Força de Lorentz

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A FORÇA DE LORENTZ é a superposição da força elétrica, proveniente de um campo elétrico $\mathbf {E}$, com a força magnética, devida a um campo magnético $\mathbf {B}$, que atuam sobre uma partícula, carregada elétricamente, se movendo no espaço. Tal força é dada pela formula:

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

Evidentemente, para a superposição ocorrer, é necessário que a partícula possua uma carga elétrica líquida não nula ($q\neq 0$) e esteja em movimento em uma região do espaço que possua o campo magnético. Analisando apenas as forças de caráter elétrico, se $\mathbf {v} =0$, a partícula estará , somente, sob influência da força elétrica ($\mathbf {F=F_{e}} =q\mathbf {E}$).

Uma partícula, carregada positivamente, irá ter uma componente vetorial de $\mathbf {F}$, referente a força elétrica $\mathbf {F_{E}}$, que é paralela ao campo elétrico $\mathbf {E}$, sendo acelerada por este (uma partícula carregada negativamente, será antiparalela ao campo). A componente referente a força magnética ($\mathbf {F_{m}} =q\cdot \mathbf {v} \times \mathbf {B}$) é sempre perpendicular ao campo $\mathbf {B}$ e a velocidade $\mathbf {v}$ simultaneamente, conforme dita a regra do produto vetorial.

Vale a pena notar que a Força Magnética não realiza trabalho uma vez que é perpendicular ao deslocamento que a gera (ou seja, não existe componente da força $\mathbf {F_{m}}$ na direção de $\mathbf {v}$. A força magnética altera a direção da velocidade sem alterar o seu módulo.
Porém como a força de Lorentz possui uma componente devido ao campo elétrico, essa, sim, pode realizar trabalho.

O vetor $\mathbf {F}$, da Força de Lorentz, é a resultante da soma vetorial entre a componente da força elétrica e da força magnética. Tal resultante pode gerar as diversas trajetórias que serão exploradas mais a diante.

De acordo com algumas referências , a Força de Lorentz faz referência a somente a componente da força magnética, dando a força eletromagnética total algum outro nome. Neste artigo, o termo Força de Lorentz faz jus a força elétrica mais a força magnética. A componente da força magnética na Força de Lorentz se manifesta, também, como a força que atua em um fio conduzindo uma corrente elétrica imerso em uma região com campo magnético, também conhecido como Força de Laplace

A força de Lorentz pode ser aplicada em diversas áreas, tais como:

• No estudo da dinâmica de partículas em tubos de raios catódicos;
• Em cíclotrons;
• Espectrometria de massa;
• Filtros de velocidade;
• Confinamento magnético;

História

Joseph Priestley (amigo de Benjamin Franklin) foi o primeiro a publicar, em 1767, a lei que ditava a força entre duas cargas elétricas sob determinada distância depois do pedido de seu amigo para confirmar o resultado de uma experiência que havia realizado . A lei da força magnética entre polos magnéticos (força já citada por Isaac Newton em seu Principia), foi descoberta pela primeira vez por John Michell (inventor da balança de torção), que publicou seus resultados em 1750. Em suas palavras, "A atração e repulsão entre "imãs" diminui, enquanto o quadrado da distância entre os respectivos polos aumenta". Depois de Michell, o resultado foi confirmado por Tobias Meyer em 1760 e pelo famoso matemático Johann Heinrich Lambert em 1766. A lei de Coulomb foi publicada por Charles Augustin de Coulomb apenas em 1785. Em todas essas definições, a força é sempre descrita em termos das propriedades e distâncias dos objetos envolvidos ao invés dos termos campo magnético ou campo elétrico. Com o avanço do conceito de campos, foi possível fazer avanços significativos em relação a teoria do eletromagnetismo.

Apesar da Força de Lorentz levar o nome do físico holandês, sua expressão foi encontrada por diversos personagens da física em diferentes anos.

O primeiro relato em que se encontra a fórmula do que hoje chamamos de Força de Lorentz data de 1864, quando o físico escocês James Clerk Maxwell apresentou um importante trabalho à Royal Society intitulado A Dynamical Theory of the Eletromagnetic Field . A demonstração pode ser encontrada na página 28 da referencia.

