Ou exclusivo

Ou exclusivo chamada também disjunção exclusiva, conhecido geralmente por XOR ou por EOR, é uma operação lógica em dois operandos que resulta em um valor lógico verdadeiro se e somente se exatamente um dos operandos tem um valor verdadeiro.

Definição

A disjunção exclusiva (escrito como $\oplus$, $+$, ou ainda ≠) é uma operação sobre dois valores lógicos, tipicamente os valores de duas proposições, que produz um valor verdadeiro apenas nos casos onde exatamente um de seus operandos é verdadeiro.

Tabela-verdade da função XOR
Entradas		Saída
A	B	S
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0
Símbolo
Outras portas
AND - OR - NOT - NOR - NAND - XOR - XNOR

OR Exclusivo

p	q	$p\oplus q$
F	F	F
F	V	V
V	F	V
V	V	F

Equivalências, eliminação, e introdução

As seguintes equivalencias podem ser deduzidas, escritas com operadores lógicos, na notação matemática:

${\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)=p{\overline {q}}\oplus {\overline {p}}q\\\\&=&(p\lor q)&\land &(\lnot p\lor \lnot q)=(p+q)({\overline {p}}\oplus {\overline {q}})\\\\&=&(p\lor q)&\land &\lnot (p\land q)=(p\oplus q)({\overline {pq}})\end{matrix}}$

o Valor do XOR é verdadeiro quando o números de 1's é ímpar.

A disjunção exclusiva $p\oplus q\!$ pode ser expressa em termos da conjunção $(\land )$, da disjunção $(\lor )$, e da negação $(\lnot )$, como segue:

${\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}$

A disjunção exclusiva $p\oplus q\!$ também pode ser expressa da seguinte maneira:

${\begin{matrix}p\oplus q&=&\lnot (p\land q)\land (p\lor q)\end{matrix}}$

Esta representação do XOR pode ser útil para a construção de um circuito ou uma rede, porque ela possui um único operador de negação $(\lnot )$ e um pequeno número de operadores OR $(\lor )$ e AND$(\land )$. Como é mostrado abaixo:

${\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\&=&((p\land \lnot q)\lor \lnot p)&\land &((p\land \lnot q)\lor q)\\&=&((p\lor \lnot p)\land (\lnot q\lor \lnot p))&\land &((p\lor q)\land (\lnot q\lor q))\\&=&(\lnot p\lor \lnot q)&\land &(p\lor q)\\&=&\lnot (p\land q)&\land &(p\lor q)\end{matrix}}$

As vezes também é util escrever p XOR q da seguinte maneira:

${\begin{matrix}p\oplus q&=&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}$

Esta equivalência pode ser estabelecida aplicando a Lei de De Morgan duas vezes na quarta linha da prova acima.

O XOR também equivale a negação do bicondicional lógico.

'Ou Exclusivo' na linguagem natural

Um ponto interessante no que se refere à linguagem natural é o uso do "OU" naturalmente ser exclusivo. Observando a declaração a seguir:"Meu filho, você quer o sorvete de Cajá ou de morango?" Subentende-se que para o "filho" em questão, só existem duas opções: ou o "sorvete de Cajá" ou o "sorvete de Morango". Percebe-se nesse simples exemplo que a natureza do OU, na linguagem comum é naturalmente exclusiva.

Propriedades

Esta seção usa os seguintes símbolos:

${\begin{matrix}0&=&{\mbox{falso}}\\1&=&{\mbox{verdadeiro}}\\\lnot p&=&{\mbox{not}}\ p\\p\oplus q&=&p\ {\mbox{xor}}\ q\\p\land q&=&p\ {\mbox{and}}\ q\\p\lor q&=&p\ {\mbox{or}}\ q\end{matrix}}$

As seguintes equações seguem dos axiomas lógicos:

${\begin{matrix}p\oplus 0&=&p\\p\oplus 1&=&\lnot p\\p\oplus p&=&0\\p\oplus \lnot p&=&1\\\\p\oplus q&=&q\oplus p\\p\oplus q\oplus p&=&q\\p\oplus (q\oplus r)&=&(p\oplus q)\oplus r\\p\oplus q&=&\lnot p\oplus \lnot q\\\lnot (p\oplus q)&=&\lnot p\oplus q&=&p\oplus \lnot q\\\\p\oplus (\lnot p\land q)&=&p\lor q\\p\oplus (p\land \lnot q)&=&p\land q\\p\oplus (p\lor q)&=&\lnot p\land q\\\lnot p\oplus (p\lor \lnot q)&=&p\lor q\\p\land (p\oplus \lnot q)&=&p\land q\\p\lor (p\oplus q)&=&p\lor q\end{matrix}}$

Associatividade e Comutatividade

A "Ou Exclusivo" (XOR) goza das propriedades da associatividade e comutatividade. Vide o exemplo:

${\begin{matrix}p\oplus q&=&q\oplus p\\\\(p\oplus q)\oplus r&=&p\oplus (q\oplus r)&=&p\oplus q\oplus r\end{matrix}}$

Ou exclusivo na ciência da computação

Operação Bitwise

Bitwise XOR é simplesmente uma operação XOR "bit a bit" sobre dois valores binários que indica exatamente "1", se os bits possuírem valores lógicos iguais, e "0", se possuírem o mesmo valor lógico.

Na ciência da computação, a disjunção exclusiva tem vários usos, tais quais:

• dizer quando dois bits são diferentes.
• ele é um circuito negador. ex: 1 0 0 1 xor 1 1 1 1 equivale a 0 1 1 0
• dizer se existe um número ímpar de bits 1s (a $\oplus$ B $\oplus$ C $\oplus$ D $\oplus$ E é verdadeiro se um número ímpar de variáveis são verdadeiras.).

Em circuitos lógicos, um somador pode ser implementado usando uma porta XOR para somar os números, e uma série de AND's, OR's e Not's para os carry's ("vai um") de saída.

Em algumas arquiteturas de computadores, é mais eficiente armazenar um zero em um registrador realizando a operação XOR com ele mesmo, ao invés de carregar e armaenar o valor zero.

O XOR também é usado para misturar funções na criptografia, como por exemplo, One-time_pad.

O XOR também tem sua utilidade na segurança da informação armazenada em discos rígidos, a técnica RAID 3-6 usa o conceito lógico do operador XOR para em caso de falha em um dos discos, os dados sejam reconstituídos aplicando XOR ao dado armazenado no disco de backup.

O algoritmo XOR swap, usa a lógica do conectivo XOR afim de tracar os valores numéricos de 2 variáveis.

Descrição do hardware

As portas XOR são portas lógicas básicas que são reconhecidas na TTL e nos circuitos integrados CMOS.
Existem Circuito Integrado que utilizam a lógica do XOR, sendo que esta mesma lógica pode ser expressa através dos circuitos NAND, NOR e NOT.

Abaixo temos um exemplo de um Circuito Integrado XOR, de duas entradas.
$S={\overline {A}}\cdot B+A\cdot {\overline {B}}$

Diagrama de pinos de um circuito integrado CMOS 4070

1 Entrada A1 2 Entrada B1 3 Saída Q1 4 Saída Q2 5 Entrada B2 6 Entrada A2 7 VSS 8 Entrada A3 9 Entrada B3 10 Saída Q3 11 Saída Q4 12 Entrada B4 13 Entrada A4 14 VDD

Ver também

• NAND
• NOR
• Porta lógica