Espaço vetorial: diferenças entre revisões

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Revisão das 19h16min de 10 de outubro de 2019 editar NAMmc2 (discussão \| contribs) Autorrevisores 4 614 edições ← Ver a alteração anterior		Edição atual tal como às 18h22min de 26 de maio de 2024 editar desfazer Leopardus munoai (discussão \| contribs) 3 787 edições m Etiqueta: Editor Visual
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Linha 8: [[Vetor (matemática)\|Vetores euclidianos]] são um exemplo de espaço vetorial. Eles representam [[Grandeza física\|quantidades físicas]] como [[força]]s: quaisquer duas forças (do mesmo tipo) podem ser somadas para resultar em uma terceira, enquanto que a multiplicação de um vetor de força por um número real gera outro vetor de força. De forma semelhante, porém com um sentido mais [[geometria\|geométrico]], vetores que representam deslocamentos em um plano ou em um [[espaço tridimensional]] também formam espaços vetoriais. Vetores em espaços vetoriais não necessitam ser objetos do tipo [[Flecha\|seta]], como aparecem nos exemplos mencionados acima; vetores são tratados como entidades matemáticas abstratas com propriedades particulares, que, em alguns casos, podem ser visualizados por setas. Espaços vetoriais são o objeto de estudo da [[álgebra linear]] e são bem caracterizados pela sua [[Dimensão (espaço vetorial)\|dimensão]], que, a grosso modo, especifica o número de direções independentes no espaço. Espaços vetoriais de dimensão infinita surgem naturalmente em [[análise matemática]], como em [[Espaço funcional\|espaços funcionais]], cujos vetores são [[Função (matemática)\|funções]]. Esses espaços vetoriais são munidos em geral de uma estrutura adicional, que pode ser uma [[Topologia (matemática)\|topologia]], permitindo a consideração de conceitos como proximidade e [[Função contínua\|continuidade]]. Dentre essas topologias, aquelas que são definidas por uma [[Norma (matemática)\|norma]] ou um [[produto interno]] são mais frequentemente utilizadas, por possuírem uma noção de [[Métrica (matemática)\|distância]] entre dois vetores. Esse é o caso particularmente com os [[Espaço de Banach\|espaços de Banach]] e os [[Espaço de Hilbert\|espaços de Hilbert]], que são fundamentais em análise matemática. Historicamente, as primeiras ideias que levaram ao conceito de espaços vetoriais podem ser associadas aos avanços, durante o [[século XVII]], nas áreas de [[geometria analítica]], [[Matriz (matemática)\|matrizes]], [[Sistema de equações lineares\|sistemas de equações lineares]], e vetores euclidianos. O tratamento moderno e mais abstrato, formulado pela primeira vez por [[Giuseppe Peano]] em 1888, contém objetos mais gerais que o [[espaço euclidiano]], mas muito da teoria pode ser visto como uma extensão de ideias da geometria clássica como [[reta]]s, [[Plano (geometria)\|planos]], e seus análogos de dimensão mais alta. Atualmente, os espaços vetoriais permeiam a [[matemática]], a [[ciência]] e a [[engenharia]]. Eles são a noção apropriada da álgebra linear para lidar com [[Sistema de equações lineares\|sistemas de equações lineares]]. Eles oferecem um escopo para as [[Série de Fourier\|séries de Fourier]], que são utilizadas em métodos de [[compressão de imagens]], e eles fornecem um ambiente que pode ser utilizado para técnicas de solução de [[Equação diferencial parcial\|equações diferenciais parciais]]. Ademais, espaços vetoriais fornecem uma maneira abstrata, [[livre de coordenadas]], de lidar com objetos geométricos e físicos como [[tensor]]es. Isso por sua vez permite a análise de propriedades locais [[Variedade (matemática)\|variedades]] por técnicas de linearização. Espaços vetoriais podem ser generalizados de diversas maneiras, acarretando noções mais avançadas em geometria e em [[álgebra abstrata]]. Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. [[Polinômio]]s de grau menor ou igual a <math>n</math> (<math>n \in \mathbb{N}</math>) formam um espaço vetorial,<ref name="callioli-46">Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 46</ref> por exemplo, assim como grupos de [[Matriz (matemática)\|matrizes]] <math>m \times n</math><ref name="callioli-45">Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 45</ref> e o espaço de todas as [[Função (matemática)\|funções]] de um conjunto no conjunto '''R''' dos números reais. {{Estruturas algébricas}} == Introdução e definição == Linha 37 ⟶ 38: === Definição === Neste artigo, os vetores são representados em negrito para distingui-los de escalares.{{nota de rodapé\|Também é comum, especialmente na física, denotar vetores com uma seta superior à letra: <math> \vec{v} </math>.}} ~~Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:~~ Um espaço vetorial sobre um [[Corpo (matemática)\|corpo]] {{mvar\|K}} é um [[conjunto]] {{mvar\|V}} munido de duas operações que satisfazem os oito axiomas abaixo. # Um ''[[corpo (matemática)\|corpo]]'' <math>K,</math> ou seja, um [[conjunto]] dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, [[elemento inverso]], etc. cujos elementos serão chamados de ''[[escalar]]es''.<ref name="callioli-47">Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 47</ref><ref name="Noble-85–86"/> Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de ''corpo''. # Um [[conjunto]] <math>V</math> dotado de uma [[operação binária]] (representada aqui pelo sinal <math>+</math>) de <math>V\times V</math> em <math>V.</math> Os elementos de <math>V</math> serão chamados de ''vetores''.<ref name="callioli-47" /><ref name="Noble-85–86"/> ~~# Uma operação <math>\cdot</math> de <math>K \times V</math> em <math>V.</math>~~ * A primeira operação, chamada de '''adição de vetores''' ou simplesmente '''adição''' {{math\| + : ''V'' × ''V'' → ''V''}}, leva quaisquer dois vetores {{math\|'''v'''}} e {{math\|'''w'''}} e associa a eles um terceiro vetor, normalmente escrito como {{math\|'''v''' + '''w'''}}, e chamado de soma dos dois vetores iniciais. (O vetor resultante também é um elemento de {{mvar\|V}}.) Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma (<math>+</math>) e produto (<math>\cdot</math>) para representar, em cada caso, duas funções distintas: <math>a+b</math> para elementos de <math>K</math> não é o mesmo que <math>a+b</math> para elementos de <math>V,</math> assim como <math>a \cdot b</math> para elementos de <math>K</math> não é o mesmo que <math>a \cdot b</math> quando <math>a</math> ∈ <math>K</math> e <math>b</math> ∈ <math>V.</math> Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar <math>(+, \times)</math> para as operações de <math>K</math> e <math>(\oplus,\otimes)</math> para as operações de <math>V\times V</math> em <math>V</math> e de <math>K\times V</math> em <math>V.</math> Neste caso, costuma-se dizer que o ''espaço vetorial'' é a sêxtupla ordenada (a generalização de [[par ordenado]], mas com seis elementos) <math>(V, K, \oplus, \otimes, +, \times).</math> * A segunda operação, chamada de '''[[Multiplicação escalar\|multiplicação por escalar]]''' {{math\|· : ''K'' × ''V'' → ''V''}}, toma qualquer escalar {{mvar\|a}} e qualquer vetor {{math\|'''v'''}} e fornece um outro vetor {{math\|''a'''''v'''}}. (Similarmente, um vetor {{math\|''a'''''v'''}} é um elemento do conjunto {{mvar\|V}}.) Elementos de {{mvar\|V}} são normalmente denominados ''vetores''. Elementos de {{mvar\|K}} são comumente denominados ''escalares''. Os seguintes axiomas (além de <math>K</math> ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:<ref name="callioli-44">Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 44</ref><ref name="Noble-85–86" /> Nos dois exemplos acima, o corpo utilizado é o corpo dos números reais e o conjunto de vetores consiste das setas planas com um ponto fixo de início e de pares de números reais, respectivamente. ~~# <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math> para <math>u,v,w \in V</math> ([[associatividade]])~~ ~~# Há um elemento <math>0</math> ∈ <math>V,</math> tal que, para cada <math>v</math> ∈ <math>V,</math> <math>v+0=0+v=v</math> (existência de [[elemento neutro]])~~ ~~# Para cada <math>v</math> ∈ <math>V,</math> existe <math>u</math> ∈ <math>V</math> tal que <math>v+u=0</math> (existência de elemento oposto)~~ ~~# Para cada <math>v,u</math> ∈ <math>V,</math> <math>u+v=v+u</math> (comutatividade)~~ # Para cada <math>a,b</math> ∈ <math>K</math> e cada <math>v</math> ∈ <math>V,</math> <math>a \cdot (b \cdot v)=(a \cdot b) \cdot v</math> (associatividade da multiplicação por escalar) ~~# Se <math>1</math> é a unidade de <math>K,</math> então, para cada <math>v</math> ∈ <math>V,</math> <math>1 \cdot v=v</math> (existência do elemento neutro em <math>V</math>)~~ # Para cada <math>a</math> ∈ <math>K</math> e cada <math>v,u</math> ∈ <math>V,</math> <math>a \cdot (v+u)=a \cdot v+a \cdot u</math> (distributiva de um escalar em relação à soma de vetores) # Para cada <math>a,b</math> ∈ <math>K</math> e cada <math>v</math> ∈ <math>V,</math> <math>(a+b) \cdot v=a \cdot v+b \cdot v</math> (distributiva da soma de escalares em relação a um vetor) Para qualificar um conjunto como sendo um espaço vetorial, ele {{mvar\|V}} e suas operações de adição e multiplicação devem obedecer às condições impostas a seguir, denominadas [[axioma]]s.<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=cap. 1, p. 27}}</ref> Na lista abaixo, sejam {{math\|'''u'''}}, {{math\|'''v'''}} e {{math\|'''w'''}} vetores arbitrários de {{mvar\|V}}, e {{mvar\|a}} e {{mvar\|b}} escalares em {{mvar\|K}}. Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um [[grupo abeliano]]. O elemento <math>u</math>  cuja existência é garantida pelo terceiro [[axioma]] é único (como em qualquer [[grupo (matemática)\|grupo]]) e representa-se por <math>-v.</math> {\| border="0" style="width:100%;" class="wikitable" O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto <math>V</math> é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo <math>K,</math> e definir adição em <math>V</math> e multiplicação por escalar em <math>V.</math> Então se <math>V</math> satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo <math>K.</math> \|- ! Axioma \|\| Significado \|- \| [[Associatividade]] da adição \|\| {{math\|1='''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w'''}}. \|- style="background:#F8F4FF;" \| [[Comutatividade]] da adição \|\| {{math\|1='''u''' + '''v''' = '''v''' + '''u'''}}. \|- \| [[Elemento identidade]] da adição \|\| Existe um elemento {{math\|'''0''' ∈ ''V''}}, denominado ''[[vetor nulo]]'', tal que {{math\|1='''v''' + '''0''' = '''v'''}} para todo {{math\|'''v''' ∈ ''V''}}. \|- style="background:#F8F4FF;" \| [[Elemento inverso]] da adição \|\| Para todo {{math\|'''v''' ∈ ''V''}}, existe um elemento {{math\|−'''v''' ∈ ''V''}}, chamado de ''[[inverso aditivo]]'' de {{math\|'''v'''}}, tal que {{math\|1='''v''' + (−'''v''') = '''0'''}}. \|- \| [[Ação de semigrupo\|Compatibilidade]] da multiplicação por escalar com a multiplicação do corpo \|\| {{math\|1=''a''(''b'''''v''') = (''ab'')'''v'''}}. {{nota de rodapé\|Esse axioma e o próximo se referem a duas operações distintas: a multiplicação por escalar: {{math\|''b'''''v'''}}; e a multiplicação do corpo: {{math\|''ab''}}. Eles não afirmam a associatividade de nenhuma das operações. Mais formalmente, a multiplicação por escalar é uma [[Ação de semigrupo\|ação monoide]] do monoide multiplicativo do corpo {{mvar\|K}} sobre o espaço vetorial {{mvar\|V}}.