Comumente a Força de Lorentz é atribuída a Joseph John Thomson e Oliver Heaviside. Em abril de 1881, Thomsom publicou um artigo em uma revista onde encontrava a expressão para a força exercida sobre uma partícula eletrizada em movimento numa região em que o campo magnético estivesse definido. Neste artigo, Thomson partiu da ideia, baseada na teoria de Maxwell, que a variação temporal do deslocamento elétrico D em um dielétrico produz efeitos análogos aos de uma corrente de condução. Thomson encontrou o resultado
$\mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B}$
que é metade do valor hoje considerado.
Em novembro de 1881, FitzGerald publica um artigo apontando uma má interpretação em relação à corrente de deslocamento na publicação de Thomson. Então Heaviside publica um artigo em abril de 1889 onde apresenta a expressão hoje usada para descrever a força magnética. Assim, Hendrik Antoon Lorentz pode finalmente, em 1892, encontrar equação da força que inclui a contribuição simultânea do campo elétrico e magnético, publicando um artigo no volume 25 dos Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles, propondo seis hipóteses a partir de uma perspectiva mecânica, das equações de Maxwell e da "Força Ponderomotiva" (hoje denominada a Força de Lorentz). A dedução feita por Lorentz pode ser encontrada na página 35 da referência .

Joseph Larmor e Karl Schwarzschild também obtiveram a formula obtida anteriormente, porém, através do Princípio da mínima ação, em 1898 e 1903, respectivamente. O caminho até a formulação se encontra na página 41 da mesma referencia .

Força de Lorentz em termo de campos potenciais

O campo elétrico $\mathbf {E}$ e magnético $\mathbf {B}$ podem ser escritos em termos do potencial eletrostático ϕ e em termos do vetor potencial magnético $\mathbf {A}$, respectivamente.

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Assim, a equação para força de Lorentz se torna:

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]$

Aplicando a identidade de produto vetorial triplo, a equação se simplifica para

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla (\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} \right]$

Força de Lorentz através do Lagrangiano

O lagrangiano de uma partícula com carga "q" e massa "m", em uma região com um campo eletromagnético, fornece sua dinâmica em termos de sua energia. É possível chegar à equação da Força de Lorentz utilizando a Equação de Euler-Lagrange.

$L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi$

Força de Lorentz através da Mecânica de Lagrange

A energia potencial é: $V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}}$ e a energia cinética é: $T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}}$ Logo, o Lagrangiano é: $L=T-V={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi$ $L={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+q({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z})-q\phi$ A Equação de Lagrange é: ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$ Tendo: ${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=m{\ddot {x}}+q{\frac {dA_{x}}{dt}}\\&=m{\ddot {x}}+{\frac {q}{dt}}\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}dy+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}dz\right)\\&=m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)\\\end{aligned}}$ e ${\frac {\partial L}{\partial x}}=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)$ Aplicando à eq. de Lagrange: $m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)$ ${\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}\right)+q\left[{\dot {y}}\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)+{\dot {z}}\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)\right]\\&=qE_{x}+q[{\dot {y}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r}} \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned}}$ O mesmo vale para as outras duas componentes direcionais "y" e "z". Assim chegando à equação para a força: $\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

Trajetórias

Ficheiro:Orbit in B field.jpeg

Visualização gráfica dos vetores.

Ficheiro:Ebeam Circling electrons.jpeg

Trajetória circular feita por um feixe de elétrons.

Existe um grande interesse prático no estudo da Força de Lorentz e em como essa comanda a trajetória de uma partícula carregada. Conforme foi dito anteriormente, e como é possível identificar pela formula, a força (magnética) resultante é sempre perpendicular com a direção da partícula.
No caso de uma partícula se movendo em um plano perpendicular ao campo magnético, esta irá realizar um movimento circular uniforme. Igualando a força centrípeta, envolvida no movimento circular, com a força magnética, temos que:

$\mathbf {F_{c}} ={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{R}}{\hat {r}}=\mathbf {F_{m}} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} =qvB{\hat {r}}$

E o raio descrito pela partícula será: $R=mv/qB$

Ficheiro:Spiralmagfield.gif

Decomposição do vetor velocidade.

Ficheiro:Ebeam Spiraling electrons.jpeg

Trajetória helicoidal devido a uma componente da velocidade ser paralela ao campo magnético

Uma vez que a partícula apresenta uma componente de sua direção (ou velocidade) paralela com a direção do campo magnético $\mathbf {B}$, esta irá apresentar um movimento de translação junto com o movimento circular, combinados em um movimento helicoidal.
Um feixe de luz azul (no caso da imagem à direita) é emitido através do caminho percorrido pela partícula carregada (elétron) devido a colisão desta com as partículas do gás no interior do equipamento. Essa cor irá variar de acordo com o gás.

