Menos um

Na matemática, −1 (um negativo ou menos um) é o inverso aditivo de 1, ou seja, o número que adicionado a 1 dá o elemento de identidade aditivo, 0. É o número inteiro negativo maior que dois negativo (−2) e menor que 0.

← −2 −1 0 →
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Cardinal [en]	−1, menos um, um negativo
Ordinal [en]	−1º (primeiro negativo)
Arábico	−١
Algarismo chinês [en]	负一，负弌，负壹
Bengali	−১
Binário (byte)	S&M: 1000000012 2sC: 111111112
Hexadecimal (byte)	S&M: 0x10116 2sC: 0xFF16

Propriedades algébricas

Multiplicação

Multiplicar um número por −1 equivale a mudar o sinal do número – ou seja, para qualquer x temos (−1) ⋅ x = −x. Isso pode ser provado usando a lei distributiva e o axioma de que 1 é a identidade multiplicativa:

x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0.

Aqui usamos o fato de que qualquer número x vezes 0 é igual a 0, o que segue pelo cancelamento en a partir da equação

0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x.

0, 1, −1, i, e −i no plano complexo ou cartesiano [en]

Em outras palavras,

x + (−1) ⋅ x = 0,

então (−1) ⋅ x é o inverso aditivo de x, ou seja, (−1) ⋅ x = −x, como seria mostrado.

Quadrado de −1

O quadrado de −1, ou seja, −1 multiplicado por −1, é igual a 1. Como consequência, um produto de dois números negativos é positivo.

Para uma prova algébrica desse resultado, comece com a equação

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)].

A primeira igualdade decorre do resultado acima, e a segunda decorre da definição de −1 como inverso aditivo de 1: é precisamente esse número que quando adicionado a 1 dá 0. Agora, usando a lei distributiva, pode-se ver que

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1).

A terceira igualdade decorre do fato de que 1 é uma identidade multiplicativa. Mas agora adicionar 1 a ambos os lados desta última equação implica

(−1) ⋅ (−1) = 1.

Os argumentos acima mantêm em qualquer anel, um conceito de álgebra abstrata generalizando números inteiros e reais.

Raízes quadradas de −1

Embora não haja raízes quadradas reais de −1, o número complexo i satisfaz i² = −1 e, como tal, pode ser considerado como uma raiz quadrada de −1. O único outro número complexo cujo quadrado é −1 é −i porque existem exatamente duas raízes quadradas de qualquer número complexo diferente de zero, o que segue do teorema fundamental da álgebra. Na álgebra dos quatérnios – onde não se aplica o teorema fundamental – que contém os números complexos, a equação x² = −1 tem infinitas soluções [en].

Exponenciação a números inteiros negativos

A exponenciação de um número real diferente de zero pode ser estendida para números inteiros negativos. Definimos que x⁻¹ = 1x, o que significa que definimos elevar um número à potência −1 para ter o mesmo efeito que elevar seu recíproco. Esta definição é então estendida para números inteiros negativos, preservando a lei exponencial x^ax^b = x^{(a + b)} para números reais a e b.

A exponenciação para números inteiros negativos pode ser estendida para elementos invertíveis de um anel, definindo x⁻¹ como o [✓inverso multiplicativo]] de x.

Um −1 que aparece como um sobrescrito de uma função não significa tomar o recíproco (pontual) dessa função, mas sim a função inversa da função. Por exemplo, {{Math|sen⁻¹(x)} é uma notação para a função arcseno e, em geral, f ⁻¹(x) denota a função inversa de f(x). Quando um subconjunto do contradomínio é especificado dentro da função, ele denota a pré-imagem [en] desse subconjunto na função.

Usos

• No desenvolvimento de software, –1 é um valor inicial comum para números inteiros e também é usado para mostrar que uma variável não contém informações úteis [en].
• −1 guarda relação com a identidade de Euler desde que e^iπ = −1.

Ver também

• Teorema de Menelaus
• Ternário balanceado