}} \|- style="background:#F8F4FF;" \| Elemento identidade da multiplicação por escalar \|\| {{math\|1=1'''v''' = '''v'''}}, em que {{math\|1}} denota a [[identidade multiplicativa]] em {{mvar\|K}}. \|- \| [[Distributividade]] da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores&emsp;&emsp;\|\| {{math\|1=''a''('''u''' + '''v''') = ''a'''''u''' + ''a'''''v'''}}. \|- style="background:#F8F4FF;" \| Distributividade da multiplicação por escalar em relação a adição do corpo \|\| {{math\|1=(''a'' + ''b'')'''v''' = ''a'''''v''' + ''b'''''v'''}}. \|} Esses axiomas generalizam as propriedades dos vetores introduzidos nos exemplos acima. De fato, o resultado da adição de dois pares ordenados (como no segundo exemplo acima) não depende da ordem dos somandos: :{{math\|1=(''x''<sub>'''v'''</sub>, ''y''<sub>'''v'''</sub>) + (''x''<sub>'''w'''</sub>, ''y''<sub>'''w'''</sub>) = (''x''<sub>'''w'''</sub>, ''y''<sub>'''w'''</sub>) + (''x''<sub>'''v'''</sub>, ''y''<sub>'''v'''</sub>)}}. Da mesma forma, no exemplo geométrico de vetores como setas, {{math\|1='''v''' + '''w''' = '''w''' + '''v'''}} como o paralelogramo que define a soma dos vetores é independente da ordem dos vetores. Todos os outros axiomas podem ser verificados de forma semelhante nos outros exemplos. Portanto, ao ignorar a natureza concreta desse tipo particular de vetores, a definição incorpora esses dois exemplos e muitos outros em uma noção unificadora de espaço vetorial. A subtração de dois vetores e a divisão por escalar (não nulo) pode ser definido como : <math>\begin{align} \mathbf{v} - \mathbf{w} &= \mathbf{v} + (-\mathbf{w}) \\ \frac{\mathbf{v}}{a} &= \frac{1}{a}\mathbf{v} \end{align}</math>. Quando o corpo dos escalares {{mvar\|K}} é o dos [[números reais]] {{math\|'''R'''}}, o espaço vetorial é chamado de ''espaço vetorial real''; quando for o dos [[números complexos]] {{math\|'''C'''}}, o espaço vetorial é chamado de ''espaço vetorial complexo''. Esses dois casos são aqueles mais frequentemente utilizados em engenharia. A definição geral de espaço vetorial permite que os escalares sejam elementos de qualquer [[Corpo (matemática)\|corpo]] fixo {{mvar\|K}}. A noção é então abstraída para um ''espaço vetorial sobre {{mvar\|K}}''. Um corpo é, essencialmente, um conjunto de números que possui as operações de [[adição]], [[subtração]], [[multiplicação]] e [[divisão]].{{nota de rodapé\|Alguns autores (como {{Harvard citations\|last = Brown\|year = 1991\|nb=yes}}) restringem sua atenção aos corpos {{math\|'''R'''}} ou {{math\|'''C'''}}, mas a maior parte da teoria permanece inalterada para um corpo qualquer.}} Por exemplo, os [[números racionais]] formam um corpo. Em contraste com a intuição provinda de vetores em um plano ou em outros objetos de dimensão maior, existe, em espaços vetoriais gerais, a noção de [[Vizinhança (matemática)\|vizinhança]]s, [[ângulo]]s e [[distância]]s. Para lidar com essas questões, tipos particulares de espaços vetoriais são introduzidos. === Formulações alternativas e consequências elementares === A adição de vetores e a multiplicação por escalar são operações que satisfazem a propriedade de [[fechamento]]: {{math\|'''u''' + '''v'''}} e {{math\|''a'''''v'''}} pertencem a {{math\|''V''}} para todo {{math\|''a''}} em {{math\|''K''}}, e {{math\|'''u'''}}, {{math\|'''v'''}} em {{math\|''V''}}. Algumas referências mais antigas mencionam essas propriedades como axiomas separados.<ref>{{Harvard citations\|last = van der Waerden\|year = 1993\|nb = yes\|loc=Cap. 19}}</ref> No linguajar da [[álgebra abstrata]], os primeiros quatro axiomas são equivalentes a requerer que o conjunto de vetores seja um [[grupo abeliano]] sob adição. Os axiomas restantes dão a esse a estrutura de [[Módulo (álgebra)\|módulo]] sobre {{math\|''K''}}. Em outras palavras, existe um [[homomorfismo de anéis]] {{math\|''f''}} do corpo {{math\|''K''}} para o [[anel de endomorfismo]] do grupo de vetores. A multiplicação por escalar {{math\|''a'''''v'''}} é então definida como {{math\|(''f''(''a''))('''v''')}}.<ref>{{Harvard citations\|last=Bourbaki\|year=1998\|nb=yes\|loc=§II.1.1}}. Bourbaki chamava os homomorfismos de grupo {{math\|''f''(''a'')}} ''homotetias''.</ref> Há várias outras consequências diretas dos axiomas de espaço vetorial. Algumas delas são derivadas [[Teoria dos grupos\|teoria dos grupos elementar]], aplicada ao grupo aditivo de vetores: por exemplo, o vetor nulo {{math\|'''0'''}} de {{math\|''V''}} e o inverso aditivo {{math\|−'''v'''}} de um vetor {{math\|'''v'''}} são únicos. Outras propriedades seguem ao empregar também a lei de distributividade da multiplicação por escalar; por exemplo, {{math\|''a'''''v'''}} é igual a {{math\|'''0'''}} se e somente se {{math\|''a''}} é igual a {{math\|0}} ou {{math\|'''v'''}} é igual a {{math\|'''0'''}}. == História == {{Artigo principal\|História da álgebra}} Espaços vetoriais têm sua origem no ramo da [[geometria afim]], surgindo a partir da introdução de [[coordenada]]s no plano ou no espaço tridimensional. Por volta de 1636, os matemáticos franceses [[René Descartes]] e [[Pierre de Fermat]] forneceram as bases da [[geometria analítica]] ao identificar soluções de uma equação a duas variáveis com pontos em uma [[curva]] plana.<ref>{{Harvard citations\|last = Bourbaki\|year = 1969\|nb = yes\|loc = cap. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pp. 78–91}}.</ref> Para obter soluções geométricas sem utilizar-se de coordenadas, [[Bernhard Bolzano\|Bolzano]] introduziu, em 1804, certas operações com pontos, linhas e planos; hoje, esses objetos podem ser vistos como antecessores de vetores.<ref>{{Harvard citations\|last = Bolzano\|year = 1804\|nb = yes}}.</ref> Esse trabalho foi utilizado por [[August Ferdinand Möbius\|Möbius]] em 1827 para introduzir o conceito de [[coordenadas baricêntricas]].<ref>{{Harvard citations\|last = Möbius\|year = 1827\|nb = yes}}.</ref> A fundação para a definição de vetores foi a noção de [[Giusto Bellavitis\|Bellavitis]] de um "duplo ponto" (''"bipoint"''), um segmento orientado em que uma das extremidades é a origem e a outra é um alvo. Vetores foram repensados com a apresentação de [[números complexos]] por [[Jean-Robert Argand\|Argand]] e [[William Rowan Hamilton\|Hamilton]], e pela criação dos [[quaterniões]] pelo último.<ref>{{Harvard citations\|last = Hamilton\|year = 1853\|nb = yes}}.</ref> Eles são elementos em '''R'''<sup>2</sup> e '''R'''<sup>4</sup>; o tratamento deles utilizando [[Combinação linear\|combinações lineares]] remete a [[Edmond Laguerre\|Laguerre]] em 1867, que também definiu [[sistema de equações lineares]]. Em 1857, [[Arthur Cayley\|Cayley]] introduziu a [[Matriz (matemática)#Notação\|notação matricial]] que permitiu a harmonização e a simplificação de mapas lineares. Na mesma época, [[Hermann Grassmann\|Grassmann]] estudou o cálculo baricêntrico iniciado por Möbius. Ele vislumbrou conjuntos de objetos abstratos munidos de certas operações.<ref>{{Harvard citations\|last = Grassmann\|year = 2000\|nb = yes}}.</ref> Em seu trabalho, os conceitos de [[independência linear]] e [[Dimensão (matemática)\|dimensão]], bem como o de [[Produto escalar\|produtos escalares]], estavam presentes. De fato, a obra de Grassmann de 1844 excede o escopo dos espaços vetoriais atuais, já que ele também considera multiplicação entre vetores, o que caracteriza o conceito moderno de [[Álgebra sobre um corpo\|álgebra]]. O matemático italiano [[Giuseppe Peano\|Peano]] foi o primeiro a fornecer uma definição moderna de espaços vetoriais e de transformações lineares em 1888.<ref>{{Harvard citations\|last = Peano\|year = 1888\|nb = yes \|loc = cap. IX}}.</ref> Um desenvolvimento importante dos espaços vetoriais foi a construção de [[Espaço funcional\|espaços funcionais]] por [[Henri Lebesgue]]. Isso foi posteriormente formalizado por [[Stefan Banach\|Banach]] e [[David Hilbert\|Hilbert]], por volta de 1920.<ref>{{Harvard citations\|last = Banach\|year = 1922\|nb = yes}}.</ref> À época, a [[álgebra]] e o novo ramo da [[análise funcional]] começaram a interagir, notavelmente com conceitos-chave como os [[Espaço Lp\|espaços de funções ''p''-integráveis]] e os [[Espaço de Hilbert\|espaços de Hilbert]].<ref>{{Harvard citations\|last = Dorier\|year = 1995\|nb = yes}}, {{Harvard citations\|last = Moore\|year = 1995\|nb = yes}}.</ref> Também nessa época, iniciaram-se os primeiros estudos de espaços vetoriais de dimensão infinita. ~~Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento oposto em <math>V</math>) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas:~~ * Sejam ''0'' e ''1'' os elementos neutros aditivo e multiplicativo de <math>K.</math> Então, como <math>1 \cdot v = v</math> qualquer que seja <math>v,</math> temos que <math>0 \cdot v + v = 0 \cdot v + 1 \cdot v = (0+1) \cdot v = 1 \cdot v = v,</math> ou seja, <math>0 \cdot v</math> é o elemento neutro de <math>V.</math> * Em <math>K,</math> existe um elemento <math>-1</math> tal que <math>-1 + 1 = 0.</math> Logo, <math>(-1) \cdot v + v = (-1) \cdot v + 1 \cdot v = (-1 + 1) \cdot v = 0 \cdot v,</math> ou seja, <math>(-1) \cdot v</math> é o elemento oposto de <math>v.</math> == Exemplos == {{Artigo principal\|Exemplos de espaços vetoriais}} * Seja <math>V</math> formado por um único elemento <math>a.</math> Então, definindo-se <math>a + a = a</math> e <math>k \cdot a = a</math> para todo elemento <math>k</math> de um corpo <math>K,</math> temos que <math>V</math> é um espaço vetorial com <math>K</math> como corpo de escalares. Obviamente, como <math>a</math> é o elemento neutro de <math>V,</math> isto é, <math>a=0,</math> este espaço vetorial é representado por <math>V = { 0 }.</math> * Outro exemplo simples é considerar <math>V = K,</math> e as operações de espaço vetorial sendo as mesmas operações do corpo. === Espaço do vetor nulo === * Seja <math>V=K^2</math> o conjunto dos pares ordenados de elementos de <math>K.</math> Então, definindo-se <math>(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)</math> e <math>k \cdot (a,b) = (ka, kb),</math> temos que <math>V</math> é um espaço vetorial. * Seja <math>IV</math> formado por um ~~conjunto~~único ~~qualquer~~elemento ~~(chamado~~<math>a.</math> Então, ~~neste~~definindo-se ~~contexto,~~<math>a de+ ~~conjunto~~a de= ~~indices).~~a</math> ~~Então~~e o<math>k ~~conjunto~~\cdot ~~das~~a ~~[[Função~~= ~~(matemática)\|funções]]~~a</math> depara todo elemento <math>Ik</math> emde um corpo <math>K,</math> temos que <math>V</math> é um espaço vetorial, ~~definindo-se~~com ~~naturalmente~~<math>K</math> acomo ~~soma~~corpo de ~~duas~~escalares. ~~funções~~Obviamente, ecomo <math>a</math> é o ~~produto~~elemento neutro de um<math>V,</math> ~~escalar~~isto é, <math>a=0,</math> este espaço vetorial é representado por ~~uma~~<math>V ~~função~~= { 0 }.