Com uma configuração adequada das linhas do campo magnético, é possível o confinamento de partículas. Efeito que pode acontecer naturalmente no universo e que é aplicado em diversas áreas.

Confinamento Magnético

Ficheiro:Fusion-reactor-3.jpeg

Ficheiro:Reator.jpeg

Interior de um reator do tipo Tokamak

O confinamento magnético é uma dos modos utilizado em reatores nucleares para a contenção do gás de plasma (que possui uma carga elétrica líquida não nula) em altíssimas temperaturas e pressões.
A configuração de linhas utilizada é parecida com a existente no caso de um fio enrolado na forma de um solenoide (bobina), onde o campo magnético é paralelo ao eixo do solenoide. No caso do reator, tem-se algo parecido com uma bobina fechada, disposta na forma de um toroide, o que faz o plasma ficar girando em seu interior em uma trajetória espiralada ao redor das linhas de campo.
Existe um efeito análogo a este tipo de confinamento que acontece com o campo magnético terrestre, já que esses apresentam linhas de campo com formatos similares.
O confinamento magnético também é usado para a criação de armadilhas para antimatéria. Uma vez que a antimatéria não pode entrar em contato com a matéria (caso contrário as duas iriam interagir sumindo e liberando energia), uma combinação de campos elétricos e magnéticos é utilizado, em um meio com vácuo, para que a antipartícula aprisionada fique levitando no interior do recipiente.

Cinturão de Van Allen

Ficheiro:Radiation belt.gif

Ilustração das linhas do campo magnético terrestre

O planeta Terra possui linhas magnéticas que saem do polo norte geográfico e entram pelo polo sul.
Agindo de forma semelhante à um reator nuclear, o campo magnético gerado pela Terra aprisiona partículas, na forma de plasma, formando o Cinturão de Van Allen, que também apresenta a forma toroidal em torno do planeta.
Tais partículas são provenientes dos ventos solares e dos raios cósmicos , e se dispõem em duas regiões:
O cinturão mais interno é composto por elétrons e prótons com altas energias, provenientes do decaimento de nêutrons produzidos pelos raios cósmicos que colidem com os átomos da atmosfera terrestre. Tais nêutrons, após a colisão, são ejetados para fora e se desintegram ao passar pela região cinturão. Os prótons e elétrons ficam confinados na região do cinturão, devido ao intenso campo magnético existente, e se movem em trajetórias espirais ao longo de linhas de força gerada pelo campo.
A região mais externa do cinturão possui elétrons mais energéticos, do que na camada mais interna, e íons, tais como partículas alfa e O⁺, de forma similar à ionosfera, porém muito mais energético.

O canhão elétrico - "RailGun"

Frame retirado de um vídeo feito por uma camera de alta velocidade de um projétil viajando a 2520 m/s

Ficheiro:Railgun-7.gif

Ficheiro:Railgun-8.gif

Também existem pesquisas sendo feitas para o desenvolvimento de armamentos militares que utilizam a força de Lorentz para impulsionar seus projeteis.
O Railgun se trata de dois trilhos, por onde desliza uma haste que segura o projetil, formando assim um circuito fechado (junto com um gerador). Tanto os trilhos, como a haste, são condutores.
Uma corrente elétrica entra por um dos trilhos, passa pela haste, e volta pelo trilho paralelo.
Quando a corrente passa pelo trilho, esta gera um campo magnético em volta do próprio trilho (da mesma forma que uma corrente passando por um fio forma um campo magnético circular). Como a corrente que passa no trilho paralelo segue na direção oposta, o campo gerado entre os trilhos não é anulado.
A corrente, ao passar pela haste, transversal ao trilho, gera uma força que impulsiona a própria haste (junto com o projétil) para frente.
A corrente utilizada em aplicações militares é da ordem de 5MA durante alguns milissegundos, gerando campos da ordem de 10T (o campo magnético da Terra não ultrapassa 1 microtesla).
Em dezembro de 2010, o "US Office of Naval Research - ONR" (Escritório de pesquisas navais dos Estados Unidos) realizou um tiro utilizando 32MJ. O projetil de 10.4 kg atingiu a velocidade de 9.000 km/h (mach 7).

[[Image:direita

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Ver também

• Eletricidade
• Magnetismo
• Eletromagnetismo
• Força
• Lei de Coulomb
• Lei de Biot-Savart
• Produto vetorial