Identidade de Sommerfeld

A Identidade de Sommerfeld é usada na teoria de propagação de ondas:

${\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}$

no qual

$\mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}$

no qual considera-se a parte real positiva, para assegurar a convergência da integral no limite $z\rightarrow \pm \infty$.

A função $I_{0}$ é a Função de Bessel.

Forma alternativa:

${\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}$

Onde

$\ k_{z}={\sqrt {(k_{0}-k_{\rho })}}$

A interpretação física é de uma onda esférica decomposta pela soma de ondas cilíndricas na direção $\rho$, multiplicada por uma onda plana na direção $z$. A soma deve ser realizada para todos os números de onda $k_{\rho }$.