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Quatro dos métodos do somatório de Riemann para aproximação da área sob curvas. Métodos à direita e à esquerda fazem a aproximação usando os pontos finais à direita e à esquerda de cada subintervalo, respectivamente. Métodos máximo e mínimo fazem a aproximação usando o maior e menor valores de pontos finais de cada subintervalo, respectivamente. Os valores das somas convergem como os subintervalos da metade superior à esquerda a baixo à direita.
Uma soma de Riemann de f sobre I com a partição P é definida como
Atenção no uso de “uma” ao invés de “a” em referência a soma de Riemann. Isso ocorre pelo fato que a escolha de no intervalo é arbitrária, dado o fato que
qualquer função f definida em um intervalo I e na partição fixada P, pode
produzir uma soma de Riemann diferente em decorrência de qual foi escolhido, desde que se mantenha verdadeiro.
Exemplo: Escolhas específicas de nos dão diferentes tipos de soma de Riemann:
Se para todo i, então S é chamado de Soma de Riemann à Esquerda;
Se para todo i, então S é chamado de Soma de Riemann à Direita;
Se para todo i, então é S é chamado de Soma de Riemann Média.
A média entre a Soma à Esquerda e a Soma à Direita é chamada de Soma Trapezoidal.
Se é dado que onde é o supremo de f sobre , então S é definido como uma Soma de Riemann Superior;
De forma semelhante, se é o ínfimo de f sobre , então S é definido como uma Soma de Riemann Inferior.
Qualquer soma de Riemann em dada partição (isto é, qualquer soma obtida
pela escolha de entre e ) está entre as somas de Riemann superior e a inferior. Uma função é
definida como integrável por Riemann se a soma inferior e superior forem se
aproximando conforme a partição se afina. Este fato pode ser também usado para
a integração numérica.
Método
Soma de Riemann à Esquerda[1]Soma de Riemann à Direita
Os quatro métodos de Riemann para a soma são geralmente melhor usados com partições de tamanhos equivalentes. O intervalo [a, b] é, portanto, dividido em n subintervalos, de comprimento
Os pontos na partição serão então
Soma de Riemann à Esquerda
Para a Soma de Riemann à Esquerda, aproxima-se a função pelo seu valor no ponto final à esquerda, dando múltiplos retângulos com base Δx e altura f(a+iΔx). Tomando para i = 0, 1, ... n-1, e adicionando as áreas resultantes temos
A soma de Riemann à esquerda resulta em uma superestimação se f está monotonicamente decrescendo nesse intervalo, e em uma subestimação se f está monotonicamente crescendo.
Soma de Riemann à Direita
Nessa soma, aproxima-se f de seu valor no ponto final à direita. São gerados, então, múltiplos retângulos de base Δx e altura f(a+Δx). Tomando para i – 1 , ..., n e adicionando as áreas resultantes se produz
Soma de Riemann Média
A soma de Riemann à direita resulta em uma subestimação se f está monotonicamente decrescendo, e uma superestimação se f está
monotonicamente crescendo. O erro na fórmula será
onde é o valor máximo do valor absoluto de nesse intervalo.
Soma de Riemann Regra Trapezoidal
Soma Média
Aproximando f no ponto médio dos intervalos expressam f(a+Δx/2) para o primeiro intervalo, para o próximo temos f(a+3Δx/2), e assim por diante até f(b-Δx/2). Somando as áreas temos
O erro dessa formula será
onde é o valor máximo do valor absoluto de nesse intervalo.
Regra Trapezoidal
Nesse caso, os valores da função f no intervalo são aproximados pela média dos valores nos pontos finais da direita e da esquerda. Dessa mesma maneira, um simples cálculo usando a formula da área
para um trapézio de lados paralelos b1, b2 e altura h produz
O erro dessa fórmula será
onde é o valor máximo do valor absoluto de
A aproximação obtida com a regra do trapézio para a função é o mesmo que a média da somas esquerdas e direitas dessa função.
Exemplo
O valor da Soma de Riemann sob a curva y=x² de 0 à 2. Conforme o número de retangulos aumenta, aproxima-se da área exata de 8/3[2]
Tomado um exemplo, a área sob a curva de y=x2 entre 0 e 2 pode ser processualmente computada usando o método de Riemann.
O intervalo [0,2] é primeiramente dividido em n subintervalos, cada um deles com comprimento de ; esse é o comprimento dos retângulos de Riemann (a seguir chamadas “caixas”). Já que será usada a soma de Riemann à direita, a sequência de coordenadas x para as caixas será . Dessa forma, a sequência de alturas das caixas será . É um fato importante que e .
A área de cada caixa será e sendo assim a soma de Riemann à direita será:
Se o limite é visualizado como n → ∞, pode-se concluir que a aproximação alcança o valor real da área sob a curva ao passo que o número de caixas aumenta.
Consequentemente:
.
Esse método concorda com a integral definida tal qual calculada nos modos mais mecânicos:
Animações
Soma de Riemann à EsquerdaSoma de Riemann à DireitaSoma de Riemann MédiaSoma de Riemann para y=x³