</math> * Este último exemplo é, de forma geral, a forma de qualquer outro espaço vetorial, porém este resultado requer, em sua demonstração, conceitos abstratos como a [[teoria das categorias]] e o [[axioma da escolha]]. === Espaços de coordenada === {{Artigo principal\|Espaço de coordenadas}} O exemplo mais simples de um espaço vetorial sobre um corpo {{math\|''K''}} é o próprio corpo, equipado com suas adição e multiplicação padrão. De forma mais geral, todas [[Énuplo\|{{math\|''n''}}-uplas]] (sequências de comprimento {{math\|''n''}}) :{{math\|(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} de elementos do corpo {{math\|''K''}} formam um espaço vetorial que é usualmente denotado por {{math\|''K''<sup>''n''</sup>}} e chamado de ''[[espaço de coordenadas]]''.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|loc = cap. I.1\|nb = yes}}</ref> O caso {{math\|1=''n'' = 1}} é o caso mais simples mencionado acima, no qual o corpo {{math\|''K''}} também é percebido como um espaço vetorial sobre si mesmo. O caso {{math\|1=''K'' = '''R'''}} e {{math\|1=''n'' = 2}} foi discutido na introdução acima. === Números complexos e outras extensões de corpos === O conjunto de [[números complexos]] {{math\|'''C'''}} (isto é, números que podem ser escritos na forma {{math\|1=''x'' + ''iy''}}, para [[números reais]] {{math\|''x''}} e {{math\|''y''}}, em que {{math\|''i''}} é a [[unidade imaginária]]) formam um espaço vetorial sobre os reais com a adição e a multiplicação definidas usualmente: {{math\|1=(''x'' + ''iy'') + (''a'' + ''ib'') = (''x'' + ''a'') + ''i''(''y'' + ''b'')}} e {{math\|1=''c'' ⋅ (''x'' + ''iy'') = (''c'' ⋅ ''x'') + ''i''(''c'' ⋅ ''y'')}} para números reais {{math\|''x''}}, {{math\|''y''}}, {{math\|''a''}}, {{math\|''b''}} e {{math\|''c''}}. Os vários axiomas de um espaço vetorial seguem do fato de que as mesmas regras se mantêm para a aritmética dos números complexos. De fato, o exemplo dos números complexos é essencialmente o mesmo (isto é, é ''isomórfico'') ao espaço vetorial de pares ordenados de números reais mencionado acima: se pensarmos no número complexo {{math\|''x'' + ''i'' ''y''}} como uma representação do par ordenado {{math\|(''x'', ''y'')}} no [[plano complexo]], então percebe-se que as regras de soma e multiplicação de escalares correspondem exatamente ao exemplo anterior. De modo mais geral, [[Extensão de corpo\|extensões de corpo]] fornecem uma outra classe de exemplos de espaços vetoriais, particularmente em álgebras e em [[teoria algébrica dos números]]: um corpo {{math\|''K''}} que contém um corpo menor {{math\|''E''}} é um espaço vetorial em {{math\|''E''}}, pelas mesmas operações de adição e multiplicação definidas para {{math\|''K''}}.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year =2002\|loc = cap. V.1\|nb = yes}}</ref> Por exemplo, os números complexos são um espaço vetorial sobre {{math\|'''R'''}}, e a extensão de corpo <math>\mathbf{Q}(i\sqrt{5})</math> é um espaço vetorial sobre {{math\|'''Q'''}}. <!--A particularly interesting type of field extension in [[number theory]] is {{math\|'''Q'''(''α'')}}, the extension of the rational numbers {{math\|'''Q'''}} by a fixed complex number {{math\|''α''}}. {{math\|'''Q'''(''α'')}} is the smallest field containing the rationals and a fixed complex number ''α''. Its dimension as a vector space over {{math\|'''Q'''}} depends on the choice of {{math\|''α''}}.--> === Espaços funcionais === {{Artigo principal\|Espaço funcional}} [[File:Example for addition of functions.svg\|thumb\|Adição de funções: a soma das funções seno e exponencial é <math>\sin+\exp:\R\to\R</math> com <math>(\sin+\exp)(x)=\sin(x)+\exp(x)</math>]] Funções de qualquer conjunto fixo {{math\|Ω}} para um corpo {{math\|''K''}} também formam espaços vetoriais, ao realizar adição e multiplicação por escalar ponto a ponto. Ou seja, a soma de duas funções {{math\|''f''}} e {{math\|''g''}} é a função {{math\|(''f'' + ''g'')}} dada por :{{math\|1=(''f'' + ''g'')(''w'') = ''f''(''w'') + ''g''(''w'')}}, e de modo semelhante para a multiplicação. Espaços funcionais desse tipo surgem em várias situações geométricas, quando {{math\|Ω}} é a [[reta real]] ou um [[Intervalo (matemática)\|intervalo]], ou outros [[subconjunto]]s de {{math\|'''R'''}}. Muitas noções em topologia e análise, como [[Função contínua\|continuidade]], [[Integral\|integrabilidade]] ou [[diferenciabilidade]] são bem comportadas em relação à linearidade: somas e múltiplos escalares de funções com essas propriedades ainda as preservam.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1993\|loc = cap. XII.3., p. 335\|nb = yes}}</ref> Portanto, o conjunto dessas funções é um espaço vetorial. Elas são estudadas em maior detalhe usando métodos de [[análise funcional]]. Restrições algébricas também geram espaços vetoriais: o <span id=labelPolynomialRing>[[Anel de polinômios\|espaço vetorial {{math\|''K''[x]}}]]</span> é dado por [[Função polinomial\|funções polinomiais]]: :{{math\|1=''f''(''x'') = ''r''<sub>0</sub> + ''r''<sub>1</sub>''x'' + ... + ''r''<sub>''n''−1</sub>''x''<sup>''n''−1</sup> + ''r''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>}}, em que os [[coeficiente]]s {{math\|''r''<sub>0</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} estão em {{math\|''K''}}.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|loc = cap. IX.1\|nb = yes}}</ref> === Equações lineares === {{AP\|Equação linear\|Equação diferencial linear\|Sistema de equações lineares}} Sistemas de equações lineares homogêneas estão proximamente relacionados com os espaços vetoriais vector spaces.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|loc = cap. VI.3.\|nb = yes}}</ref> Por exemplo, as soluções de :{\| \|- \| style="text-align:right;"\|{{math\|''a''}} \|{{math\|+}} \|{{math\|3''b''}} \|{{math\|+}} \| style="text-align:right;"\|{{math\|''c''}} \|{{math\|{{=}} 0}} \|- \|{{math\|4''a''}} \|{{math\|+}} \|{{math\|2''b''}} \|{{math\|+}} \|{{math\|2''c''}} \|{{math\|{{=}} 0}} \|} são dadas por triplas com {{math\|''a''}} arbitrário, de modo que {{math\|1=''b'' = ''a''/2}} e {{math\|1=''c'' = −5''a''/2}}. Elas formam um espaço vetorial: somas e múltiplos escalares de tais triplas precisam também satisfazer às mesmas razões entre as três variáveis; logo, elas também são soluções. [[Matriz (matemática)\|Matrizes]] podem ser usadas para condensar várias equações lineares como acima em uma equação vetorial, a saber :<span id=equation3>{{math\|1=''A'''''x''' = '''0'''}}</span>, em que {{math\|1=''A'' =}} <math>\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 2\end{bmatrix}</math> é a matriz que contém os coeficientes das equações que compõem o sistema, {{math\|'''x'''}} é o vetor {{math\|(''a'', ''b'', ''c'')}}, {{math\|''A'''''x'''}} denota um [[produto matricial]], e {{math\|1='''0''' = (0, 0)}} é o vetor nulo. De forma semelhante, as soluções de ''equações diferenciais lineares homogêneas'' formam espaços vetoriais. Por exemplo, :<span id=equation1>{{math\|1=''f''′′(''x'') + 2''f''′(''x'') + ''f''(''x'') = 0}}</span> implica que {{math\|1=''f''(''x'') = ''a e''<sup>−''x''</sup> + ''bx e''<sup>−''x''</sup>}}, em que {{math\|''a''}} e {{math\|''b''}} são constantes arbitrárias, e {{math\|''e''<sup>''x''</sup>}} é a [[função exponencial]]. == Base e dimensão == {{AP\|Base (álgebra linear){{!}}Base\|Dimensão (espaço vetorial){{!}}Dimensão}} [[File:Vector components and base change.svg\|Um vetor {{math\|'''v'''}} em {{math\|'''R'''<sup>2</sup>}} (azul) expressado em termos de duas bases distintas: usando a [[base canônica]] de {{math\|1='''R'''<sup>2</sup> '''v''' = ''x'''''e'''<sub>1</sub> + ''y'''''e'''<sub>2</sub>}} (preto), e usando uma base não [[ortogonal]]: {{math\|1='''v''' = '''f'''<sub>1</sub> + '''f'''<sub>2</sub>}} (vermelho).\|thumb\|200px]] <span id=label1>''Bases''</span> permitem representar vetores como uma [[sequência]] de escalares denominados ''coordenadas'' ou ''componentes''. Uma base é um conjunto (finito ou infinito) {{math\|1=''B'' = {'''b'''<sub>''i''</sub>}<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} de vetores {{math\|'''b'''<sub>''i''</sub>}}, que por conveniência são frequentemente indexados por um conjunto de índices {{math\|''I''}}, que gera todo o espaço é [[linearmente independente]]. "Gerar todo o espaço" significa que qualquer vetor {{math\|'''v'''}} pode ser expresso por uma soma finita (chamada de ''[[combinação linear]]'') dos elementos da base: {{NumBlk\|:\|<math>\mathbf{v} = a_1 \mathbf{b}_{i_1} + a_2 \mathbf{b}_{i_2} + \cdots + a_n \mathbf{b}_{i_n},</math>\|{{EquationNote\|1}}}} em que {{math\|''a''<sub>''k''</sub>}} são escalares, chamados de coordenadas (ou de componentes) do vetor {{math\|'''v'''}} em relação à base {{math\|''B''}}, e {{math\|'''b'''<sub>''i''<sub>''k''</sub></sub>}} {{math\|1=(''k'' = 1, ..., ''n'')}} são os elementos de {{math\|''B''}}. Independência linear significa que as coordenadas {{math\|''a''<sub>''k''</sub>}} são univocamente determinadas para qualquer vetor no espaço vetorial. Por exemplo, os vetores de coordenadas {{math\|1='''e'''<sub>1</sub> = (1, 0, ..., 0)}}, {{math\|1='''e'''<sub>2</sub> = (0, 1, 0, ..., 0)}}, até {{math\|1='''e'''<sub>''n''</sub> = (0, 0, ..., 0, 1)}}, formam uma base de {{math\|''K''<sup>''n''</sup>}}, chamada de [[base canônica]], já que qualquer vetor {{math\|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} pode ser expresso de forma única como uma combinação linear desses vetores: :{{math\|1=(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) = ''x''<sub>1</sub>(1, 0, ..., 0) + ''x''<sub>2</sub>(0, 1, 0, ..., 0) + ... + ''x''<sub>''n''</sub>(0, ..., 0, 1) = ''x''<sub>1</sub>'''e'''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>'''e'''<sub>2</sub> + ... + ''x''<sub>''n''</sub>'''e'''<sub>''n''</sub>}}. As coordenadas correspondentes {{math\|''x''<sub>1</sub>}}, {{math\|''x''<sub>2</sub>}}, {{math\|...}}, {{math\|''x''<sub>''n''</sub>}} são exatamente as [[coordenadas cartesianas]] de um vetor. Todo espaço vetorial possui uma base. Isso é uma consequência do [[lema de Zorn]], uma formulação equivalente do [[axioma da escolha]].<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=Teorema 1.9, p. 43}}</ref> Dados os outros axiomas da [[Axiomas de Zermelo-Fraenkel\|teoria de conjuntos de Zermelo–Fraenkel]], a existência de bases é equivalente ao axioma da escolha.<ref>{{Harvard citations\|last = Blass\|year = 1984\|nb=yes}}</ref> O [[Teorema do ideal primo booliano#O Teorema do Ultrafiltro\|teorema do ultrafiltro]], que é mais fraco do que o axioma da escolha, implica que todas as bases de um determinado espaço vetorial têm o mesmo número de elementos, ou [[cardinalidade]] (ver ''[[Teorema da dimensão para espaços vetoriais]]'').