* Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este &nbsp; <math> \frac{\ln 2}{\ln 3} </math> .

* Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este &nbsp; <math> \frac{\ln 3}{\ln 2} </math> .

* Dimensiunea Hausdorff a traiectoriei [[mișcare browniană|mișcării browniene]] tinde către 2.


== Bibliografie ==
* Besicovitch, A.S. - ''On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions'', Mathematische Annalen 101 (1929)
* [[Benoit Mandelbrot|Mandelbrot, Benoît]] - ''The Fractal Geometry of Nature'', Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0-7167-1186-9.

== Vezi și ==
* [[Fractal]]

== Legături externe ==
* {{en icon}} [http://arxiv.org/abs/math/0305399 Despre dimensiunea Hausdorff]

{{Casetă de navigare geometrie dimensională}}

[[Categorie:Matematică]]
[[Categorie:Topologie]]
[[Categorie:Fractali]]