Função exponencial

função matemática

Chama-se função exponencial a função tal que em que , . O número é chamado de base da função. A função exponencial pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se , a função é crescente. Caso a função é decrescente.[1][2]

Esboço do gráfico de uma função exponencial

Definição formal

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A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é,[3]

 

Esta definição implica as seguintes propriedades:

  •  
  •  

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

  •  
  •  
  •  
  •  

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:[4]

 
 

De fato, a função y = ax é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

  •  
  •  

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:[4]

  •  

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:

  •  
  •  

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:

  1.  
  2.  

Propriedades da função exponencial

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Função exponencial crescente
 
Função exponencial decrescente

A função exponencial de base  ,  , tem as seguintes propriedades:[1][2]

  1.   para todo  ;
  2.   é função crescente se, e somente se,  ;
  3.   é função decrescente se, e somente se,  ;
  4.   é injetiva;
  5.   é ilimitada superiormente;
  6.   é contínua;
  7.   é sobrejetiva;
  8.   é bijetiva, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denominada  .

Demonstrações das propriedades

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Propriedade 1

Mostraremos, primeiro, que   para todo  . Com efeito, notamos que  . Suponhamos, por contradição, que   para algum  . Mas, daí temos  , uma contradição. Concluímos que   para todo  .

Como consequência   para todo  , uma vez que  .

Propriedade 2

Sejam  . Suponhamos, sem perda de generalidade, que  . Tomamos, então,   tal que  . Segue que  . Pela propriedade 1, temos  . Logo,   se, e somente se,  . Como  ,   se, e somente se,  . Concluímos que,   se, e somente se,  .

Propriedade 3

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.

Propriedade 4

Consequência imediata das propriedades 2 e 3.

Propriedade 5

Seja   com  . Tomamos   tal que  . Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos  . Logo, dado qualquer  , se escolhemos   como o menor inteiro maior que  , temos  , i.e.   é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para  .

Propriedade 6

Para qualquer  , temos   está bem definida. Além disso, temos:

 

Como,  , seque que:

 .
Lema

Dados um número real   e um intervalo  , com  , então existe um número racional   tal que  .[1]

Suponhamos, sem perda de generalidade, que  . Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural   tal que:

 .

Como consequência, existe um número natural   tal que:

 .

Daí, segue que:

 .

Assim:

 .

Desta forma, temos que:

 

é uma sequência finita, cujos termos são extremos de intervalos consecutivos de tamanho menor que o do intervalo  . Logo, pelo menos um dos termos desta sequência deve pertencer a  , i.e. para algum  , temos   com  .

Propriedade 7

Seja  . Suponhamos que  . Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada   tal que  . Pela completude dos números reais, temos que   quando  . Segue da continuidade de   (propriedade 6), que:

 

i.e., dado  , existe   tal que  . A demonstração para   segue raciocínio análogo.

Propriedade 8

Consequência imediata das propriedades 4 e 7.

A função exponencial natural

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 Ver artigo principal: função exponencial natural
 
Esboço do gráfico da função exponencial natural

A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por ex ou exp(x), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:[4]

 
 

Aqui,   corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor da base da exponencial natural,  , é aproximadamente  .

A exponencial natural satisfaz as seguinte propriedades:[4]

  • A função y = ex é contínua e diferenciável para todo x.
  • A derivada da função y = ex é a própria função função y = ex.
  • A função y = ex é positiva e crescente para todo número real x.
  • ex+y = ex ey
  • A curva y = ex jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:
 
  • Os valores de y=ex crescem ilimitadamente, isto é:
 
  • A função y=ex cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:
 
  • A função   é igual a sua derivada, i.e.:
 .

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

 

Para todo a > 0 e  

Derivada e integral da função exponencial

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Comportamento da função exponencial

A derivada da função exponencial de base  ,   é dada por:[5][6]

 .

De fato, como   temos da regra da cadeia que:

 .

De forma análoga, obtermos a derivada segunda:

 

Como   é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x, isto é a função exponencial é uma função convexa.

A integral indefinida da função exponencial é dada por:[5][6]

 .

Ver também

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Referências

  1. a b c Lima, E.L.; et al. (2006). A matemática do ensino médio - vol. 1. [S.l.]: SBM. ISBN 8585818107 
  2. a b Iezzi, G.; et al. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 2 10 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716825 
  3. José Adelino Serrasqueiro, Tratado de Álgebra Elementar, p.7, [ver wikisource]
  4. a b c d Rudin, Walter (1976). «8». Principles of Mathematical Analysis 3 ed. [S.l.]: McGraw-Hill 
  5. a b Stewart, James (2013). Cálculo - vol. 1 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 978-8522112586 
  6. a b Anton, H.; et al. (2014). Cálculo - Volume I 10 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788582602256