<ref>{{Harvard citations\|last = Halpern\|year = 1966\|nb = yes\|loc=pp. 670–673}}</ref> Ela é chamada de ''dimensão'' do espaço vetorial, e é denotada por dim ''V''. Se o espaço for gerado por um número finito de vetores, os enunciados acima podem ser provados sem um enfoque tão fundamental quanto o da teoria de conjuntos.<ref>{{Harvard citations\|last = Artin\|year = 1991\|nb = yes\|loc=Teorema 3.3.13}}</ref> A dimensão do espaço de coordenadas {{math\|''K''<sup>''n''</sup>}} é {{math\|''n''}}, pelo que foi exibido acima. A dimensão do anel de polinômios ''K''[''x''] introduzida [[Espaço vetorial#Espaços funcionais\|acima]] é [[Infinito enumerável\|enumeravelmente infinita]], sendo que uma base é {{math\|1}}, {{math\|''x''}}, {{math\|''x''<sup>2</sup>}}, {{math\|...}} [[A fortiori]], a dimensão de espaços funcionais mais gerais, tal como o espaço de funções em um intervalo (limitado ou ilimitado), é infinita.{{nota de rodapé\|As [[Função indicadora\|funções indicadoras]] de intervalos (das quais há um número infinito) são linearmente independentes, por exemplo.}} Sob suposições adequadas de regularidade dos coeficientes envolvidos, a dimensão do espaço de solução de uma [[equação diferencial ordinária]] homogênea é igual ao grau da equação.<ref>{{Harvard citations\|last = Braun\|year = 1993\|nb = yes\|loc=Th. 3.4.5, p. 291}}</ref> Por exemplo, os espaço de soluções da [[#equation1\|equação acima]] é gerado por {{math\|''e''<sup>−''x''</sup>}} e {{''xe''<sup>−''x''</sup>}}. Essas duas funções são linearmente independentes sobre os reais {{math\|'''R'''}}, de modo que a dimensão do espaço gerado seja 2, assim como o grau da equação. Uma extensão de corpo sobre os racionais {{math\|'''Q'''}} pode ser pensada como um espaço vetorial sobre {{math\|'''Q'''}} (ao definir a soma de vetores como a soma de elementos do corpo, e definir a multiplicação por escalar como a multiplicação por elementos de {{math\|'''Q'''}}, e por outro lado ignorando a multiplicação do corpo). A dimensão (ou [[Grau de uma extensão de corpo\|grau]]) da extensão de corpo {{math\|'''Q'''(α)}} sobre {{math\|'''Q'''}} depende de {{math\|α}}. Se {{math\|α}} satisfaz algumas equação polinomial <math display=block> q_n \alpha^n + q_{n - 1} \alpha^{n - 1} + \ldots + q_0 = 0</math> com coeficientes racionais {{math\|''q''<sub>''n''</sub>, ..., ''q''<sub>0</sub>}} (em outras palavras, se α é um [[número algébrico]]), a dimensão é finita. Mais precisamente, é igual ao grau do polinômio mínimo que tem α como [[Raiz (matemática)\|raiz]].<ref>{{Harvard citations\|last = Stewart\|year = 1975\|nb = yes\|loc=Proposition 4.3, p. 52}}</ref> Por exemplo, os números complexos '''C''' são um espaço vetorial real bidimensional, gerados por 1 e pela [[unidade imaginária]] ''i''. A unidade imaginária satisfaz ''i''<sup>2</sup> + 1 = 0, uma equação de grau 2. Portanto, '''C''' é um espaço vetorial bidimensional sobre '''R''' (e, como qualquer corpo, unidimensional como um espaço vetorial sobre si mesmo, '''C'''). Se α não for algébrico, a dimensão de '''Q'''(α) sobre '''Q''' é infinita. De fato, para α = [[pi\|π]] não existe tal equação; em outras palavras, π é um [[número transcendental]].<ref>{{Harvard citations\|last = Stewart\|year = 1975\|nb = yes\|loc=Teorema 6.5, p. 74}}</ref> == Aplicações lineares e matrizes== {{Artigo principal\|Transformação linear}} A relação entre dois espaços vetoriais pode ser expressa como um ''mapeamento linear'' ou uma ''transformação linear''. Elas são [[Função (matemática)\|funções]] que refletem a estrutura do espaço vetorial — isto é, elas preservam soma e multiplicação por escalar: :<math>f(\mathbf v + \mathbf w) = f(\mathbf v) + f(\mathbf w)</math> e {{math\|''f''(''a'' · '''v''')}} <math>=</math> {{math\|''a'' · ''f''('''v''')}} para todo {{math\|'''v'''}} e {{math\|'''w'''}} em {{math\|''V''}}, e todo {{math\|''a''}} em {{math\|''K''}}.<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=cap. 2, p. 45}}</ref> Um ''[[isomorfismo]]'' é uma transformação linear {{math\|''f'' : ''V'' → ''W''}} tal que exista uma [[função inversa]] {{math\|''g'' : ''W'' → ''V''}}, a qual é um mapeamento tal que as duas possíveis [[Composição de funções\|composições]] {{math\|''f'' ∘ ''g'' : ''W'' → ''W''}} e {{math\|''g'' ∘ ''f'' : ''V'' → ''V''}} sejam a [[função identidade]]. De forma equivalente, {{math\|''f''}} é um-pra-um ([[injetora]]) e é sobre o contradomínio ([[sobrejetora]]).<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|nb = yes\|loc=cap. IV.4, Corolário, p. 106}}</ref> Se existir um isomorfismo entre {{math\|''V''}} e {{math\|''W''}}, os dois espaços são ditos ''isomórficos''; eles então são essencialmente o mesmo espaço vetorial, já que todas as identidades válidas em {{math\|''V''}} são, através de {{math\|''f''}}, levadas a identidades semelhantes em {{math\|''W''}}, e vice-versa através de {{math\|''g''}}. [[File:Vector components.svg\|180px\|right\|thumb\|Descrever um vetor de seta {{math\|'''v'''}} pelas suas coordenadas {{math\|''x''}} e {{math\|''y''}} acarreta um isomorfismo de espaços vetoriais.]] Por exemplo, as "setas em um plano" e os "pares ordenados de números", que são cada qual um espaço vetorial, são isomórficos: uma seta {{math\|'''v'''}} em um plano que sai da [[Origem de coordenadas\|origem]] de algum [[Sistema de coordenadas\|sistema (fixo) de coordenadas]] pode ser expresso por um par ordenado de números ao considerar as componentes {{math\|''x''}} e {{math\|''y''}} da seta, como mostrado na imagem ao lado. Por outro lado, dado um par {{math\|(''x'', ''y'')}}, a seta que está à direita pela quantidade {{math\|''x''}} (ou à esquerda, se {{math\|''x''}} for negativo), e está para cima pela quantidade {{math\|''y''}} (ou para baixo, se {{math\|''y''}} for negativo) retorna a seta {{math\|'''v'''}}. As transformações lineares {{math\|''V'' → ''W''}} entre dois espaços vetoriais formam um espaço vetorial {{math\|Hom<sub>''K''</sub>(''V'', ''W'')}}, também denotado por {{math\|L(''V'', ''W'')}}.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|nb = yes\|loc=Exemplo IV.2.6}}</ref> O espaço das transformações lineares de {{math\|''V''}} para o corpo {{math\|''K''}} é chamado de ''[[espaço dual]]'', e é denotado por {{math\|''V''<sup>∗</sup>}}.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|nb = yes\|loc=cap. VI.6}}</ref> Através do mapa [[Transformação natural\|natural]] injetivo {{math\|''V'' → ''V''<sup>∗∗</sup>}}, qualquer espaço vetorial pode ser embutido no seu ''bidual''; o mapeamento é um isoformismo se e somente se o espaço tem dimensão finita.<ref>{{Harvard citations\|last = Halmos\|year =1974\|nb = yes\|loc=p. 28, Ex. 9}}</ref> Uma vez que uma base de {{math\|''V''}} é escolhida, as transformações lineares {{math\|''f'' : ''V'' → ''W''}} ficam completamente determinadas ao se especificar a imagem dos vetores da base, já que qualquer elemento de {{math\|''V''}} é escrito de forma única como combinação linear desses vetores.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|nb = yes\|loc=Teorema IV.2.1, p. 95}}</ref> Se {{math\|1=dim ''V'' = dim ''W''}}, uma [[Função bijetora\|correspondência 1-para-1]] entre as bases fixadas de {{math\|''V''}} e {{math\|''W''}} acarreta uma aplicação linear que mapeia qualquer elemento da base de {{math\|''V''}} ao elemento correspondente da base de {{math\|''W''}}; isto é, por definição, um isomorfismo.<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=Teorema 2.5 e 2.6, p. 49}}</ref> Logo, dois espaços vetoriais são isomórficos se as suas dimensões são as mesmas. Outra forma de expressar isso é que qualquer espaço vetorial é ''completamente classificado'' ([[Salvo (matemática)\|a menos de]] um isomorfismo) pela sua dimensão, um único número. Em particular, qualquer espaço vetorial ''n''-dimensional {{math\|''V''}} de tipo {{math\|''K''}} é isomórfico a {{math\|''K''<sup>''n''</sup>}}. Não existe, no entanto, nenhum isomorfismo "canônico" ou preferencial; de fato, um isomorfismo {{math\|''φ'' : ''K''<sup>''n''</sup> → ''V''}} é equivalente à escolha da base de {{math\|''V''}}, ao mapear os vetores da base canônica de {{math\|''K''<sup>''n''</sup>}} para {{math\|''V''}}, através de {{math\|''φ''}}. A liberdade em escolher uma base conveniente é particularmente útil no contexto de dimensão infinita. ===Matrizes=== {{Artigo principal\|Matriz (matemática){{!}}Matriz\|Determinante}} [[File:Matrix.svg\|right\|thumb\|200px\|Uma matriz típica.]] ''Matrizes'' são uma noção útil para representar transformações lineares.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|nb = yes\|loc=cap. V.1}}</ref> Elas são escritas como uma tabela retangular de escalares (imagem ao lado). Qualquer matriz {{math\|''A''}} {{math\|''m''}}-por-{{math\|''n''}} gera um mapeamento linear de {{math\|''K''<sup>''n''</sup>}} para {{math\|''K''<sup>''m''</sup>}} da seguinte maneira: :<math>\mathbf x = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \mapsto \left(\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j, \sum_{j=1}^n a_{2j}x_j, \cdots, \sum_{j=1}^n a_{mj}x_j \right)</math>, em que <math>\sum</math> denota um [[somatório]], ou, usando [[multiplicação de matrizes]] de {{math\|''A''}} com o vetor de coordenadas {{math\|'''x'''}}: :<span id=equation2>{{math\|'''x''' ↦ ''A'''''x'''}}</span>. Ademais, após escolher bases de {{math\|''V''}} e de {{math\|''W''}}, ''qualquer'' transformação linear {{math\|''f'' : ''V'' → ''W''}} é representada de forma única por uma matriz através desse procedimento.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|nb = yes\|loc=cap. V.3., Corolário, p. 106}}</ref> [[File:Determinant parallelepiped.svg\|200px\|right\|thumb\|O volume desse [[paralelepípedo]] é o valor absoluto do determinante da matriz 3-por-3 formada pelos vetores {{math\|''r''<sub>1</sub>}}, {{math\|''r''<sub>2</sub>}}, e {{math\|''r''<sub>3</sub>}}.]] O [[determinante]] {{math\|det (''A'')}} de uma [[matriz quadrada]] {{math\|''A''}} é um escalar que diz se o mapeamento associado à matriz é um isomorfismo ou não: para isso, é suficiente e necessário que o determinante seja não nulo.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|nb = yes\|loc=Teorema VII.9.8, p. 198}}</ref> A transformação linear de {{math\|'''R'''<sup>''n''</sup>}} que corresponde a uma matriz ''n''-by-''n'' real [[Sentido (matemática)\|preserva a orientação]] se e somente se seu determinante for positivo. === Autovetores e autovalores === {{Artigo principal\|Autovalores e autovetores}} [[Endomorfismo]]s, aplicações lineares do tipo {{math\|''f'' : ''V'' → ''V''}}, são particularmente importantes já que nesse caso vetores {{math\|'''v'''}} podem ser comparados com a sua imagem sob {{math\|''f''}}, {{math\|''f''('''v''')}}. Qualquer vetor não nulo {{math\|'''v'''}} que satisfaz a condição {{math\|1=''λ'''''v''' = ''f''('''v''')}}, em que {{math\|''λ''}} é um escalar, é denominado ''autovetor'' de {{math\|''f''}} com ''autovalor'' {{math\|''λ''}}.