Lei de Amdahl

A lei de Amdahl, também conhecida como argumento de Amdahl,^[1] é usada para encontrar a máxima melhora esperada para um sistema em geral quando apenas uma única parte dele é melhorada. Isto é frequentemente usado em computação paralela para prever o máximo speedup teórico usando múltiplos processadores. A lei possui o nome do Arquiteto computacional Gene Amdahl, e foi apresentada a AFIPS na Conferência Conjunta de Informática na primavera de 1967.

O speedup de um programa usando múltiplos processadores em computação paralela é limitado pelo tempo necessário para a fração sequencial de um programa. Por exemplo, se o programa precisa de 20 horas usando um único núcleo de processamento, e a parte específica de um programa que demora uma hora para executar não pode ser paralelizado, enquanto as 19 horas restantes (95%) do tempo da execução pode ser paralelizado, independente de quantos processadores são dedicados a execução paralela deste programa, o tempo de execução mínima não pode ser menor que aquela crítica uma hora. Por isso o aumento de velocidade é limitado em no máximo 20x.

Speedup

Speedup pode ser definido como a relação entre o tempo gasto para executar uma tarefa com um único processador e o tempo gasto com N processadores, ou seja, Speedup é a Medida do ganho em tempo.

$S={T(1) \over T(N)}$

Onde 'S' é o speedup e 'T'(N) é o tempo gasto para 'N' processadores

Definição

Fórmulas:

$n\in \mathbb {N}$ , o número de threads de execução,

$B\in [0,1]$ , fração de um algoritmo estritamente serial,

O tempo $T\left(n\right)$ que um algoritmo demora para terminar a execução utilizando $n$ thread(s) de execução, corresponde a:

$T(n)=T(1)\left(B+{\frac {1}{n}}\left(1-B\right)\right)$

Portanto,o speedup teórico $S(n)$ que pode ser obtido pela execução de um dado algoritmo, em um sistema capaz da execução de $n$ threads de execução, é:

$S(n)={\frac {T\left(1\right)}{T\left(n\right)}}={\frac {T\left(1\right)}{T\left(1\right)\left(B+{\frac {1}{n}}\left(1-B\right)\right)}}={\frac {1}{B+{\frac {1}{n}}\left(1-B\right)}}$

Descrição

A Lei de Amdahl é um modelo de "speedup esperado" sobre a relação entre implementação paralelizada de um algoritmo e sua implementação sequencial, sob a suposição de que o tamanho do problema continua a ser o mesmo quando paralelizado. Por exemplo, se para um determinado problema de execução em paralelo de um algoritmo, pode ser executado apenas 12% das operações do algoritmo deste modo (enquanto os restantes 88% das operações não são paralelizável), a Lei de Amdahl afirma que o speedup máximo da versão paralelizada é 1/(1 – 0.12) = 1.136 vezes mais rápido que uma versão não paralelizada.

Mais tecnicamente, a lei se dedica ao aumento do speedup realizável com um melhoramento do cálculo que afeta a proporção "P" de um cálculo onde o melhoramento tem um speedup de “S”. (Por exemplo, se 30% do cálculo pode ser objeto de um melhoramento da velocidade, “P" será 0.3, se o melhoramento fizer a porção afetada duas vezes mais rápida, “S" será 2). A Lei de Amdahl afirma que o aumento do speedup aplicando o melhoramento será:

{\frac {1}{(1-P)+{\frac {P}{S}}}}={\frac {1}{(1-0.3)+{\frac {0.3}{2}}}}=1.1765

Para ver como essa fórmula foi derivada, assume-se que o tempo de execução do antigo cálculo era 1, por alguma unidade de tempo. O tempo de funcionamento do novo cálculo será a duração da fração não melhorada (que é 1 − ‘’P"), mais a duração da fração de tempo melhorada. O período de tempo para a parte melhorada do cálculo é a duração do tempo de execução das partes melhoradas dividida pelo speedup, ou seja “P”/“S". O speedup final é calculado pela divisão do antigo tempo de duração pelo novo tempo de duração, que é a função da fórmula acima.

