Circuito LC
Os circuitos LC comportam-se como ressonadores eletrônicos, sendo um componente chave em muitas aplicações, tais como osciladores, filtros e misturadores de frequência. Esse circuito é muito usado em transmissores sem fio como as comunicações de rádio tanto para emissão quanto recepção.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Lc_circuit.svg/200px-Lc_circuit.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Tuned_circuit_animation_3.gif/200px-Tuned_circuit_animation_3.gif)
Definição
editarUm circuito LC consiste de um indutor e um capacitor. A corrente elétrica irá alternar com uma frequência angular dada por
.
Nessa expressão, é a indutância e a capacitância.[1]
Um circuito LC é um modelo idealizado, visto que ele assume que não há dissipação de energia devido à resistência elétrica. Para um modelo incorporando a resistência veja o circuito RLC.
Frequência de ressonância
editarA frequência de ressonância do circuito LC (em radianos por segundo) é
A frequência equivalente, medida em hertz é
Análise do circuito
editarPela Lei da Tensão de Kirchoff, nós sabemos que a tensão através do capacitor, deve ser igual à tensão através do indutor, :
Do mesmo modo, pela lei da corrente de Kirchoff, a corrente através do capacitor mais a corrente através do indutor devem ser iguais a zero:
- = 0
Das relações constitutivas para os elementos do circuito, nos sabemos que
e
Após rearranjar e substituir, nós obtemos uma equação diferencial de segunda ordem
Então definimos o parâmetro ω como segue:
Com esta definição, podemos simplificar a equação diferencial:
O polinomial associado é , então
ou
- onde j é a unidade imaginária.
Portando, a solução completa para a equação diferencial é
e pode ser resolvida para e considerando-se as condições iniciais.
Visto que a exponencial é complexa, a solução represente uma corrente alternada senoidal.
Se as condições iniciais são tais que , então nós podemos utilizar a fórmula de Euler para obter uma senóide real com amplitude e frequência angular .
Deste modo, a solução resultante se torna:
As condições iniciais que satisfariam este resultado são:
e
Cálculo da capacitância ou da indutância
editarA equação recebe três variáveis F (frequência, em hertz), L (indutância, em Henrys) e C (capacitância, em Farads), com F em evidência. Podemos deixar L ou C em evidência, para calcular a indutância ou a capacitância, respectivamente.
Para calcular a capacitância tendo a frequência e a indutância:
Para calcular a indutância tendo a frequência e a capacitância:
Impedância dos circuitos LC
editarLC série
editarConsideremos primeiro a impedância do circuito LC série. A impedância total é dada pela soma das impedâncias capacitiva e indutiva:
Escrevendo a impedância indutiva como , a impedância capacitiva como e substituindo nós temos:
Escrevendo esta expressão sob um denominador comum temos:
Note que o numerador implica que se a impedância total Z será igual a zero e em outros casos diferente de zero. Desse modo o circuito conectado em série irá atuar como um filtro passa-banda, possuindo impedância zero na frequência de ressonância do circuito LC.
LC paralelo
editarA mesma análise pode ser aplicada ao circuito LC paralelo. A impedância total é então dada por:
e após a substituição de e , nós temos:
o que simplifica a:
Note que porém para todos os outros valores de a impedância é finita. Deste modo o circuito conectado em paralelo atuará como um filtro rejeita-banda, possuindo impedância infinita na frequência de ressonância do circuito LC.
Seletividade
editarOs circuitos LC são comumente utilizados como filtros; a razão L/C determina a sua seletividade. Para um circuito ressonante série, quanto maior a indutância e menor a capacitância, mais estreita é a banda passante. Para um circuito ressonante paralelo o inverso se aplica.
Ver também
editarReferências
- ↑ Silva, Claudio Elias; et al. (2014). Eletromagnetismo: fundamentos e simulações. São Paulo: Pearson. p. 352. ISBN 978-85-430-0111-1