Espaço vetorial: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Linha 8:
Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. [[Polinômio]]s de grau menor ou igual a <math>n</math> (<math>n \in \mathbb{N}</math>) formam um espaço vetorial,<ref name="callioli-46">Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 46</ref> por exemplo, assim como grupos de [[Matriz (matemática)|matrizes]] <math>m \times n</math><ref name="callioli-45">Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 45</ref> e o espaço de todas as [[Função (matemática)|funções]] de um conjunto no conjunto '''R''' dos números reais.
== Introdução e definição ==
== Definição ==▼
O conceito de espaço vetorial será primeiramente explicado pela descrição de dois exemplos específicos:
=== Primeiro exemplo: setas em um plano ===
O primeiro exemplo de um espeaço vetorial consiste de [[Seta (símbolo)|setas]] em um [[Plano (geometria)|plano]] fixo, começando por um ponto fixo. Isso é usado em física para descrever [[força]]s ou [[velocidade]]s. Dadas duas setas deste tipo, {{math|'''v'''}} e {{math|'''w'''}}, o [[paralelogramo]] formado por elas contém uma seta diagonal que também começa na origem. Essa nova seta é chamada de ''soma'' das setas anteriores e é denotada por {{math|'''v''' + '''w'''}}. No caso especial de duas setas na mesma linha, a soma delas é a seta na mesma linha cujo comprimento é a soma ou a diferença dos comprimentos, dependendo se as setas possuem mesmo sentido ou sentidos opostos. Uma outra operação que pode ser feita com setas é o seu escalonamento: dado qualquer [[número real]] positivo {{math|''a''}}, a seta que tem a mesma direção que {{math|'''v'''}}, mas está dilatada ou contraída ao multiplicar seu comprimento por {{math|''a''}}, é chamada ''multiplicação'' de {{math|'''v'''}} por {{math|''a''}}. É denotada por {{math|''a'''''v'''}}. Quando {{math|''a''}} for negativo, {{math|''a'''''v'''}} é definido como a seta apontando no sentido oposto.
A seguir estão alguns exemplos: se {{math|1=''a'' = 2}}, o vetor resultante {{math|''a'''''w'''}} tem a mesma direção que {{math|'''w'''}}, mas está esticado, tendo um comprimento que é o dobro de {{math|'''w'''}} (imagem abaixo, à direita). De forma equivalente, {{math|2'''w'''}} é a soma de {{math|'''w''' + '''w'''}}. Além disso, {{math|1=(−1)'''v''' = −'''v'''}} tem o sentido oposto e o mesmo comprimento que {{math|'''v'''}} (vetor azul apontando para baixo, na imagem à direita).
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
|width=50%|[[File:Vector addition3.svg|180px|Adição de vetores: a soma {{math|'''v''' + '''w'''}} (em preto) dos vetores {{math|'''v'''}} (azul) e {{math|'''w'''}} (vermelho) é mostrada.]]
|width=50%|[[File:Scalar multiplication.svg|230px|Multiplicação por escalares: os múltiplos {{math|−'''v'''}} e {{math|2'''w'''}} são mostrados.]]
|}
=== Segundo exemplo: pares ordenados de números===
Um segundo exemplo chave de um espaço vetorial é fornecido por pares de números reais {{math|''x''}} e {{math|''y''}}. (A ordem das componentes {{math|''x''}} e {{math|''y''}} é importante, de modo que um par também seja chamado de [[par ordenado]].) Tal par é escrito como {{math|(''x'', ''y'')}}. A soma de dois desses pares e a multiplicação de um par por um número são definidas da seguinte maneira:
:{{math|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} + {{math|(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}} {{math|1== (''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>1</sub> + ''y''<sub>2</sub>)}}
e
:{{math|1=''a'' (''x'', ''y'') = (''ax'', ''ay'')}}.
O primeiro exemplo acima reduz-se a esse se as setas forem representadas por um par de [[coordenadas cartesianas]] do seus pontos finais.
▲=== Definição ===
Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:
| |||