Função exponencial
Chama-se função exponencial a função tal que em que , . O número é chamado de base da função. A função exponencial pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se , a função é crescente. Caso a função é decrescente.[1][2]
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Definição formal
editarA função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é,[3]
Esta definição implica as seguintes propriedades:
A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:
A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:[4]
De fato, a função y = ax é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:
No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:[4]
A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:
A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:
Propriedades da função exponencial
editarA função exponencial de base , , tem as seguintes propriedades:[1][2]
- para todo ;
- é função crescente se, e somente se, ;
- é função decrescente se, e somente se, ;
- é injetiva;
- é ilimitada superiormente;
- é contínua;
- é sobrejetiva;
- é bijetiva, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denominada .
Demonstrações das propriedades
editar- Propriedade 1
Mostraremos, primeiro, que para todo . Com efeito, notamos que . Suponhamos, por contradição, que para algum . Mas, daí temos , uma contradição. Concluímos que para todo .
Como consequência para todo , uma vez que .
- Propriedade 2
Sejam . Suponhamos, sem perda de generalidade, que . Tomamos, então, tal que . Segue que . Pela propriedade 1, temos . Logo, se, e somente se, . Como , se, e somente se, . Concluímos que, se, e somente se, .
- Propriedade 3
Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.
- Propriedade 4
Consequência imediata das propriedades 2 e 3.
- Propriedade 5
Seja com . Tomamos tal que . Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos . Logo, dado qualquer , se escolhemos como o menor inteiro maior que , temos , i.e. é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para .
- Propriedade 6
Para qualquer , temos está bem definida. Além disso, temos:
Como, , seque que:
- .
- Lema
Dados um número real e um intervalo , com , então existe um número racional tal que .[1]
Suponhamos, sem perda de generalidade, que . Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural tal que:
- .
Como consequência, existe um número natural tal que:
- .
Daí, segue que:
- .
Assim:
- .
Desta forma, temos que:
é uma sequência finita, cujos termos são extremos de intervalos consecutivos de tamanho menor que o do intervalo . Logo, pelo menos um dos termos desta sequência deve pertencer a , i.e. para algum , temos com .
- Propriedade 7
Seja . Suponhamos que . Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada tal que . Pela completude dos números reais, temos que quando . Segue da continuidade de (propriedade 6), que:
i.e., dado , existe tal que . A demonstração para segue raciocínio análogo.
- Propriedade 8
Consequência imediata das propriedades 4 e 7.
A função exponencial natural
editarA função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por ex ou exp(x), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:[4]
Aqui, corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.
O valor da base da exponencial natural, , é aproximadamente .
A exponencial natural satisfaz as seguinte propriedades:[4]
- A função y = ex é contínua e diferenciável para todo x.
- A derivada da função y = ex é a própria função função y = ex.
- A função y = ex é positiva e crescente para todo número real x.
- ex+y = ex ey
- A curva y = ex jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:
- Os valores de y=ex crescem ilimitadamente, isto é:
- A função y=ex cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:
- A função é igual a sua derivada, i.e.:
- .
Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:
Para todo a > 0 e
Derivada e integral da função exponencial
editarA derivada da função exponencial de base , é dada por:[5][6]
- .
De fato, como temos da regra da cadeia que:
- .
De forma análoga, obtermos a derivada segunda:
Como é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x, isto é a função exponencial é uma função convexa.
A integral indefinida da função exponencial é dada por:[5][6]
- .
Ver também
editarReferências
- ↑ a b c Lima, E.L.; et al. (2006). A matemática do ensino médio - vol. 1. [S.l.]: SBM. ISBN 8585818107
- ↑ a b Iezzi, G.; et al. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 2 10 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716825
- ↑ José Adelino Serrasqueiro, Tratado de Álgebra Elementar, p.7, [ver wikisource]
- ↑ a b c d Rudin, Walter (1976). «8». Principles of Mathematical Analysis 3 ed. [S.l.]: McGraw-Hill
- ↑ a b Stewart, James (2013). Cálculo - vol. 1 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 978-8522112586
- ↑ a b Anton, H.; et al. (2014). Cálculo - Volume I 10 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788582602256