<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=cap. 8, p. 135–156}}</ref> De maneira equivalente, {{math\|'''v'''}} é um elemento do [[Núcleo (álgebra linear)\|núcleo]] da diferença {{math\|''f'' − ''λ'' · Id}} (em que Id é a [[função identidade]] {{math\|''V'' → ''V''}}). Se {{math\|''V''}} tem dimensão finita, essa afirmação pode ser reformulada usando determinantes: {{math\|''f''}} ter um autovalor {{math\|''λ''}} é equivalente a :{{math\|1=det(''f'' − ''λ'' · Id) = 0}}. Ao desenvolvê-la através da definição de determinante, a expressão à esquerda pode ser analisada enquanto função polinomial de variável {{math\|''λ''}}, chamada de [[polinômio característico]] de {{math\|''f''}}.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|nb = yes\|loc=cap. IX.4}}</ref> Se o corpo {{math\|''K''}} for abrangente o suficiente para conter uma raiz desse polinômio (o que acontece automaticamente quando {{math\|''K''}} for [[Corpo algebricamente fechado\|algebricamente fechado]], tal como {{math\|1=''K'' = '''C'''}}), qualquer aplicação linear tem pelo menos um autovetor. O espaço vetorial {{math\|''V''}} pode ou não possuir uma base de autovetores. Esse fenômeno é regido pela [[forma canônica de Jordan]] da aplicação.<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=cap. 8, p. 140}}.</ref>{{nota de rodapé\|Ver também o artigo [[Decomposição de Jordan–Chevalley]].}} O conjunto de todos os autovetores associados a um certo autovalor de {{math\|''f''}} forma um espaço vetorial conhecido como ''[[autoespaço]]''. Para alcançar o [[teorema espectral]], a afirmação correspondente do caso em que a dimensão é infinita, as ferramentas da [[análise funcional]] são necessárias. == Construções básicas == Além dos exemplos concretos citados anteriormente, existem várias construções de álgebra linear padrão que acarretam espaços vetoriais a outros previamente fornecidos. Eles também são caracterizados pelas [[propriedade universal\|propriedades universais]], que determinam um objeto {{math\|''X''}} ao especificar as transformações lineares dele para qualquer outro espaço vetorial. === Subespaços e espaços quociente === {{Artigo principal\|Subespaço vetorial\|Espaço quociente (álgebra linear){{!}}Espaço quociente}} [[File:Linear subspaces with shading.svg\|thumb\|250px\|right\|Uma linha que passa pela [[Origem de coordenadas\|origem]] (em azul, linha mais grossa) em [[Espaço euclidiano\|{{math\|'''R'''<sup>3</sup>}}]] é um subespaço vetorial. Ela é a interseção de dois [[Plano (geometria)\|planos]] (verde e amarelo).]] Um [[subconjunto]] não-vazio ''W'' de um espaço vetorial ''V'' que é fechado sob adição e multiplicação por escalar (e portanto contém o vetor nulo '''0''' de ''V'') é chamado de ''subespaço vetorial'' de ''V'', ou simplesmente um ''subespaço'' de ''V'', quando o objeto em questão for, de forma não ambígua, um espaço vetorial.<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=cap. 1, p. 29}}</ref>{{nota de rodapé\|Esse é o caso típico quando um espaço vetorial também é considerado como um [[espaço afim]]. Neste caso, um subespaço vetorial contém o [[vetor nulo]], enquanto um subespaço afim não o contém necessariamente.}} Subespaços de ''V'' são espaços vetoriais próprios (sobre o mesmo corpo). A interseção de todos os subespaços contendo um determinado conjunto ''S'' de vetores é denominado como seu [[espaço vetorial gerado]] (ou, ainda, ''ger'' ou ''span''), e é o menor subespaço de ''V'' contendo o conjunto ''S''. Expressado em termos de elementos, o span é o subespaço que contém todas as [[combinações lineares]] dos elementos de ''S''.<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=cap. 1, p. 35}}</ref> {{anchor\|vector line\|vector plane\|vector hyperplane}} Um subespaço vetorial de dimensão 1 é uma '''linha vetorial'''. Um subespaço de dimensão 2 é um '''plano vetorial'''. Um subespaço vetorial que contém todos a menos de um dos elementos de uma base do espaço principal é um '''hiperplano vetorial'''. Em um espaço vetorial de dimensão finita {{math\|''n''}}, um [[hiperplano]] de vetores é portanto um subespaço de dimensão {{math\|''n'' – 1}}. A contrapartida dos subespaços são os ''espaços vetoriais quocientes''.<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=cap. 3, p. 64}}</ref> Dado qualquer subespaço {{math\|''W'' ⊂ ''V''}}, o espaço quociente ''V''/''W'' ("''V'' módulo ''W''") é definido da seguinte maneira: enquanto conjunto, ele consiste de {{math\|1='''v''' + ''W'' = {'''v''' + '''w''' : '''w''' ∈ ''W''},}} em que '''v''' é um vetor arbitrário em ''V''; enquanto espaço vetorial, a soma de dois elementos desse tipo {{math\|'''v'''<sub>1</sub> + ''W''}} e {{math\|'''v'''<sub>2</sub> + ''W''}} é dada por {{math\|('''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>) + ''W'',}} e a multiplicação por escalar obedece a relação {{math\|1=''a'' · ('''v''' + ''W'') = (''a'' · '''v''') + ''W''}}. A questão chave dessa definição é que {{math\|1='''v'''<sub>1</sub> + ''W'' = '''v'''<sub>2</sub> + ''W''}} [[se e somente se]] a diferença de '''v'''<sub>1</sub> e '''v'''<sub>2</sub> estiver em ''W''.{{nota de rodapé\|Alguns autores (tais como {{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes}}) escolhem começar por essa [[relação de equivalência]] e derivar a forma concreta de ''V''/''W'' a partir dela.}} Dessa maneira, o espaço quociente "esquece" da informação contida no subespaço ''W''. O [[núcleo (álgebra linear)\|núcleo]] ker(''f'') (do [[Língua inglesa\|inglês]], ''kernel'') de uma transformação linear {{math\|''f'' : ''V'' → ''W''}} consiste em vetores '''v''' que são mapeados para o vetor '''0''' em ''W'' (o vetor nulo de ''W'').<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1987\|nb = yes\|loc=cap. IV.3.}}</ref> Tanto o núcleo quanto a [[imagem (matemática)\|imagem]] {{math\|1=im(''f'') = {''f''('''v''') : '''v''' ∈ ''V''} }} são subespaços de ''V'' e ''W'', respectivamente.<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=cap. 2, p. 48}}</ref> A existência de núcleos e imagens é parte do enunciado de que a [[categoria de espaços vetoriais]] (sobre um corpo fixo ''K'') é uma [[categoria abeliana]], isto é, um corpo de objetos matemáticos e de transformações que preservem a estrutura entre eles (uma [[categoria (matemática)\|categoria]]), que se comporta de forma muito semelhante a uma [[categoria de grupos abelianos]].<ref>{{Harvard citations\|last = Mac Lane\|year = 1998\|nb = yes}}</ref> Por causa disso, enunciados como o ''[[teorema do núcleo e da imagem]]'' (também chamado de ''teorema do [[Posto (matemática)\|posto]] e da [[nulidade]]'', no contexto de matrizes), :''V'' / ker(''f'') ≡ im(''f''), podem ser formulados e provados de uma maneira similar ao que se faria para demonstrar enunciados equivalentes para [[Grupo (matemática)\|grupos]]. Um exemplo importante é o do núcleo da transformação linear {{math\|'''x''' ↦ ''A'''''x'''}} para alguma matriz fixa ''A''. O núcleo dessa aplicação é o subespaço dos vetores '''x''' tais que {{math\|1=''A'''''x''' = 0}}, que é exatamente o conjunto das soluções do sistema de equações lineares homogêneas associadas a ''A''. Esse conceito também se estende para equações diferenciais lineares, cuja forma geral é :<math>a_0 f + a_1 \frac{d f}{d x} + a_2 \frac{d^2 f}{d x^2} + \cdots + a_n \frac{d^n f}{d x^n} = 0</math>, em que os coeficientes ''a''<sub>''i''</sub> são também funções de ''x''. Na transformação linear correspondente :<math>f \mapsto D(f) = \sum_{i=0}^n a_i \frac{d^i f}{d x^i}</math>, as [[derivada]]s da função ''f'' aparecem de forma linear (ao contrário de ''f''′′(''x'')<sup>2</sup>, por exemplo). Como a diferenciação é um procedimento linear (isto é, {{math\|1=(''f'' + ''g'')′ = ''f''′ + ''g'' ′}} e {{math\|1=(''c''·''f'')′ = ''c''·''f''′}} para uma constante {{math\|''c''}}), essa transformação também é linear, denominada um [[operador diferencial linear]]. Em particular, as soluções da equação diferencial {{math\|1=''D''(''f'') = 0}} formam um espaço vetorial (sobre {{math\|'''R'''}} ou sobre {{math\|'''C'''}}). === Produto direto e soma direta=== {{Artigo principal\|Produto direto\|Soma direta}} O ''produto direto'' de espaços vetoriais e a ''soma direta'' de espaços vetoriais são duas maneiras de combinar uma família indexada de espaços vetoriais em um novo espaço vetorial. O ''produto direto'' <math>\textstyle{\prod_{i \in I} V_i}</math> de uma família de espaços vetoriais ''V''<sub>''i''</sub> consiste em um conjunto de todas as [[ênupla]]s ({{math\|'''v'''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}}, que especificam para cada índice ''i'' em algum [[conjunto de índices]] ''I'' um elemento '''v'''<sub>''i''</sub> de ''V''<sub>''i''</sub>.<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=cap. 1, pp. 31–32}}</ref> Adição e multiplicação por escalar são realizadas componente a componente. Uma variação dessa construção é a ''soma direta'' <math>\oplus_{i \in I} V_i</math> (também chamada [[Coproduto categorial\|coproduto]] e denotada por <math>\textstyle{\coprod_{i \in I}V_i}</math>), em que somente as ênuplas com um número finito de vetores nulos são permitidas. Se o conjunto de índices ''I'' é finito, as duas construções são a mesma; porém, de forma mais geral, elas são distintas. === Produto tensorial === {{Artigo principal\|Produto tensorial}} O ''produto tensorial'' {{math\|''V'' ⊗<sub>''F''</sub> ''W''}}, ou simplesmente {{math\|''V'' ⊗ ''W''}}, de dois espaços vetoriais ''V'' e ''W'' é uma das noções centrais da [[álgebra multilinear]], que lida com noções estendidas como a de transformações lineares a várias variáveis. Um mapeamento {{math\|''g'' : [[Produto cartesiano\|''V'' × ''W'']] → ''X''}} é chamado de [[Mapa bilinear\|bilinear]] se ''g'' é linear em ambas as variáveis '''v''' e '''w'''. Isto é, para um '''w''' fixo o mapa {{math\|'''v''' ↦ ''g''('''v''', '''w''')}} é linear no sentido acima; isso então também é válido para um '''v''' fixo. O produto tensorial é um espaço vetorial particular que é um receptor ''universal'' de mapeamentos bilineares ''g'', como a seguir. Ele é definido como um espaço vetorial que consiste de somas (formais) finitas de símbolos chamados de [[tensor]]es :'''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''w'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub> ⊗ '''w'''<sub>2</sub> + ... + '''v'''<sub>''n''</sub> ⊗ '''w'''<sub>''n''</sub>, sujeitos às regras : ''a'' · ('''v''' ⊗ '''w''') = (''a'' · '''v''') ⊗ '''w''' = '''v''' ⊗ (''a'' · '''w'''), em que ''a'' é um escalar, :('''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>) ⊗ '''w''' = '''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''w''' + '''v'''<sub>2</sub> ⊗ '''w''', e :'''v''' ⊗ ('''w'''<sub>1</sub> + '''w'''<sub>2</sub>) = '''v''' ⊗ '''w'''<sub>1</sub> + '''v''' ⊗ '''w'''<sub>2</sub>.