Aqui, outro exemplo, nos é dado uma tarefa sequencial que é dividido em quatro partes consecutivas: P1, P2, P3 e P4 com as porcentagens de tempo de execução começando em 11%, 18%, 23% e 48% respectivamente. Em seguida, houve a informação que P1 não é acelerado, então S1 = 1, enquanto P2 é acelerado 5x, P3 é acelerado 20x, e P4 é acelerado 1.6x. Utilizando a fórmula P1/S1 + P2/S2 + P3/S3 + P4/S4, então encontra-se uma nova execução sequencial, que é:

{\frac {0.11}{1}}+{\frac {0.18}{5}}+{\frac {0.23}{20}}+{\frac {0.48}{1.6}}=0.4575.

ou um pouco menos que 1⁄2 do tempo de execução original. Usando a fórmula (P1/S1 + P2/S2 + P3/S3 + P4/S4)⁻¹, o aumento de velocidade geral é 1 / 0.4575 = 2.186, ou seja, um pouco mais que o dobro da velocidade original. Note como o aumento de 20x e 5x não possui muito efeito sobre a velocidade total quando P1 (11%) não é acelerado, e P4 (48%) é acelerado apenas 1.6 vezes.

Paralelização

No caso da paralelização, a lei de Amdahl afirma que ‘'P" é a proporção de um programa que pode ser feito paralelamente (i.e, benefício da paralelização), e (1 - P) é a proporção que não pode ser paralelizada (permanece serial), o speedup máximo que pode ser atingido usando ‘'N" processadores é

S(N)={\frac {1}{(1-P)+{\frac {P}{N}}}}

.

No limite, como ‘'N" tende ao infinito, o speedup máximo tende ser 1 / (1 - ‘’P’). Na prática, o desempenho à relação preço cai rapidamente como N é aumentada uma vez que há mesmo um pequeno componente de (1 - P).

Como exemplo, se “P" é 90%, então (1 - “P”) é 10%, e o problema pode ser acelerado por um fator máximo de 10, não interessa o quão grande o valor usado para “N”. Por essa razão, computação paralela é apenas útil para qualquer pequeno número de processadores, ou problemas com valores muito grandes de “P”: chamado "problemas embaraçosamente paralelos". Uma grande parte do ofício de programação paralela consiste em tentar reduzir o componente (1 - P) para o menor valor possível.

"P" pode ser estimada por meio do aumento de velocidade (SU) sobre um número específico de processadores (NP) usando:

P_{\text{estimated}}={\frac {{\frac {1}{SU}}-1}{{\frac {1}{NP}}-1}}

.

P estimado desta forma pode então ser utilizado na Lei de Amdahl para prever o aumento de velocidade para um número diferente de processadores.

Relação à lei dos rendimentos decrescentes

A lei de Amdahl é muitas vezes confundida com a lei dos rendimentos decrescentes, enquanto apenas um caso especial da aplicação da Lei de Amdahl se comporta como esta. Se alguém pega ótimamente (em termos de speed-up alcançado) o que melhorar, então verá melhorias monotonicamente decrescentes. Se, no entanto, pega algo não-ideal, depois de melhorar um componente sub-ótimo e seguir em frente para melhorar o componente não-ideal, pode-se ver um aumento no retorno. Note-se que muitas vezes é racional para melhorar um sistema numa ordem que é "não-ótima", melhorias que são mais difíceis, ou que consomem mais tempo de desenvolvimento do que os outros.

Lei de Amdahl representa a "lei de rendimentos decrescentes" se você está considerando qual ordem de retorno que você obterá adicionando mais processadores a uma máquina, se você estiver realizando uma executação em computação de tamanho fixo que vai usar todos os processadores disponíveis para a sua capacidade. Cada novo processador que você adicionar ao sistema irá aumentar menos o poder de execução do que o anterior. Cada vez que você dobrar o número de processadores a relação de aumento de velocidade vai diminuir, como a taxa de transferência total para o limite de $\scriptstyle 1/(1\,-\,P)$ .

Esta análise negligencia outros gargalos potenciais, tais como banda de memória e largura de banda de I/O, se eles não se ajustarem junto ao número de processadores; no entanto, tendo em conta esses gargalos tenderia a demonstrar ainda mais os retornos decrescentes por acrescentar apenas processadores.

Speedup em um programa sequencial

Supõe-se que uma tarefa possui duas partes independentes, A e B. B utiliza 25% do tempo da execução completa. Ao trabalhar arduamente, um pode ser capaz de executar sua parte 5x mais rápido, mas isto só reduz um pouco o tempo de toda a execução. Em contrapartida, um pode precisar de menos esforço para fazer a parte A duas vezes mais rápida. Isto fará a execução muito mais rápida do que otimizar a parte B, mesmo que a velocidade de B seja maior na relação, (5× versus 2×).

O speedup máximo de um programa sequencial melhorado, onde uma parte foi acelerada $p$ vezes, é limitada pela irregularidade.

