Achatamento

Achatamento, em cartografia, é uma medida da compressão de um círculo ou uma esfera ao longo de um diâmetro para formar uma elipse ou um elipsoide de revolução (esferoide) respectivamente. Outro termo utilizado é elipticidade. A notação usual para o achatamento é f e sua definição em termos dos semi-eixos da elipse ou elipsóide resultantes é

\mathrm {achatamento} =f={\frac {a-b}{a}}.

^[1]

O fator de compressão é b/a em cada caso. Para a elipse, este factor é também a razão de aspecto da elipse.

Também pode ser definido como a razão entre a diferença entre os dois raios, equatorial (a) e polar (b), e o raio equatorial, em uma elipse, que pode ser expresso como uma função da excentricidade angular, $o\!\varepsilon \,\!$ :

{}_{\color {white}x}f={\mbox{ver}}(o\!\varepsilon )=2\sin ^{2}\left({\frac {o\!\varepsilon }{2}}\right)=1-\cos(o\!\varepsilon )={\frac {a-b}{a}};\,\!

^[2]^[3]^[4]

O valor obtido indica quanto o elipsóide se aproxima da forma esférica (razão 0).

Há duas outras variantes do achatamento (veja abaixo), e quando é necessário para evitar a confusão o achatamento acima é chamado de primeiro achatamento. As definições seguintes podem ser encontradas em textos normalizados^[5]^[6]^[7] e textos da web on-line^[8]^[9]

Definições de achatamento

No seguinte, a representa a dimensão maior (e.g. semi-eixo maior), enquanto b é o (semi-eixo menor) menor. Todos os achatamentos são zero para um círculo (a=b).

(primeiro) achatamento	$f\,\!$	${\frac {a-b}{a}}\,\!$	Fundamental. A inversa 1/f é a escolha normal para os elipsóides de referência geodésicos.
segundo achatamento	$f'\,\!$	${\frac {a-b}{b}}\,\!$	Raramente usado.
terceiro achatamento	$n\quad (f'')\,\!$	${\frac {a-b}{a+b}}\,\!$	Utilizado nos cálculos geodésicos como um pequeno parâmetro de expansão.^[10]

O terceiro achatamento pode ser derivado da seguinte forma:

f'=\tan ^{2}\left({\frac {o\!\varepsilon }{2}}\right)={\frac {1-\cos(o\!\varepsilon )}{1+\cos(o\!\varepsilon )}}={\frac {a-b}{a+b}}.\,\!

Referências

↑ Osborne, Peter (2013). «The Normal and Transverse Mercator Projections on the Sphere and the Ellipsoid with Full Derivations of all Formulae» (PDF). Edinburgh. p. 10. Consultado em 13 de maio de 2013. Arquivado do original (PDF) em 18 de janeiro de 2012
↑ Wolfgang Torge. Geodesy, 3rd Edition, pg. 8.
↑ Site do curso de Engenharia Cartográfica da UFRGS. Geometria do Elipsóide.
↑ Também se usa o termo "achatamento de uma elipse" como sinônimo de "excentricidade de uma elipse", de definição distinta. Vide Howard A. Anton. Cálculo, volume 2, pg. 772.
↑ Maling, Derek Hylton (1992). Coordinate Systems and Map Projections 2ª ed. Oxford; New York: Pergamon Press. ISBN 0-08-037233-3
↑ Snyder, John P. (1987). Map Projections: A Working Manual. Col: U.S. Geological Survey Professional Paper. 1395. Washington, D.C.: United States Government Printing Office
↑ Torge, W. (2001). Geodesy (3rd edition). de Gruyter. ISBN 3-11-017072-8
↑ Osborne, P. (2008). The Mercator Projections Arquivado em 18 de janeiro de 2012, no Wayback Machine. Chapter 5.
↑ Rapp, Richard H. (1991). Geometric Geodesy, Part I. Dept. of Geodetic Science and Surveying, Ohio State Univ., Columbus, Ohio. [1]
↑ F. W. Bessel, 1825, Uber die Berechnung der geographischen Langen und Breiten aus geodatischen Vermessungen, Astron.Nachr., 4(86), 241-254, doi:10.1002/asna.201011352, traduzido para o Inglês por C. F. F. Karney e R. E. Deakin como The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements, Astron. Nachr. 331(8), 852-861 (2010), E-print Arxiv

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[1] Osborne, Peter (2013). «The Normal and Transverse Mercator Projections on the Sphere and the Ellipsoid with Full Derivations of all Formulae» (PDF). Edinburgh. p. 10. Consultado em 13 de maio de 2013. Arquivado do original (PDF) em 18 de janeiro de 2012

[2] Wolfgang Torge. Geodesy, 3rd Edition, pg. 8.

[3] Site do curso de Engenharia Cartográfica da UFRGS. Geometria do Elipsóide.

[nota-4] Também se usa o termo "achatamento de uma elipse" como sinônimo de "excentricidade de uma elipse", de definição distinta. Vide Howard A. Anton. Cálculo, volume 2, pg. 772.

[maling-5] Maling, Derek Hylton (1992). Coordinate Systems and Map Projections 2ª ed. Oxford; New York: Pergamon Press. ISBN 0-08-037233-3

[snyder-6] Snyder, John P. (1987). Map Projections: A Working Manual. Col: U.S. Geological Survey Professional Paper. 1395. Washington, D.C.: United States Government Printing Office

[torge-7] Torge, W. (2001). Geodesy (3rd edition). de Gruyter. ISBN 3-11-017072-8

[osborne-8] Osborne, P. (2008). The Mercator Projections Arquivado em 18 de janeiro de 2012, no Wayback Machine. Chapter 5.

[rapp-9] Rapp, Richard H. (1991). Geometric Geodesy, Part I. Dept. of Geodetic Science and Surveying, Ohio State Univ., Columbus, Ohio. [1]

[bessel-10] F. W. Bessel, 1825, Uber die Berechnung der geographischen Langen und Breiten aus geodatischen Vermessungen, Astron.Nachr., 4(86), 241-254, doi:10.1002/asna.201011352, traduzido para o Inglês por C. F. F. Karney e R. E. Deakin como The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements, Astron. Nachr. 331(8), 852-861 (2010), E-print Arxiv

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