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 2002\|loc = cap. XVI.1\|nb = yes}}</ref> [[File:Universal tensor prod.svg\|right\|thumb\|200px\|[[Diagrama comutativo]] evidenciando a propriedade universal do produto tensorial.]] Essas regras garantem que o mapa ''f'' de {{math\|''V'' × ''W''}} para {{math\|''V'' ⊗ ''W''}}, que envia a [[ênupla]] {{math\|('''v''', '''w''')}} para {{math\|'''v''' ⊗ '''w'''}}, seja bilinear. A universalidade enuncia que dado ''qualquer'' espaço vetorial ''X'' e ''qualquer'' mapa bilinear {{math\|''g'' : ''V'' × ''W'' → ''X''}}, existe um mapa único ''u'', mostrado no diagrama com uma seta pontilhada, cuja [[Composição de funções\|composição]] com ''f'' é igual a ''g'': {{math\|1=''u''('''v''' ⊗ '''w''') = ''g''('''v''', '''w''')}}.<ref>{{Harvard citations\|last = Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=Teorema 14.3}}. Ver também [[Lema de Yoneda]].</ref> Isso é chamado de [[propriedade universal]] do produto tensorial, uma ocorrência do método — muito utilizado em álgebra abstrata avançada — de indiretamente definir objetos ao especificar mapas de ou para esse objeto. == Espaços vetoriais com estrutura adicional == Do ponto de vista da álgebra linear, os espaços vetoriais são completamente compreendidos na medida em que qualquer espaço vetorial é caracterizado, de modo isomórfico, pela sua dimensão. Contudo, espaços vetoriais por si só não oferecem um escopo no qual é possível responder à questão {{mdash}} essencial para análise {{mdash}} de quando, ou se, uma série de funções [[Limite de uma sequência\|converge]] para outra função. Da mesma forma, a álgebra linear não é adaptada para lidar com [[Série (matemática)\|séries infinitas]], já que a operação de adição permite somente a soma de um número finito de termos. Assim, as demandas do ramo da [[análise funcional]] fazem com que sejam considerados espaços vetoriais com estrutura adicional. Um espaço vetorial pode ser [[Conjunto parcialmente ordenado\|parcialmente ordenado]] ≤, de modo que certos vetores possam ser comparados.<ref>{{Harvard citations\|last1 = Schaefer\|last2=Wolff\|year = 1999\|loc = pp. 204–205\|nb = yes}}</ref> Por exemplo, um espaço vetorial real ''n''-dimensional '''R'''<sup>''n''</sup> pode ser ordenado ao se comparar os vetores componente à componente. [[Espaço vetorial ordenado\|Espaços vetoriais ordenados]], como os [[Espaço de Riesz\|espaços de Riesz]], são fundamentais para a formulação da [[integral de Lebesgue]], que requer que uma função qualquer seja expressa como a diferença de duas funções positivas :''f'' = ''f''<sup>+</sup> − ''f''<sup>−</sup>, em que ''f''<sup>+</sup> denota a parte positiva de ''f'' e ''f''<sup>−</sup> a parte negativa.<ref>{{Harvard citations\|last = Bourbaki\|year = 2004\|nb = yes\|loc=cap. 2, p. 48}}</ref> === Espaços vetoriais normados e com produto interno === {{Artigo principal\|Espaço vetorial normado\|Espaço com produto interno}} O processo de "medida" de vetores é feito ao se especificar uma [[norma (matemática)\|norma]], uma função que mede o comprimento de um vetor, ou definindo um [[produto interno]], que mede ângulos entre vetores. Normas e produtos internos são denotados por <math>\| \mathbf v\|</math> e <math>\lang \mathbf v , \mathbf w \rang</math>, respectivamente. Espaços vetoriais dotados dessa estrutura são denominados ''espaços vetoriais normados'' e ''espaços com produto interno'', respectivamente.<ref>{{Harvard citations\|last =Roman\|year = 2005\|nb = yes\|loc=cap. 9}}</ref> É possível obter uma norma a partir de um produto interno, definindo-a como <math>\|\mathbf v\| := \sqrt {\langle \mathbf v , \mathbf v \rangle}</math>. O espaço de coordenadas ''K''<sup>''n''</sup> pode ser equipado com o [[produto escalar]] canônico: :<math>\lang \mathbf x , \mathbf y \rang = \mathbf x \cdot \mathbf y = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n.</math> Em '''R'''<sup>2</sup>, isso reflete a noção comum de ângulo entre dois vetores '''x''' e '''y''', pela [[lei dos cossenos]]: :<math>\mathbf x \cdot \mathbf y = \cos\left(\angle (\mathbf x, \mathbf y)\right) \cdot \|\mathbf x\| \cdot \|\mathbf y\|.</math> Por causa disso, dois vetores que satisfaçam <math>\lang \mathbf x , \mathbf y \rang = 0</math> são chamados de [[ortogonal\|ortogonais]]. Uma variante importante do produto interno padrão é usado no [[espaço de Minkowski]]; isto é, o espaço '''R'''<sup>4</sup> dotado do produto de Lorentz :<math>\lang \mathbf x \| \mathbf y \rang = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 - x_4 y_4.</math><ref>{{Harvard citations\|last =Naber\|year = 2003\|nb = yes\|loc=cap. 1.2}}</ref> Em contraste com o produto escalar padrão, ele não é [[Forma quadrática definida\|positivo definido]]: <math>\lang \mathbf x \| \mathbf x \rang</math> também pode assumir valores negativos, como por exemplo para <math>\mathbf x = (0, 0, 0, 1)</math>. Isolar a quarta temporada {{mdash}} [[Espaço-tempo\|correspondente ao tempo]], em vez das três dimensões espaciais {{mdash}} é útil para o tratamento matemático da [[relatividade restrita]]. === Espaços vetoriais topológicos === {{Artigo principal\|Espaço vetorial topológico}} Questões de convergência são tratadas ao considerar espaços vetoriais que comportem uma [[Espaço topológico\|topologia]] compatível, uma estrutura que permite descrever pontos como sendo [[Vizinhança (matemática)\|próximos uns dos outros]].<ref>{{Harvard citations\|last = Treves\|year = 1967\|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations\|last = Bourbaki\|year = 1987\|nb = yes}}</ref> A compatibilidade significa que a adição e a multiplicação por escalar precisam ser [[Função contínua\|mapas contínuos]]. Em resumo, se '''x''' e '''y''' em um espaço vetorial ''V'' e ''a'' no corpo ''K'' variarem por uma quantidade limitada, então {{math\|'''x''' + '''y'''}} e {{math\|''a'''''x'''}} variam limitadamente.{{nota de rodapé\|Essa exigência implica que a topologia acarreta uma [[estrutura uniforme]], {{Harvard citations\|last = Bourbaki\|year = 1989\|loc = cap. II\|nb = yes}}.}} Para dar sentido em especificar o quanto um escalar varia, o corpo ''K'' também precisa carregar uma topologia nesse contexto; opções comuns de corpos são o dos números reais e o dos números complexos. Nesses ''espaços vetoriais topológicos'' é possível considerar [[Série (matemática)\|série]] de vetores. A soma infinita :<math>\sum_{i=0}^{\infty} f_i</math> denota o [[Limite de uma sequência\|limite]] das somas parciais finitas correspondentes da sequência (''f''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈'''N'''</sub> de elementos de ''V''. Por exemplo, os elementos ''f''<sub>''i''</sub> podem ser funções (reais ou complexas) pertencentes a algum [[espaço funcional]] ''V'', de modo que a soma infinita seja uma [[série de funções]]. O [[Modos de convergência\|modo de convergência]] da série é dependente da topologia imposta ao espaço funcional. Nesses casos, [[convergência pontual]] e [[convergência uniforme]] são dois exemplos proeminentes. [[Image:Vector norms2.svg\|thumb\|right\|250px\|[[Esfera unitárias\|"Esferas" unitárias]] no '''R'''<sup>2</sup> consistindo de vetores planos de norma 1. Estão ilustradas esferas em diferentes [[Espaço Lp\|''p''-norma]]s, para ''p'' = 1, 2, e ∞. O diamante maior representa pontos com 1-norma igual a 2.]] Uma maneira de garantir a existência de limites de certas séries infinitas é restringir o estudo a espaços onde qualquer [[sequência de Cauchy]] possui limite; tais espaços vetoriais são denominados [[Espaço completo\|completos]]. Simplificadamente, um espaço vetorial é dito completo contanto que contenha todos os limites necessários; o espaço vetorial dos polinômios nos [[intervalo unitário]] [0,1], equipado com a [[topologia de convergência uniforme]], não é completo, pois qualquer função contínua em [0,1] pode ser uniformemente aproximada por uma sequência de polinômios ([[Teorema de Stone-Weierstrass]]).<ref>{{harvnb\|Kreyszig\|1989\|loc=§4.11-5}}</ref> Em contraste, o espaço de ''todas'' as funções contínuas em [0,1] equipado com a mesma topologia é completo.<ref>{{harvnb\|Kreyszig\|1989\|loc=§1.5-5}}</ref> Uma norma acarreta uma topologia ao definir que uma sequência de vetores '''v'''<sub>''n''</sub> convirja para '''v''' se e somente se :<math>\lim_{n \to \infty} \|\mathbf v_n - \mathbf v\| = 0.</math> Espaços de Banach e Hilbert são espaços vetoriais topológicos completos cujas topologias são fornecidas, respectivamente, por uma norma e por um produto interno. O estudo deles {{mdash}} uma peça-chave da [[análise funcional]] {{mdash}} tem como foco espaços vetoriais de dimensão infinita, já que todas as normas em espaços topológicos de dimensão finita fornecem a mesma noção de convergência.<ref>{{Harvard citations\|last =Choquet\|year = 1966\|nb = yes\|loc=Proposição III.7.2}}</ref> A imagem à direita mostra a equivalência da 1-norma e da ∞-norma no '''R'''<sup>2</sup>: com as "bolas" unitárias englobando-se umas às outras, uma sequência converge a zero em uma norma se e somente se o fizer em uma outra norma. No caso de dimensão infinita, entretanto, em geral existirão topologias não equivalentes, o que faz com que o estudo espaços vetoriais topológicos seja mais rico do que o de espaços vetoriais sem essa estrutura adicional. De um ponto de vista conceitual, todas as noções relacionadas a espaços vetoriais topológicos devem ser compatíveis com a topologia associada. Por exemplo, ao invés de considerar todas as transformações lineares (também chamadas de [[Funcional\|funcionais]]) {{math\|''V'' → ''W''}}, exige-se que mapas entre espaços vetoriais topológicos sejam contínuos.<ref>{{Harvard citations\|last = Treves\|year = 1967\|nb = yes\|loc=p. 34–36}}</ref> Em particular, o espaço dual (topológico) {{math\|''V''<sup>∗</sup>}} consiste dos funcionais contínuos {{math\|''V'' → '''R'''}} (ou para {{math\|'''C'''}}). O [[teorema de Hahn-Banach]] tem por objetivo a separação de subespaços de espaços vetoriais topológicos adequados por funcionais contínuos.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year =1983\|nb = yes\|loc=Cor. 4.1.2, p. 69}}</ref> ==== Espaços de Banach ==== {{Artigo principal\|Espaço de Banach}} ''Espaços de Banach'', introduzidos por [[Stefan Banach]], são espaços vetoriais normados completos.<ref>{{Harvard citations\|last = Treves\|year = 1967\|nb = yes\|loc=cap. 11}}</ref> Um primeiro exemplo é o [[Espaço Lp\|espaço vetorial <math>\ell^{p}</math>]] composto de vetores com infinitas entradas reais <math>\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n},\ldots\right)</math>, cuja [[Espaço Lp\|<math>p</math>-norma]] <math>(1\leq{p}\leq\infty)</math> dado por :<math>\left\Vert\mathbf{x}\right\Vert_{p} := \left(\sum_{i} \left\vert x_{i}\right\vert^{p}\right)^\frac{1}{p}</math> para <math>p < \infty</math>   e    <math>\left\Vert\mathbf x\right\Vert_{\infty} := \text{sup}_{i} \left\vert x_{i}\right\vert</math>. As topologias do espaço <math>\ell^{p}</math> de dimensão infinita não são equivalentes para diferentes valores de <math>p</math>. Como exemplo, a sequência de vetores <math>\mathbf{x}_{n} = \left(2^{-n}, 2^{-n}, \ldots, 2^{-n}, 0, 0, \ldots\right)</math>, em que as primeiras <math>2^{n}</math> componentes são <math>2^{-n}</math> e as seguintes são <math>0</math>, converge para o [[vetor nulo]] para <math>p = \infty</math>, mas não para <math>p = 1</math>: :<math>\left\Vert\mathbf{x}_{n}\right\Vert_{_\infty} = \sup (2^{-n}, 0) = 2^{-n} \rightarrow 0</math>, mas <math>\left\Vert\mathbf{x}_{n}\right\Vert_{1} = \sum_{i=1}^{2^n} 2^{-n} = 2^n \cdot 2^{-n} = 1.