Număr complex

În matematică, numerele complexe au apărut ca soluții ale ecuațiilor de forma $\ x^{2}+p=0$, cu p număr real strict pozitiv, așa cum numerele iraționale apăruseră din necesitatea de a descrie soluții ale ecuațiilor de forma $\ x^{2}-q=0$, unde q nu este un pătrat perfect.

Formal, mulțimea numerelor complexe reprezintă mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, $\ (a,b)$, înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos:

$\ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ ,

$\ (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)$ .

Mulțimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu $\mathbb {C}$.

Elementul neutru al operației de adunare este $\ (0,0)$ iar elementul neutru al operației de înmulțire este $\ (1,0)$.

Deoarece $\ (a,0)+(c,0)=(a+c,0)$ și $\ (a,0)(c,0)=(ac,0)$, mulțimea numerelor reale, $\mathbb {R}$, poate fi privită ca submulțime a lui $\mathbb {C}$, identificînd numărul real $\ a$ cu $\ (a,0)$.

Numărul complex $\ (0,1)$ are proprietatea $\ (0,1)(0,1)=(-1,0)$ , adică $\ (0,1)^{2}=(-1,0)$ identificat cu numărul real $\ -1$. Niciun număr real nu are această proprietate; de aceea el a fost denumit "numărul $\ i$ " („i” de la „imaginar”).

Numerele complexe de forma $\ (0,x)$ se numesc „numere imaginare”.

Forma algebrică

Numărul complex $\ (0,1)$ este notat cu $\ i$ și numit „numărul i”. Are proprietatea $\ i^{2}=-1$.

Ținînd cont de cele de mai sus, un număr complex $\ (a,b)$ poate fi scris $\ (a,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)=a+bi$.

• Forma algebrică a unui număr complex este $\ z=a+bi$, unde a și b sunt numere reale.
• $\ (0,1)=i$ numit unitatea imaginară; $\ (0,0)=0$; $\ (1,0)=1$.
• Pentru un număr complex $\ z=a+bi$, $\ a$ se numește partea reală a lui $\ z$ și se notează $\ a=Re(z)$, iar $\ b$ se numește partea imaginară a lui $\ z$ și se notează $\ b=Im(z)$.
• Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma: $\ z=bi$) se mai numește „număr imaginar”.
• Egalitatea a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d.
• Suma a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d) = (a+c) + i(b+d).
• Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w = (c,d) = c + di este zw = (ac-bd,bc+ad) = (ac-bd) + i(bc+ad).
• Exemple: pentru z = (2,3) = 2 + 3i și w = (1,4) = 1 + 4i avem suma z + w = (3,7) = 3 + 7i și produsul zw = (-10,11) = -10 + 11i.

Forma trigonometrică

Orice număr complex a cărui formă algebrică este $z=a+bi$ poate fi scris și sub formă trigonometrică, adică sub forma $z=r\,(\cos \varphi +i\sin \varphi )\,$, unde $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ este modulul numărului complex z, iar $\varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)$ este argumentul acestui număr complex .

• $z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}(cos(t_{1}+t_{2})+isin(t_{1}+t_{2}))$

• ${z_{1} \over z_{2}}=$ ${r_{1} \over r_{2}}(cos(t_{1}-t_{2})+isin(t_{1}-t_{2}))$

• $\ z^{n}=r^{n}(cos(nt)+isin(nt))$

• ${\sqrt[{n\,}]{z}}={\sqrt[{n\,}]{r}}(cos$${{t+2k\pi } \over {n}}+isin{{t+2k\pi } \over {n}})$, k={0,1,2,... n-1}

Forma exponențială

Numărul complex a cărui formă trigonometrică este $z=r\,(\cos \varphi +i\sin \varphi )\,$ poate fi scris sub forma exponențială $z=r\,\mathrm {e} ^{i\varphi }\,$. Această posibilitate se datorează valabilității formulei lui Euler.

Conjugatul unui număr complex

Articol principal: Conjugată complexă.

