Divisão

operação matemática inversa da multiplicação
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Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.

Ilustração de 20 maçãs dividas igualmente em 4 grupos, totalizando 5 maças em cada grupo.

No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.

Propriedades importantes

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As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.

Nos números inteiros

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Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo[1]) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor[1]). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.

Se a e b são dois números inteiros positivos (com  ), o quociente[1] da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que  . O resto[2] da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que  

A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.

Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um número racional   por   (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

 

Em   (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

 

Divisão de polinômios

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Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto.[3] Veja divisão polinomial.

Em estruturas mais gerais

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A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.

Representação

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Sejam a e b elementos do conjunto dos números inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma:

  • Como uma fração:   (utilizando uma barra horizontal entre os dois números);
  • Através de uma barra inclinada:  . (É utilizado para fazer operações em computadores);
  • Com a simbologia usual da divisão, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles:  ;
  • Utilizando dois pontos entre os dois números na horizontal:  ;
  • Usando a notação do inverso multiplicativo:  .

Divisão de números consecutivos

Seja o número impar   e o seu consecutivo   .

Seja a divisão  . Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir :

a - O quociente   é menor do que   e tende para   com o aumento de  , então  

b - Na imensa maioria das proposições o quociente   apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Seja a divisão  . Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir:

a - O quociente   é maior do que   e tende para   com o aumento de  , então  

b - Na imensa maioria das proposições o quociente   apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Entretanto

Em nenhuma das proposições para   ocorre com estes números consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposições os dois quocientes com números finitos de algarismos após a virgula decimal.

Divisão entre números consecutivos

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Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos a considerar:

Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par

Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar

Caso 1

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sejam dois números consecutivos   com   e de paridade par.

A divisão   , e a outra divisão   .

Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposição única do número   é dada por   , então a fração   só não será uma dizima infinita quando   pois   é um número de paridade impar.

A fração   só não será uma dizima infinita quando   .

A expressão   termina sempre com o número   exceto para  .

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número   tem que terminar com o número   exceto para o primeiro caso onde   , e o número   , terá que ser da forma   onde a expressão   não será uma dizima infinita.

Como os números da forma   com algarismo   na na última posição são sempre terminados em   jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo   e com a propriedade de serem da forma  .

Caso 2

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Sejam dois números consecutivos   com   e de paridade impar.

A divisão   e a outra divisão  

Na imensa maioria dos casos, cada uma destas duas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposição única do número   é  , então a fração   só não uma dizima infinita quando   .

A fração   só não será uma dizima infinita quando   .

A expressão   termina sempre no número   exceto para   .

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número   tem que terminar em   , exceto para o primeiro caso onde   , e número   terá que ser da forma   , onde a expressão   não será uma dizima infinita.

O valor de   só termina em   , para   e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em   é da forma  , impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em   que sejam da forma   .

Estas divisões são aplicadas nas soluções para o Último Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal a partir das equações do Terno Pitagórico obtidas por Geometria , pois qualquer raiz de um número racional com dizima infinita não terá como resposta um número inteiro.

Todas as outras fórmulas para a determinação do Terno Pitagórico inclusive as Fórmulas de Euclides não se aplicam, porque são fórmulas incompletas.


Ver também

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Notas e referências

  1. a b c Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), p. 39
  2. Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), p. 40
  3. Serrasqueiro (1906), p. 35-37

Referências

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  • Vianna, João José Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves 
  • Serrasqueiro, José Adelino (1906). Tratado de Algebra Elementar 9 ed. Largo da Sé Velha: Livraria Central de J. Diogo Pires i

Ligações externas

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