</math> De forma mais geral do que sequências de números reais, funções <math>f\colon \Omega \to \mathbb{R}</math> são equipados com uma norma que substitui a soma acima pela [[integral de Lebesgue]] :<math>\left\Vert{f}\right\Vert_{p} := \left(\int_{\Omega} \left\vert{f}\left(x\right)\right\vert^{p} \, {d\mu\left(x\right)} \right)^\frac{1}{p}.</math> O espaço das [[Função integrável\|funções integráveis]] em um dado [[Domínio (matemática)\|domínio]] <math>\Omega</math> (por exemplo um intervalo) satisfazendo <math>\left\Vert{f}\right\Vert_{p} < \infty</math>, e equipado com essa norma são chamados de [[espaço de Lp\|espaços de Lebesgue]], denotados como <math>L^{\;\!p}\left(\Omega\right)</math>.{{nota de rodapé\| A [[desigualdade triangular]] para <math>\left\Vert{f + g}\right\Vert_{p} \leq \left\Vert{f}\right\Vert_{p} + \left\Vert{g}\right\Vert_{p}</math> é provida pela [[desigualdade de Minkowski]]. Por razões técnicas, no contexto de funções, é preciso identificar funções que concordem [[em quase todo lugar]] para se ter uma norma, e não só uma [[seminorma]].}} Esses espaços são completos.<ref>{{Harvard citations\|last = Treves\|year = 1967\|nb = yes\|loc=Teorema 11.2, p. 102}}</ref> (Se, ao invés disso, a [[integral de Riemann]] for utilizada, o espaço ''não'' é completo, o que pode ser percebido como uma justificativa para a teoria de integração de Lebesgue.<!-- <ref group=nb> "Many functions in <math>L^{2}</math> of Lebesgue measure, being unbounded, cannot be integrated with the classical Riemann integral. So spaces of Riemann integrable functions would not be complete in the <math>L^{2}</math> norm, and the orthogonal decomposition would not apply to them. This shows one of the advantages of Lebesgue integration.", {{Harvard citations\|last = Dudley\|year = 1989\|nb = yes\|loc=§5.3, p. 125}} </ref> -->) Concretamente, isso significa que para qualquer sequência de funções do integráveis por Lebesgue    <math>f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n},\ldots</math>   com <math>\left\Vert{f}_{n}\right\Vert_{p}<\infty</math>, satisfazendo a condição :<math>\lim_{k,\ n \to \infty}\int_{\Omega} \left\vert{f}_{k}(x) - {f}_{n}(x)\right\vert^{p} \, {d\mu\left(x\right)} = 0</math>. Existe uma função <math>{f}\left(x\right)</math> pertencente ao espaço vetorial <math>L^{\;\!p}\left(\Omega\right)</math> tal que :<math>\lim_{k \to \infty}\int_{\Omega} \left\vert{f}\left(x\right) - {f}_{k}\left(x\right)\right\vert^{p} \, {d\mu\left(x\right)} = 0.</math> Impondo condições de limitação não somente à função, mas também às suas [[derivada]]s resulta nos [[espaços de Sobolev]].<ref>{{Harvard citations\|last = Evans\|year = 1998\|loc = cap. 5\|nb = yes}}</ref> ==== Espaços de Hilbert ==== {{Artigo principal\|Espaço de Hilbert}} [[File:Periodic identity function.gif\|right\|thumb\|400px\|As imagens sucessivas mostram a soma de 1 a 5 termos na aproximação de uma função periódica (azul) por uma soma finita de funções seno (vermelho).]] Espaços com produto interno completo são conhecidos como ''espaços de Hilbert'', em homenagem a [[David Hilbert]].<ref>{{Harvard citations\|last = Treves\|year = 1967\|nb = yes\|loc=cap. 12}}</ref> O espaço de Hilbert ''L''<sup>2</sup>(Ω), com produto interno dado por :<math> \langle f\ , \ g \rangle = \int_\Omega f(x) \overline{g(x)} \, dx,</math> em que <math>\overline{g(x)}</math> denota o [[conjugado complexo]] de ''g''(''x''),<ref name=Dennery>{{Harvard citations\|last = Dennery\|year = 1996\|loc = p.190\|nb = yes}}</ref>{{nota de rodapé\|Para ''p'' ≠2, ''L''<sup>''p''</sup>(Ω) não é um espaço de Hilbert.}} é um caso chave. Por definição, em um espaço de Hilbert qualquer sequência de Cauchy converge para um limite. Dessa forma, encontrar uma sequência de funções ''f''<sub>''n''</sub> com propriedades desejáveis que aproxime uma dada função limite torna-se crucial. O início da análise, na forma da [[aproximação de Taylor]], estabeleceu uma aproximação de [[Função diferenciável\|funções diferenciáveis]] por polinômios.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1993\|loc = Teorema XIII.6, p. 349\|nb = yes}}</ref> Pelo [[teorema de Stone-Weierstrass]], toda função contínua em um intervalo {{math\|[''a'', ''b'']}} pode ser aproximada tão bem quanto desejado por um polinômio.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1993\|loc = Teorema III.1.1\|nb = yes}}</ref> Uma técnica de aproximação semelhante feita com [[funções trigonométricas]] é comumente chamada de [[expansão de Fourier]], e é muito aplicada em engenharia. De forma mais geral, e mais conceitual, o teorema permite uma descrição simples de quais "funções básicas", ou, no contexto de espaços abstratos de Hilbert, quais vetores básicos são suficientes para gerar o espaço de Hilbert ''H'', no sentido de que o ''[[fecho]]'' do span desses vetores (isto é, combinações lineares finitas e seus limites) é o espaço inteiro. Tal conjunto de funções é chamada de uma ''base'' de ''H'', sua cardinalidade é conhecida como a [[Espaço de Hilbert\|dimensão do espaço de Hilbert]].{{nota de rodapé\|Uma base de um espaço de Hilbert não é o mesmo que uma base no contexto da álgebra linear, como exposto acima. Por distinção, a última é então chamada de [[base de Hamel]].}} O teorema não apenas mostra funções adequadas para uma base como suficiente para fazer aproximações, mas também, aliado ao [[processo de Gram-Schmidt]], permite a construção de uma [[Base ortogonal\|base ortogonal de vetores]].<ref>{{Harvard citations\|last = Choquet\|year = 1966\|loc = Lema III.16.11\|nb = yes}}</ref> Tais bases ortogonais são a generalização em espaços de Hilbert dos eixos de coordenadas em [[espaços euclidianos]], de dimensão finita. As soluções para várias [[equações diferenciais]] podem ser interpretadas em termos de espaços de Hilbert. Por exemplo, muitas áreas da física e da engenharia deparam-se com tais equações e frequentemente soluções com propriedades físicas particulares são utilizadas como funções de uma base, por vezes ortogonal.<ref>{{Harvnb\|Kreyszig\|1999\|Capítulo 11}}</ref> Na [[física quântica]], a [[equação de Schrödinger]] dependente do tempo descreve a mudança de propriedades físicas como função do tempo através de uma [[equação diferencial parcial]], cujas soluções são chamadas de [[funções de onda]].<ref>{{Harvnb\|Griffiths\|1995\|Capítulo 1}}</ref> Valores definidos de grandezas físicas como [[energia]] e [[Momento linear\|momento]] correspondem a [[autovalor]]es de um certo [[operador diferencial]] linear e as funções de onda associadas são chamadas de [[Estado quântico\|autoestado]]s. O [[teorema espectral]] decompõe um [[Operador compacto\|operador linear compacto]] que atua sobre uma função em termos dessas autofunções e desses autovalores.<ref>{{Harvard citations\|last = Lang\|year = 1993\|loc =cap. XVII.3\|nb = yes}}</ref> == Propriedades == Linha 87 ⟶ 368: * [[Espaço Vectorial Euclidiano]]: É qualquer espaço real que possui um número finito de dimensões e possui uma operação denominada [[produto interno]].<ref name="callioli-159">Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 159</ref> * [[Espaço de Hilbert]]: É qualquer espaço vetorial que possui uma operação denominada [[produto interno]] e cuja [[espaço métrico\|métrica]] gerada por esse produto interno o torne um [[espaço completo]]. * [[Espaços normados\|Espaço normado]]: É qualquer espaço vetorial que possui uma [[norma (matemática)\|norma]] definida * [[Espaço de Banach]]: É um espaço normado [[espaço completo\|completo]] na métrica gerada por esta norma. * [[Espaço vectorial topológico]]: se existe uma [[espaço topológico\|topologia]] compatível com as operações de espaço vectorial. Linha 97 ⟶ 378: * [[Álgebra sobre um corpo]]: se existe uma multiplicação de vetores satisfazendo alguns axiomas {{Notas}} {{Referências}} == Bibliografia == * {{~~Citar~~citar livro\|~~nome~~nome1=Carlos A. \|~~sobrenome~~sobrenome1=Callioli \|~~coautor~~nome2= Hygino H. \|sobrenome2=Domingues;\|nome3= Roberto C. F. \|sobrenome3=Costa \|título=Álgebra Linear e Aplicações \|edição=6 \|local= São Paulo \|editora=Atual \|ano=1990 \|id=ISBN 9788570562975\|url=https://brogdomonzao.files.wordpress.com/2011/10/algebra_linear_e_aplicacoes_-_callioli.pdf}} * {{~~Citar~~citar livro\|nome=Ben \|sobrenome=Noble \|~~coautor~~autor2= James W. Daniel \|título=Álgebra Linear Aplicada \|local= Rio de Janeiro \|editora=Prentice-Hall do Brasil \|ano=1986\|id=ISBN 9788570540225}} === Álgebra === {{Div col\|2}} * {{citar livro\|nome=Michael\|sobrenome=Artin\|autorlink=Michael Artin\|título= Algebra\|editora=[[Prentice Hall]]\|ano=1991\|isbn=978-0-89871-510-1\|língua=inglês\|url=\|ref=harv}} * {{Citation \|último1=Blass \|primeiro1=Andreas \|título=Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983) \|publicado=[[American Mathematical Society]] \|local=Providence, R.I. \| series=Contemporary Mathematics \| mr=763890 \|ano=1984 \| volume=31 \|capítulo=Existence of bases implies the axiom of choice \| \|página=31–33}} * {{Citation \|último1=Brown \|primeiro1=William A. \|título=Matrices and vector spaces \|publicado=M. Dekker \|local=New York \| isbn=978-0-8247-8419-5 \|ano=1991}} * {{Citation \|último1=Lang \|primeiro1=Serge \|autorlink1=Serge Lang \|título=Linear algebra \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \| isbn=978-0-387-96412-6 \|ano=1987}} * {{Lang Algebra}} * {{Citation \|último1=Mac Lane \|primeiro1=Saunders \|autorlink1=Saunders Mac Lane \|título=Algebra \|edição=3rd \| \|página=193–222 \| isbn=978-0-8218-1646-2 \|ano=1999}} * {{Citation \|último1=Meyer \|primeiro1=Carl D. \|título=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra \| url=http://www.matrixanalysis.com/ \|publicado=[[Society for Industrial and Applied Mathematics\|SIAM]] \| isbn=978-0-89871-454-8 \|ano=2000}} * {{Citation \|último1=Roman \|primeiro1=Steven \|título=Advanced Linear Algebra \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \|edição=2nd \| series=Graduate Texts in Mathematics \| isbn=978-0-387-24766-3 \|ano=2005 \| volume=135}} * {{Citation \|último1=Spindler \|primeiro1=Karlheinz \|título=Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups\|publicado=CRC \| isbn=978-0-8247-9144-5 \|ano=1993}} * {{Citation \|último1=van der Waerden \|primeiro1=Bartel Leendert \|autorlink1=Bartel Leendert van der Waerden \|título=Algebra \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \|edição=9th \| isbn=978-3-540-56799-8 \|ano=1993\|língua=de}} {{Div col fim}} === Análise === {{Div col\|2}} * {{Citation \|último1=Bourbaki \|primeiro1=Nicolas \|autorlink1=Nicolas Bourbaki \|título=Topological vector spaces \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \| series=Elements of mathematics \| isbn=978-3-540-13627-9 \|ano=1987}} * {{Citation \|último1=Bourbaki \|primeiro1=Nicolas \|autorlink1=Nicolas Bourbaki \|título=Integration I \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \| isbn=978-3-540-41129-1 \|ano=2004}} * {{Citation \|último1=Braun \|primeiro1=Martin \|título=Differential equations and their applications: an introduction to applied mathematics \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \| isbn=978-0-387-97894-9 \|ano=1993}} * {{springer\|last=BSE-3\|title=Tangent plane\|id=T/t092180}} * {{Citation \|último1=Choquet \|primeiro1=Gustave \|autorlink1=Gustave Choquet \|título=Topology \|publicado=[[Academic Press]] \|local=Boston, MA \|ano=1966}} * {{Citation \|último1=Dennery \|primeiro1=Philippe \|último2=Krzywicki \|primeiro2=Andre \|título=Mathematics for Physicists \|publicado=Courier Dover Publications \| isbn=978-0-486-69193-0 \|ano=1996}} * {{Citation \|último1=Dudley \|primeiro1=Richard M. \|título=Real analysis and probability \|publicado=Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software \|local=Pacific Grove, CA \| series=The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series \| isbn=978-0-534-10050-6 \|ano=1989}} * {{Citation \|último1=Dunham \|primeiro1=William \|título=The Calculus Gallery \|publicado=[[Princeton University Press]] \| isbn=978-0-691-09565-3 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2001}} * {{Citation \|último= Krantz \|primeiro= Steven G. \|data-publicacao= 1999 \|título= A Panorama of Harmonic Analysis \| series = Carus Mathematical Monographs \|local= Washington, DC \|publicado= Mathematical Association of America \| isbn = 978-0-88385-031-2 \|ano= 1999}} * {{Citation \|último= Kreyszig \|primeiro= Erwin \|autorlink= Erwin Kreyszig \|data-publicacao= 1988 \|título= Advanced Engineering Mathematics \|edição= 6th \|local= New York \|publicado= John Wiley & Sons \| isbn = 978-0-471-85824-9 \|ano= 1988}} {{Citation \|último1=Kreyszig \|primeiro1=Erwin \|autorlink1=Erwin Kreyszig \|título=Introductory functional analysis with applications \|publicado=[[John Wiley & Sons]] \|local=New York \| series=Wiley Classics Library \| isbn=978-0-471-50459-7 \| mr=992618 \|ano=1989}} {{Citation \|último1=Lang \|primeiro1=Serge \|autorlink1=Serge Lang \|título=Real analysis \|publicado=[[Addison-Wesley]] \| isbn=978-0-201-14179-5 \|ano=1983}} * {{Citation \|último1=Lang \|primeiro1=Serge \|autorlink1=Serge Lang \|título=Real and functional analysis \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \| isbn=978-0-387-94001-4 \|ano=1993}} * {{Citation \|último1=Loomis \|primeiro1=Lynn H. \|título=An introduction to abstract harmonic analysis \|publicado=D. Van Nostrand Company, Inc. \|local=Toronto-New York–London \|ano=1953 \| \|página=x+190\| hdl=2027/uc1.b4250788 \| hdl-access=free }} * {{Citation \|autorlink1= Helmut Schaefer \|último1=Schaefer \|primeiro1=Helmut H. \|último2=Wolff \|primeiro2=M.P. \|título=Topological vector spaces \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \|edição=2nd \| isbn=978-0-387-98726-2 \|ano=1999}} * {{Citation \|último1=Treves \|primeiro1=François \|título=Topological vector spaces, distributions and kernels \|publicado=[[Academic Press]] \|local=Boston, MA \|ano=1967}} {{Div col fim}} === Referências históricas=== {{Div col\|2}} * {{Citation \|último1=Banach \|primeiro1=Stefan \|autorlink1=Stefan Banach \|título=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations) \| url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf \|ano=1922 \|periódico=[[Fundamenta Mathematicae]] \| issn=0016-2736 \| volume=3\| \|página=133–181 \|língua=fr\| doi=10.4064/fm-3-1-133-181 }} * {{Citation \|último1=Bolzano \|primeiro1=Bernard \|autorlink1=Bernard Bolzano \|título=Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) \| url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338 \|ano=1804\|língua=de}} * {{Citation \|último1=Bourbaki \|primeiro1=Nicolas \|autorlink1=Nicolas Bourbaki \|título=Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) \|publicado=Hermann \|local=Paris \|ano=1969\|língua=fr}} * {{Citation \|último1=Dorier \|primeiro1=Jean-Luc \|título=A general outline of the genesis of vector space theory \| mr=1347828 \|ano=1995 \|periódico=[[Historia Mathematica]] \| volume=22 \|número=3 \| \|página=227–261 \| doi=10.1006/hmat.1995.1024\| url=http://archive-ouverte.unige.ch/unige:16642 \| doi-access=free }} * {{Citation \|último1=Fourier \|primeiro1=Jean Baptiste Joseph \|autorlink1=Joseph Fourier \|título=Théorie analytique de la chaleur \| url=https://books.google.com/?id=TDQJAAAAIAAJ \|publicado=Chez Firmin Didot, père et fils \|ano=1822\|língua=fr}} * {{Citation \|último1=Grassmann \|primeiro1=Hermann \|autorlink1=Hermann Grassmann \|título=Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik \| url=https://books.google.com/?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1 \|ano=1844 \|publicado=O. Wigand\|língua=de}}, reprint: {{Citation \|título=Extension Theory \|publicado=[[American Mathematical Society]] \|local=Providence, R.I. \| isbn=978-0-8218-2031-5 \|ano=2000 \|autor=Hermann Grassmann. Translated by Lloyd C. Kannenberg. \|editor-sobrenome1=Kannenberg \|editor-nome1=L.C.}} * {{Citation \|último1=Hamilton \|primeiro1=William Rowan \|autorlink1=William Rowan Hamilton \|título=Lectures on Quaternions \| url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9 \|publicado=Royal Irish Academy \|ano=1853}} * {{Citation \|último1=Möbius \|primeiro1=August Ferdinand \|autorlink1=August Ferdinand Möbius \|título=Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) \| url=http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0 \|arquivourl=https://web.archive.org/web/20061123192612/http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0 \|urlmorta= sim\|arquivodata=2006-11-23 \|ano=1827\|língua=de}} * {{Citation \|último1=Moore \|primeiro1=Gregory H. \|título=The axiomatization of linear algebra: 1875–1940 \|ano=1995 \|periódico=[[Historia Mathematica]] \| volume=22 \|número=3 \| \|página=262–303 \| doi=10.1006/hmat.1995.1025\| doi-access=free }} * {{Citation \|último1=Peano \|primeiro1=Giuseppe \|autorlink1=Giuseppe Peano \|título=Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva \|ano=1888 \|local=Turin\|língua=it}} {{Div col fim}} === Referências extras=== {{Div col\|2}} * {{Citation \|último1=Ashcroft \|primeiro1=Neil \|último2=Mermin \|primeiro2=N. David \|autorlink1=Neil Ashcroft \|autorlink2=N. David Mermin \|título=Solid State Physics \|publicado=Thomson Learning \|local=Toronto \| isbn=978-0-03-083993-1 \|ano=1976 \|acessourl=registro \| url=https://archive.org/details/solidstatephysic00ashc }} * {{Citation \|último1=Atiyah \|primeiro1=Michael Francis \|autorlink1=Michael Atiyah \|título=K-theory \|publicado=[[Addison-Wesley]] \|edição=2nd \| series=Advanced Book Classics \| isbn=978-0-201-09394-0 \| mr=1043170 \|ano=1989}} * {{Citation \|último1=Bourbaki \|primeiro1=Nicolas \|autorlink1=Nicolas Bourbaki \|título=Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1-3 \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \| isbn=978-3-540-64243-5 \|ano=1998}} * {{Citation \|último1=Bourbaki \|primeiro1=Nicolas \|autorlink1=Nicolas Bourbaki \|título=General Topology. 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Griffiths \|título=Introduction to Quantum Mechanics \|ano=1995 \|publicado=[[Prentice Hall]] \|local=Upper Saddle River, NJ \|isbn=978-0-13-124405-4}} * {{Citation \|último1=Halmos \|primeiro1=Paul R. \|autorlink1=Paul R. Halmos \|título=Finite-dimensional vector spaces \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \| isbn=978-0-387-90093-3 \|ano=1974}} * {{Citation \|último1=Halpern \|primeiro1=James D. \|título=Bases in Vector Spaces and the Axiom of Choice \|data=junho de 1966 \|periódico=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] \| volume=17 \|número=3 \| \|página=670–673 \| doi=10.2307/2035388 \| jstor=2035388 \| doi-access=free }} * {{Citation \|último1=Hughes-Hallett \|primeiro1=Deborah \|último2=McCallum \|primeiro2=William G. \|último3=Gleason \|primeiro3=Andrew M. \|título=Calculus : Single and Multivariable \|data=2013 \|publicado=[[John Wiley & Sons]] \| isbn=978-0470-88861-2 \|edição=6}} * {{Citation \|último1=Husemoller \|primeiro1=Dale \|título=Fibre Bundles \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \|edição=3rd \| isbn=978-0-387-94087-8 \|ano=1994}} * {{Citation \|último1=Jost \|primeiro1=Jürgen \|título=Riemannian Geometry and Geometric Analysis \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \|edição=4th \| isbn=978-3-540-25907-7 \|ano=2005}} * {{Citation \|último1=Kreyszig \|primeiro1=Erwin \|autorlink1=Erwin Kreyszig \|título=Differential geometry \|publicado=[[Dover Publications]] \|local=New York \| isbn=978-0-486-66721-8 \|ano=1991 \| \|página=xiv+352}} * {{Citation \|último=Kreyszig \|primeiro=Erwin \|título=Advanced Engineering Mathematics \|edição=8th \|ano=1999 \|publicado=[[John Wiley & Sons]] \|local=New York \|isbn=978-0-471-15496-9}} * {{Citation \|último1=Luenberger \|primeiro1=David \|título=Optimization by vector space methods \|publicado=[[John Wiley & Sons]] \|local=New York \| isbn=978-0-471-18117-0 \|ano=1997}} * {{Citation \|último1=Mac Lane \|primeiro1=Saunders \|autorlink1=Saunders Mac Lane \|título=Categories for the Working Mathematician \|publicado=[[Springer-Verlag]] \|local=Berlin, New York \|edição=2nd \| isbn=978-0-387-98403-2 \|ano=1998\|títulolink=Categories for the Working Mathematician }} * {{Citation \|último1=Misner \|primeiro1=Charles W. \|autorlink1=Charles W. Misner \|último2=Thorne \|primeiro2=Kip \|autorlink2=Kip Thorne \|último3=Wheeler \|primeiro3=John Archibald \|autorlink3=John Archibald Wheeler \|título=Gravitation \|publicado=W. H. Freeman \| isbn=978-0-7167-0344-0 \|ano=1973\|títulolink=Gravitation (book) }} * {{Citation \|último1=Naber \|primeiro1=Gregory L. \|título=The geometry of Minkowski spacetime \|publicado=[[Dover Publications]] \|local=New York \| isbn=978-0-486-43235-9 \| mr=2044239 \|ano=2003}} * {{Citation \|último1=Schönhage \|primeiro1=A. \|autorlink1=Arnold Schönhage \|último2=Strassen \|primeiro2=Volker \|autorlink2=Volker Strassen \|título=Schnelle Multiplikation großer Zahlen (Fast multiplication of big numbers) \|ano=1971 \|periódico=Computing \| issn=0010-485X \| volume=7 \|número=3–4 \| \|página=281–292 \| doi=10.1007/bf02242355\|língua=de}} * {{Citation \|último1=Spivak \|primeiro1=Michael \|autorlink1=Michael Spivak \|título=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two) \|publicado=Publish or Perish \|local=Houston, TX \|ano=1999}} * {{Citation \|último1=Stewart \|primeiro1=Ian \|autorlink=Ian Stewart (mathematician) \|título=Galois Theory \|ano=1975 \|publicado=[[Chapman and Hall]] \| isbn=978-0-412-10800-6 \|local=London \| series=[[Chapman and Hall]] Mathematics Series }} * {{Citation \|último1=Varadarajan \|primeiro1=V. 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