• Conjugatul complex al unui numar $\ z=a+bi$ este numărul complex ${\bar {z}}=a-bi$ .
• Proprietățile conjugatului complex :
  • ${\overline {\overline {z}}}=z$
  • ${\bar {z}}{\bar {w}}={\overline {zw}}$
  • ${\bar {z}}+{\bar {w}}={\overline {z+w}}$
  • ${\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}$ $\Leftrightarrow$ ${\overline {\left({z \over w}\right)}}={{\bar {z}} \over {\bar {w}}}$

Modulul unui număr complex

• Modulul numărului complex $\ z=a+bi$ este numărul real $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.
• Proprietățile modulului:
  • $|z|\geq 0,\forall z\in \mathbb {C}$
  • $|z|=0\Leftrightarrow z=0$
  • $|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|$
  • $|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|$ (inegalitatea triunghiului)
  • $|z_{1}\cdot z_{2}\cdot ...\cdot z_{n}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|\cdot ...\cdot |z_{n}|$
  • $|z_{1}^{n}|={|z_{1}|}^{n}$
  • $\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={{|z_{1}|} \over {|z_{2}|}}$
  • Are loc identitatea $|z|^{2}=z{\bar {z}}$ și deci ${1 \over z}={{\bar {z}} \over {|z|^{2}}}$ , dacă $\ z\neq 0$
  • $|\pm i|=1$.

Puterile numerelor complexe

Puterile lui $i$

$\ i^{2}=-1$$\ =>$$\ i^{3}=$$\ i^{2}\cdot i=i\cdot (-1)=-i$

$\ i^{3}=-i$$\ =>$$\ i^{4}=$$\ i^{3}\cdot i=i\cdot (-i)=1$

Generalizare:

• $\ i^{n}=1$ cu $\ n$ de forma $\ 4k$

• $\ i^{n}=i$ cu $\ n$ de forma $\ 4k+1$

• $\ i^{n}=-1$ cu $\ n$ de forma $\ 4k+2$

• $\ i^{n}=-i$ cu $\ n$ de forma $\ 4k+3$

Puterile naturale ale numerelor complexe

Pentru puteri naturale $n$ ale numerelor complexe scrise sub forma polarǎ $z=r\cdot e^{i\cdot \varphi }$ avem formula de calcul:

• $z^{n}=r^{n}\cdot e^{i\cdot n\cdot \varphi }$

sau, folosind forma algebricǎ a numerelor complexe $z=a+i\cdot b$, obținem

• $z^{n}=\sum _{k=0,k\,par}^{n}{n \choose k}\cdot (-1)^{\frac {k}{2}}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}+i\sum _{k=1,k\,impar}^{n}{n \choose k}\cdot (-1)^{\frac {k-1}{2}}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}$,

unde ${n \choose k}=C_{n}^{k}$ reprezintǎ combinǎri de $n$ luate câte $k$.

Puterile complexe ale numerelor complexe

Dacǎ baza $z$ și exponentul $\omega$ al puterii sunt ambele numere complexe, atunci

• $z^{\omega }:=e^{\omega \cdot \ln z}$

Reprezentarea grafică a numerelor complexe

Reprezentarea grafică a numerelor complexe

Așa cum unui număr real i se poate asocia un punct de pe o dreaptă, tot astfel, unui număr complex i se poate asocia un punct aflat într-un plan. Numărului complex z = a + bi i se asociază punctul M(a,b).

Această asociere stă la baza diagramelor Argand.

Formula lui Euler și identitatea lui Euler

$\mathrm {e} ^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \,$

În cazul în care φ = π se obține "Identitatea lui L. Euler".

$\mathrm {e} ^{i\pi }=\ -1\,$

Vezi și

• Cuaternion

Legături externe

• John and Betty's Journey Through Complex Numbers
• SOS Math - Complex Variables
• Algebraic Structure of Complex Numbers de la situl cut-the-knot
• A history of complex numbers.
• numere complexe pe mathworld