{\text{máximo speedup }}\leq {\frac {p}{1+f\cdot (p-1)}}

onde $\scriptstyle f$ ( $\scriptstyle 0\;<\;f\;<\;1$ ) é a fração de tempo (antes do melhoramento) gasto na parte que não foi melhorada. Por exemplo (veja a figura ao lado direito):

Se a parte B é executada cinco vezes mais rápida ( $\scriptstyle p\;=\;5$ ), $\scriptstyle t_{A}\;=\;3$ , $\scriptstyle t_{B}\;=\;1$ , e $\scriptstyle f\;=\;t_{A}/(t_{A}\,+\,t_{B})\;=\;0.75$ , então
${\text{máximo speedup }}\leq {\frac {5}{1+0.75\cdot (5-1)}}=1.25$
Se a parte A é executada duas vezes mais rápida ( $\scriptstyle p\;=\;2$ ), $\scriptstyle t_{B}\;=\;1$ , $\scriptstyle t_{A}\;=\;3$ , e $\scriptstyle f\;=\;t_{B}/(t_{A}\,+\,t_{B})\;=\;0.25$ , então
${\text{máximo speedup }}\leq {\frac {2}{1+0.25\cdot (2-1)}}=1.60$

Portanto, tornando A duas vezes mais rápido é melhor que tornar B cinco vezes mais rápido. A porcentagem de melhoria da velocidade pode ser calculada como:

{\text{porcentagem melhorada}}=\left(1-{\frac {1}{\text{fator de speedup}}}\right)\cdot 100

Melhorando a parte A por um factor de dois irá aumentar a velocidade global do programa por um factor de 1,6, o que faz com que seja 37,5% mais rápido do que o cálculo inicial.
No entanto, a melhoria da parte B por um fator de cinco, que, presumivelmente, exige mais esforço, só irá atingir um fator de aceleração geral de 1,25, o que o torna 20% mais rápido.

Limitações

A lei de Amdahl só se aplica aos casos em que o tamanho do problema está corrigido. Na prática, como mais recursos de computação se tornam disponíveis, eles tendem a se acostumar com problemas maiores (maiores conjuntos de dados), e o tempo gasto na parte paralelizável geralmente cresce muito mais rápido do que o trabalho inerentemente seqüencial. Neste caso, lei de Gustafson dá uma avaliação mais realista do desempenho paralelo.^[2]

Notas

↑ (Rodgers 1985, p. 226)
↑ Michael McCool; James Reinders; Arch Robison (2013). Structured Parallel Programming: Patterns for Efficient Computation. [S.l.]: Elsevier. 61 páginas

Ver também

Referências

Rodgers, David P. (Junho de 1985). «Improvements in multiprocessor system design». New York, NY, USA: ACM. ACM SIGARCH Computer Architecture News archive. 13 (3): 225–231. ISBN 0-8186-0634-7. ISSN 0163-5964. doi:10.1145/327070.327215

Leitura complementar

Amdahl, Gene M. (1967). «Validity of the Single Processor Approach to Achieving Large-Scale Computing Capabilities» (PDF). AFIPS Conference Proceedings (30): 483–485. doi:10.1145/1465482.1465560

Ligações externas

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Lei de Amdahl

Cases where Amdahl's law is inapplicable
Oral history interview with Gene M. Amdahl Charles Babbage Institute, University of Minnesota. Amdahl debateu seu trabalho de graduação na Universidade Wisconsin e seu projeto na WISC. Discutiu seu papel na concepção de vários computadores para a IBM, incluindo o STRETCH, IBM 701, e o IBM 704. Ele discutiu seu trabalho com Nathaniel Rochester e com o gerente de processos de design da IBM. Menções do trabalho com Ramo-Wooldridge, Aeronutronic, e a Computer Sciences Corporation
A simple interactive Amdahl's Law calculator
"Amdahl's Law" por Joel F. Klein, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Amdahl's Law in the Multicore Era
Blog Post: "What the $#@! is Parallelism, Anyhow?"
Amdahl's Law applied to OS system calls on multicore CPU
Evaluation of the Intel Core i7 Turbo Boost feature, por James Charles, Preet Jassi, Ananth Narayan S, Abbas Sadat e Alexandra Fedorova
Calculation of the acceleration of parallel programs as a function of the number of threads, por George Popov, Valeri Mladenov e Nikos Mastorakis

[1] (Rodgers 1985, p. 226)

[spp-2] Michael McCool; James Reinders; Arch Robison (2013). Structured Parallel Programming: Patterns for Efficient Computation. [S.l.]: Elsevier. 61 páginas

[1]

[2]