Análise não padronizada

Gottfried Wilhelm Leibniz, por Bernhard Francke.

Análise não padronizada é um ramo da matemática desenvolvido desde 1960 para abordar o conceito de infinitesimal de maneira rigorosa. Para isso, um novo conceito é introduzido, o objeto padrão (ou padronizado) e objeto não padrão (ou não padronizado), ou mais precisamente modelo padrão ou teoria dos modelos. Pode-se, então, apresentar os principais resultados de análise matemática de uma forma mais intuitiva que a análise usual.

Definições Básicas

Nesta seção, construiremos o corpo hiper-real $^{*}\!\mathbb {R}$. Seja $\mathbb {R}$ o corpo dos números reais (padrão) e seja $\mathbb {N}$ o semianel dos números naturais. O conjunto $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ de todas as sequências de números reais com operações ponto-a-ponto não forma um corpo, mas obteremos o corpo dos hiperreais $^{*}\!\mathbb {R}$ a partir deste conjunto da seguinte forma. Tome um ultrafiltro livre ${\mathcal {U}}$ em $\mathbb {N}$ isto é, ${\mathcal {U}}\subset 2^{\mathbb {N} }$ é tal que

1. $\varnothing \notin {\mathcal {U}}$;
2. $A\in {\mathcal {U}}\land B\in {\mathcal {U}}\implies A\cap B\in {\mathcal {U}}$
3. $A\subset \mathbb {N} \land A\notin {\mathcal {U}}\implies \mathbb {N} \setminus A\in {\mathcal {U}}$
4. $A$ subconjutno finito de $\mathbb {N}$ $\implies \mathbb {N} \setminus A\in {\mathcal {U}}$

Estabelece-se que duas sequências de números reais $u_{\bullet }=(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ and $v_{\bullet }=(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ são equivalentes, $u_{\bullet }\bumpeq v_{\bullet }$, se existe um membro $U$ do ultrafiltro em que as sequências coincidam: $u_{\bullet }(U)=v_{\bullet }(U)$. Isto equivale a dizer que o conjunto de indices em que elas são iguais está no ultrafiltro, $[u_{\bullet }=v_{\bullet }]=\left\{n\in \mathbb {N} \vert u_{n}=v_{n}\right\}\in {\mathcal {U}}$. A relação $\bumpeq$ é de fato de equivalência; a transitividade se deve ao axioma 2 de ultrafiltro e à inclusão ${\textstyle [u_{\bullet }=w_{\bullet }]\supset [u_{\bullet }=v_{\bullet }]\cap [u_{\bullet }=v_{\bullet }]}$. Assim, definem-se os números reais não-padrão ou números hiperreais como $^{*}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\!\bumpeq$, isto é, quocientando o conjunto das sequências pela relação de coincidirem em um membro do ultrafitro. Chama-se a esta construção feita de construção por ultrapotências ($^{*}\mathbb {R}$ é o ultraproduto de uma cópia de $\mathbb {R}$ para cada número natural com respeito a um ultrafiltro dos naturais que contém todos os conjuntos cofinitos). Definem-se as operações em $^{*}\mathbb {R}$ por meio das operações ponto-a-ponto nos representantes. Denotando a classe de uma sequência $u_{\bullet }$ em $^{*}\mathbb {R}$ como $[u_{\bullet }]$, põe-se:

• $[u_{\bullet }]+[v_{\bullet }]=[u_{\bullet }+v_{\bullet }]$
• $[u_{\bullet }]\cdot [v_{\bullet }]=[u_{\bullet }\cdot v_{\bullet }]$

Observe que os números reais padrão $\mathbb {R}$ estão mergulhados em $^{*}\!\mathbb {R}$ como as imagens das sequências constantes.

Definem-se também o módulo de um número hiperreal como $|[u_{\bullet }]|=[|u_{\bullet }|]$. Estende-se para $^{*}\!\mathbb {R}$ a relação de ordem de $\mathbb {R}$ pondo $[u_{\bullet }]<[v_{\bullet }]:\iff \exists U\in {\mathcal {U}}\;\;\forall i\in U\;\;u_{i}<v_{i}$. Verifica-se que todas essas definições se comportam como esperado para os números padrão vistos dentro do conjunto dos hiperreais.

Tome um número não-padrão $r\in {^{*}\mathbb {R} }$. Diz-se que $r$

• é um infinitésimo ou um número infinitesimal se $r<1/n$ para todo natural padrão $n\in \mathbb {N}$;
• é um número finito ou limitado se $|r|<n$ para todo natural padrão $n\in \mathbb {N}$;
• é um número infinito ou ilimitado se $|r|>n$ para todo natural padrão $n\in \mathbb {N}$.

Ver também

• Cálculo não padronizado