Paradoxo de Hilbert-Bernays

O Paradoxo de Hilbert-Bernays é um paradoxo notável pertencente à família dos paradoxos de referência (como o Paradoxo de Berry). Foi assim denominado em homenagem a David Hilbert e Paul Bernays.

História

O paradoxo apareceu nos volumes de Hilbert e Berneys (Grundlagen der Mathematik) e foi usado por eles para mostrar que uma teoria consistente e suficientemente forte não pode conter seu próprio funtor de referência. Embora tenha sido bastante ignorado ao longo do século 20, foi recentemente redescoberto e apreciado pela distinta dificuldade que apresenta.

Formulação

A propriedade da semântica da verdade é demonstrada no seguinte esquema simples:

     (T) A sentença ' P ' é verdade se e somente se P

     (onde usamos aspas simples para se referir à expressão linguística entre as aspas), a propriedade semântica de referência parece ser governada pela esquema ingênuo:

     (R) Se a existe, o referente do nome ' a ' é idêntico a a

Considere, entretanto, um nome h para números (naturais) satisfazendo:

      (H) h é idêntico a '(o referente de h)+1'

Suponha que, para algum número n:

       (1) O referente de h é idêntico a n

Então, certamente, o referente de h existe, e assim faz (o referente h) +1. Por (R), segue-se que:

       (2) O referente de '(o referente h)+ 1' é idêntico  a (o referente h)+1

e assim, por (H) e o princípio da identidade dos indiscerníveis, é o caso que:

      (3) O referente de h é idêntico a (o referente h)+ 1

 Mas, novamente por identidade dos indiscerníveis,  (1) e (3) temos que:

       (4) O referente de h é idêntico a n+1

e, por transitividade da identidade, (1) em conjunto com (4) temos que:

      (5) n é idêntico a n + 1

Mas (5) é um absurdo, uma vez que nenhum número é idêntico ao seu sucessor.

Soluções

Uma vez que toda teoria suficientemente forte terá de aceitar algo como (H), o absurdo só pode ser evitado ao rejeitar o princípio da referência ingênuo (R) ou rejeitando a lógica clássica (o que valida o raciocínio a partir de (R) e (H) ao absurdo). Na primeira abordagem, normalmente o que se diz sobre o paradoxo do mentiroso transporta mais suavemente para o paradoxo de Hilbert-Bernays. O paradoxo apresenta diferentes dificuldades para muitas soluções que buscam a segunda abordagem. Por exemplo, soluções para o paradoxo do mentiroso que rejeitam a lei do terceiro excluído (que não é utilizada pelo paradoxo de Hilbert-Bernays) negaram que não existe tal coisa como o referente h, soluções para o paradoxo do mentiroso que rejeitam a lei da não-contradição (que não é usada pelo paradoxo de Hilbert-Bernays) alegaram que h refere-se a mais de um objeto.

Referências

Hilbert, David; Bernays, Paul (1939). Grundlagen der Mathematik. Berlin: Springer. pp. 263–278 Hilbert, David; Bernays, Paul (1939). Grundlagen der Mathematik. Berlin: Springer. pp. 263–278 Hilbert, David; Bernays, Paul (1939). Grundlagen der Mathematik. Berlin: Springer. pp. 263–278 

Referências

Priest, Graham (2005). Towards Non-Being. Oxford: Oxford University Press. pp. 156–178 Priest, Graham (2005). Towards Non-Being. Oxford: Oxford University Press. pp. 156–178 Priest, Graham (2005). Towards Non-Being. Oxford: Oxford University Press. pp. 156–178 

Referências

Keith Simmons (2003). «Reference and Paradox». In: Beall, JC. Liars and Heaps. Oxford: Oxford University Press. pp. 230–252 Keith Simmons (2003). «Reference and Paradox». In: Beall, JC. Liars and Heaps. Oxford: Oxford University Press. pp. 230–252 Keith Simmons (2003). «Reference and Paradox». In: Beall, JC. Liars and Heaps. Oxford: Oxford University Press. pp. 230–252 

Field, Hartry (2008). Saving Truth from Paradox. Oxford: Oxford University Press. pp. 291–293 Field, Hartry (2008). Saving Truth from Paradox. Oxford: Oxford University Press. pp. 291–293 Field, Hartry (2008). Saving Truth from Paradox. Oxford: Oxford University Press. pp. 291–293